Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)

Transcriptie

1 1 Tentmen Numerieke Wiskunde (WISB251) Mk één opgve per vel en schrijf op ieder vel duidelijk je nm en studentnummer. Lt duidelijk zien hoe je n de ntwoorden komt. Onderstnde formules en stellingen mg je zonder bewijs gebruiken. Succes! Hndige formules en nottie Gedeelde differenties (x 0 < x 1 <... < x n ) Interpoltie Integrtie f[x i ] = f(x i ), f[x i, x j ] = f[x j] f[x i ], f[x i, x j, x k ] = f[x j, x k ] f[x i, x j ]. x j x i (x k x i ) f[x 0,..., x n ] = f (n) (ξ), ξ [x 0, x n ]. n! n p n (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) f[x 0, x 1,... x n ] (x x i ), e n (x) = f(x) p n (x) = f[x 0, x 1,..., x n, x] i=0 n (x x i ). f(x) dx = (b )f(( + b)/2) + f (ξ) 24 (b )3 (midpuntregel), f(x) dx = (b )(f() + f(b))/2 f (ξ) 12 (b )3 (trpeziumregel). Middelwrdestelling: Gegeven continue functies f en w wrbij w niet vn teken wisselt op het intervl [, b], dn is er een ξ [, b] wrvoor: f(x)w(x) dx = f(ξ) i=0 w(x) dx. Inverse vn een 2 2 mtrix ( ) ( ) b A =, A c d 1 d b =, d bc c Vstepuntstelling: De itertie x k+1 = g(x k ), met x 0 [, b] convergeert nr een vst punt x [, b] ls g < 1 op [, b]. Als bovendien g (x ) = 0, dn convergeert de itertie kwdrtisch. Vstepuntitertie voor linere stelsels: De itertie x k+1 = x k + M(b Ax k ), convergeert ls de spectrle rdius vn I MA kleiner dn 1 is, oftewel ρ(i MA) < 1.

2 2 pt. vrg 1 - niet-linere vergelijkingen We willen de derdemchtswortel vn een getl > 1 uitrekenen. ) Lt zien dt de volgende itertie convergeert nr 3 ls x 0 > 3 2/5 x k+1 = (2x k + /x 2 k)/3. ntwoord Een vst punt voldoet n x = (2x + /x 2 )/3, or 3x 3 = 2x 3 + so x 3 =. De itertie convergeert ls g (x) < 1 met g(x) = (2x + /x 2 )/3. We hebben g (x) = 2/3 2/x 3 /3 = 2(1 /x 3 )/3 dus in ieder gevl convergentie ls 1 /x 3 < 3/2 ofwel /x 3 < 5/2 dus x 3 > 2/5. x 0 > voldoet zeker n deze eis ngezien > 1. b) Een lterntieve methode om de derdemchtswortel uit te rekenen is x k+1 = x k 2( 2 x 3 k )/3. Welke vn de twee methoden convergeert sneller? (motiveer je ntwoord). ntwoord We willen weten hoe snel de methoden convergeren Voor de methode uit ) hebben we g ( 1/3 ) = 0, dus kwdrtische convergentie. We hebben hier en vstepuntitertie met g(x) = x (x 3 / 2 1/)/3 en g (x) = 1 2(x/) 2. We hebben g (x) < 1 ls (x/) 2 < 1, dus iig lineire convergentie voor x 0 (, ). Verder hebben we g ( 1/3 ) 0, dus geen kwdrtische convergentie. We hebben liever de methode uit ). 2 pt. vrg 2 - stelsels vergelijkingen We willen het stelsel Ax = b oplossen. Gegeven is dt A symmetrisch is en zowel positieve ls negtieve reële eigenwrden heeft. De kleinste eigenwrde (in bsolute zin) is µ, de grootste (in bsolute zin) is L. ) Lt zien dt de volgende vstepuntitertie convergeert nr de oplossing x k+1 = x k + (1/L 2 )A(b Ax k ) ntwoord De fout e k = x k x voldoet n e k+1 = e k (1/L 2 )A 2 e k. Voor convergentie moet de spectrle rdius vn I (1/L 2 )A 2 kleiner zijn dn 1. Angezien A 2 lleen positieve eigenwrden heeft en een spectrle rdius vn L 2 krijgen we het gewenste resultt. b) Lt zien dt met x 0 = 0 de reltieve fout n N iterties is geven door wrbij x = A b de excte oplossing is. x N x 2 x 2 ( 1 (µ/l) 2) N, 2

