a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

Transcriptie

1 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) + fx)) 2 = x + ) 2. Opmerking: Het symool D stt voor de fgeleide, m..w. Dgx)) = g x). Antwoord: = = k = Vermits k < geldt er dt lim x + e kx =. Uit de gegevens over de schuine symptoot hlen we dn dt fx) lim x + x x + = lim x + x = = lim fx) x = lim x + x = = x + x + Er geldt dus fx) = e kx + x fx) 2 = e 2kx + 2xe kx + x 2 D fx)) = ke kx + D fx))) 2 = k 2 e 2kx + 2ke kx + D fx)) 2) = 2ke 2kx + 2e kx + 2xke kx + 2x Dit lles ingevuld in de gegeven vergelijking resulteert dn n wt vereenvoudigingen tot de voorwrde e 2kx k + ) e kx k + ) x + ) = Vermits dit moet gelden voor elke wrde vn x esluiten we dt k =.

2 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ 2/8 2. De fgeeelde even functie is vn de vorm fx) = Bgtg x + 2x 2 + cx + dx 2 + e Zij heeft een horizontle symptoot y = π voor x ± en er geldt ook dt lim 2 x fx) = π. 2 Gegeven is verder dt 2 een nulpunt is en dt fx) hr minimle wrde π ereikt voor x = 2. Bereken de prmeters,, c, d en e en epl ook de drie ndere nulpunten vn fx). Hoeveel uigpunten heeft fx)? kijk op de figuur) ) x.5 Antwoord: = 5 = 6 c = d = 2 e = Vermits lim x ± fx) = π 2 en lim x fx) = π 2 x + 2x 2 + lim x ± cx + dx 2 + e x + 2x 2 + lim x cx + dx 2 + e moet er gelden dt = + = + en dit kn enkel ls c =, respectievelijk e =. We vereenvoudigen ) x + 2x 2 + fx) = Bgtg. dx 2 De overige onekenden, en d erekenen we uit de voorwrden We werken dit verder uit. f 2) = f2) = π f 2) =

3 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8 f 2) = ) + + Bgtg 2d = + = ) ) f2) = Bgtg = π d d = d = 6 2) De fgeleide f x) = + ) dx2 x + x) 2xdx + 2x2 + ) x +2x d 2 x dx 2 moet zijn voor x = 2 of d2 + 8) d ) = of = 6 Uit ) en 2) hlen we dn verder = = 5 en d = 6 8 = 2 De ndere nulpunten zijn: x + 2x 2 + = x x = x 2 = 5 ± 25 6 of x 2 = 8 en x 2 = 2. Het ntl uigpunten is

4 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. Zij ft) een periodiek tijdssignl met periode T, dus ft + T ) = ft), dn noemt men f = T ft) dt de gemiddelde wrde vn f. We zeggen dt gt) met 2πt gt) = A cos T ) φ de fundmentele trilling vn f is ls A en φ ] π, π] de oplossing zijn vn het stelsel A cos φ = 2 T A sin φ = 2 T ft) cos 2πt T dt ft) sin 2πt T dt. Beschouw dn het fgeeelde periodiek signl met T = 2 zols op de onderstnde figuur. 2 2 t Bereken de gemiddelde wrde en de fundmentele trilling voor deze ft). Antwoord: gemiddelde wrde f = We eplen eerst het functievoorschrift voor ft) op [, T ] = [, 2], nl. { t ls t ft) = ls t 2 Als gemiddelde wrde vinden we dn 2 f = 2 ft) dt = 2 t) dt =

5 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ 5/8 fundmentele trilling gt): A = π2 + π 2.77 φ = Bgtg π 2. Met ehulp vn prtiële integrtie erekenen we eerst 2 T ft) cos 2πt T dt = t) cosπt) dt = t) sinπt) π + = cosπt) π 2 = 2 π 2 sinπt) π dt en 2 T ft) sin 2πt T dt = t) sinπt) dt = t) cosπt) π = π sinπt) π 2 = π cosπt) π dt A en φ moeten dus erekend worden ls oplossing vn het stelsel A cos φ = 2 π 2 A sin φ = π Door de som vn de kwdrten te nemen vinden we A 2 cos 2 φ + A 2 sin 2 φ = A 2 = π + π 2 en dus Anderzijds weten we dt A = π2 + π 2 en dus tgφ = sin φ cos φ = A sin φ A cos φ = φ = Bgtg π 2 π = 2 π 2 π 2

6 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ 6/8. Beschouw het gedeelte vn de prool met vergelijking y = x 2 +, gelegen oven de x s > en > ). Een vernderlijke rechthoek kn ingeschreven worden innen deze prool zols fgeeeld op de figuur. Bepl de fmetingen vn de rechthoek met mximle oppervlkte O. Bereken voor deze rechthoek ook de resterende oppervlkte O 2 onder de prool licht ingekleurd op de figuur) en toon n dt de verhouding p = O 2 O niet meer fhngt vn of. Bereken de excte wrde voor p en vereenvoudig het resultt zo weinig mogelijk vierkntswortels)! Antwoord: hoogte = 2 reedte = 2 = O = We drukken de oppervlkte vn de rechthoek uit in functie vn de hoogte y. Noemen we de coordinten vn het hoekpunt rechtsoven x en y dn geldt het vernd y = x 2 + of en de oppervlkte vn de rechthoek is x = y Oy) = 2xy = 2 y y De hoogte y wrvoor de oppervlkte vn de rechthoek mximl is vinden we door te stellen dt O y) = of uitgewerkt ) 2 y y 2 = y y = 2 We kunnen dn ook de reedte erekenen vn de rechthoek en de mximle oppervlkte O = O 2 ) =

7 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ 7/8 Antwoord: resterende oppervlkte O 2 = ) De gevrgde oppervlkte is gelijk n de oppervlkte onder de prool verminderd met de oppervlkte vn de rechthoek. De prool snijdt de x s in de punten, ) en, ). De oppervlkte onder de prool kn dn erekend worden ls O = x 2 + ) dx = 2 x 2 + ) dx = Het ntwoord op de vrg is dus O 2 = O O = = ) de vereenvoudigde verhouding p = O 2 O = p = O 2 O = ) = ) =

8 BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ 8/8 5. Als gegeven is dt voor elke reële wrde vn q en voor elk ntuurlijk getl n geldt dt + q + q 2 + q + + q n = qn+ q ereken dn lle wrden vn x [, π] wrvoor geldt dt, + cos x + cos 2 x + cos x + + cos x = + cos x + cos 6 x + cos 9 x ), en ereken voor die wrden dn ook telkens de overeenkomstige som vn het linkerlid. Hulp: Stel y = cos x en vereenvoudig linker en rechterlid door geruik te mken vn de gegeven formule. Antwoord: wrden vn x overeenkomstige som π 2π Stellen we y = cos x dn wordt het linkerlid vn de vergelijking Het rechterlid kunnen we vereenvoudigen tot + y + y 2 + y + + y = y2 y + y + y 6 + y 9) = + y + y ) 2 + y ) ) = y ) y We zoeken dus de wrden vn y wrvoor m..w. wrvoor y 2 y = y 2 = ofwel y 2 y y y = De eerste mogelijkheid leidt tot cos x = y = of x = π en een overeenkomstige som. De tweede mogelijkheid leidt tot + y + y 2 = y + 2 )2 = en dus cos x = 2 of x = 2π en een som /2) 2 /2 = = 65 28