3 ntwoord We weten dt x N x 2 I A 2 /L 2 N 2 x 0 x 2. Met x 0 = 0 volgt hieruit x N x 2 x Verder hebben we ρ(i A 2 /L 2 ) = (1 (µ/l) 2 ). I A 2 /L 2 N 2 ρ(i A 2 /L 2 ) N. c) Hoeveel iterties zijn er miniml nodig om een reltieve fout vn mximl ɛ te grnderen wnneer we met x 0 = 0 beginnen? ntwoord N = log(ɛ)/ log(1 (µ/l) 2 ). 3 pt. Vrg 3 - Integrtie We willen integrlen benderen vn de vorm I = f(x) dx. We bekijken in deze opgve benderingen vn de vorm I α = f( α) + f(α), met α (0, 1]. ) Lt zien dt voor α = 1 de fout in de bendering I 1 is gegeven door I I 1 = 2 3 f (ξ), met ξ [, 1]. ntwoord We kunnen direct de formule vn het voorbld toepssen. Alterntief:we construeren de interpolnt p 1 (x) = f[] + f[, 1](x + 1) met foutterm e 1 (x) = f(x) p 1 (x) = f[, 1, x](x + 1)(x 1). N integrtie krijgen we We krijgen dus I I 1 = p 1 (x)dx = f() + f(1) = I 1. e 1 (x)dx = f[, 1, η] (x 2 1)dx = 2 3 f (ξ). b) We definieren de interpolnt vn f op de punten {, α, α, 1}: p 3 (x) = f[ α]+f[ α, α](x+α)+f[ α, α, ](x+α)(x α)+f[ α, α,, 1](x+α)(x α)(x+1). Geef een uitdrukking voor de fout e 3 (x) = f(x) p 3 (x). ntwoord Uit de hndige formules vinden we direct met ξ [, 1]. e 3 (x) = f[ α, α,, 1, x](x 2 α 2 )(x 2 1) = f (4) (ξ) (x 2 α 2 )(x 2 1), 4! 3

4 c) Lt zien dt we voor α = 1/3 geldt dt: p 3 (x)dx = f( α) + f(α). ntwoord We integreren eerst p 3 (x): p 3 (x)dx = 2f[ α] + 2αf[ α, α] + f[ α, α, ](2/3 2α 2 ) + f[ α, α,, 1](2/3 2α 2 ). Voor α = 1/3 zien we dt de ltste 2 termen wegvllen. Uitschrijven vn de gedeelde differenties 2f[ α]+2αf[ α, α] geeft de gewenste uitdrukking. d) Lt zien dt de bendering I α met α = 1/3 exct is ls f een 3de-grds polynoom is. ntwoord Met behulp vn (b) en (c) vinden we dt I I 2 = e 3 (x)dx = f 4 (ξ) (x 2 α 2 )(x 2 1)dx. 4! Voor 3de-grds polynomen geld dt f 4 (ξ) 4! = 0. Alterntief: voor een 3de-grds polynoom hebben we p 3 = f ngezien er mr een 3degrds polynoom is die door de gegeven punten gt. (Z.O.Z.) 4

5 3 pt. vrg 4 - differentilvergelijkingen De Adms-Bshford methode bendert de oplossing vn een differentilvergelijking u (t) = f(u(t)) ls volgt ũ n+1 = ũ n + t(3f(ũ n ) f(ũ n ))/2, voor gegeven ũ 0, ũ 1 en wr ũ n een bendering is vn u(n t). ) Lt zien dt de locle trunctiefout vn deze methode is gegeven door ũ n u(n t) = C ( t) 3, en geef een uitdrukking voor de constnte C. Hint: Gebruik een Tylorbendering vn de oplossing en een bendering vn u (t) in termen vn u (t) en u (t t). ntwoord Tylorbendering vn de oplossing: en de volgende bendering vn u Combineren geeft u n+1 = u n + tf(u n ) + t2 2 u (n t) + t3 6 u (τ n ), u (n t) = f(u n) f(u n ) t + t 2 u (τ n ) u n+1 = u n + tf(u n ) + tf(u n )/2 tf(u n )/2 + t3 6 (2u (τ n ) + u (τ n )). b) Lt zien dt je de methode ook kunt schrijven ls een stelsel vn 2 gekopelde vergelijkingen met w n = ( w1 w 2 w n+1 = w n + t 2 F (w n), ) ( ) 3f(w1 ) en F (w) =. Hint: Gebruik w f(w 2 ) n = ( un u n ) ntwoord Invullen geeft het gewenste resultt. c) Geef een uitdrukking voor het stbiliteitsgebied vn de methode. 5

6 ntwoord Ps toe op u (t) = λt: u n+1 = (1 + 3 tλ/2)u n ( tλ/2)u n. Herschrijf ls een stelsel met G = u n+1 = Gu n, ( ) tλ/2 ( tλ/2) 1 0 Voor stbiliteit moet ρ(g) < 1. De chrcteristieke vergelijking is (1 + 3 tλ/2 µ)µ + ( tλ/2) = µ 2 (1 + 3z/2)µ + z/2, wr z = tλ. Hieruit volgt en stbiel ls µ ± < 1. µ ± = α ± α 2 4β 2 = 1 + 3z/2 ± 1 + z + 9z 2 /4, 2 6