ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011

Transcriptie

1 ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje met n = en een deeltje met n =. Angezien de deeltjes niet onderscheidbr zijn hoort hier mr toestnd bij! Eventueel kun je opschrijven dt die ene toestnd de volgende golunctie heeft: (x ; x ) = p ( (x ) (x ) + (x ) (x )). (b) Het mtrixelement is h mjh j ni, met n ; m twee verschillende eigentoestnden vn de ongestoorde Hmiltonin (H ). In E n komt dit mtrixelement tot de tweede mcht, ofwel: kwdrtisch, voor. (c) De bedoelde ongelijkheid is: h jhj i E gs, voor een willekeurige, genormeerde(!) probeerfunctie, met H de echte (d.w.z. niet-benderde) Hmiltonin en E gs de grondtoestndsenergie. De ongelijkheid zegt dus dt de verwchtingswrde vn de Hmiltonin voor een genormeerde, mr verder willekeurige, functie ls toestndsfunctie ltijd groter of gelijk is n de grondtoestndsenergie behorende bij die Hmiltonin. (d) Merk op dt V (x) = tussen en zeker zwk vrierend is. Je mg dus de WKB-quntistieconditie gebruiken en de integrl is eenvoudig in dt gevl, zodt: p me = nh! E n = n h m. Vergelijking met onderdeel () leert dt de constnte C dn is: C = h. m (e) Om symmetrie-redenen kn het relevnte mtrixelement voor de overgng, bv. het elektrisch dipoolmoment, nul zijn. De levensduur is dn heel groot (in de prktijk niet echt oneindig) t.o.v. niveus die overgngsmtrixelementen ongelijk n nul hebben. Het ntwoord: vnwege selectieregels, is ook grotendeels goed te rekenen.

2 ) () Er wordt hier gevrgd nr toestnden jn ` j m j i voor het wterstoftoom (dus niet voor deuterium!) voor n =. Dit betekent dt ` de wrden, of kn nnemen. Angezien s = kn voor ` = j lleen de wrde j = nnemen, voor ` =, j = of j =, en voor ` =, j = of j = 5. Immers: j = ` + s; ` + s ; : : : ; j` sj. Voor elke j kn m j de j + wrden j; j ; : : : ; j nnemen. Voor ` = zijn er dus toestnden, voor ` = +=6 toestnden, en voor ` = zijn er +6= toestnden. In totl: 8 toestnden (=n ) voor n =. In onderstnde tbel zijn de 8 toestnden voor n = weergegeven. Met het oog op onderdeel (b) zijn ook lvst de bijbehorende wrden voor g J en m j g J berekend. Merk op, dt g J lleen fhngt vn ` en j en dt g J dus slechts voor 5 verschillende (`; j)-combinties behoeft te worden uitgerekend. ` j m j g J m j g J - / -/ / -/ - /5 6/5 /5 /5 /5 -/5 /5-6/ /5 5 6/5 9/5 5 6/5 /5 5 6/5 -/5 5 6/5-9/ /5 - (b) De helling in de beschreven grek wordt gegeven door m j g J. De toestnden wrvoor m j g J in bsolute wrde kleiner is dn zijn in bovenstnde tbel mkkelijk te vinden (dikgedrukte m j g J ). Het betreft dus de volgende toestnden jn ` j m j i: (c) j i j i j i j i S =~ S + S ~ ~ S + S ~ = S + S + S ~ S ~! ~S S ~ = S S S

3 Dit is nog een gelijkheid vn opertoren; de wrden die het linkerlid nneemt zijn: h ~ S ~ S i = [s(s + ) s (s + ) s (s + )] h (ngezien bv. S (lengte vn de totle spin in het kwdrt) de wrden s(s + )h nneemt) (d) Het deuteron heeft spin en het elektron heeft spin ; deuterium heeft dn ofwel spin (= s + s ), een qudruplet, ofwel spin (= js s j), een doublet. Ps nu het resultt vn onderdeel (c) toe voor s =, s = en s = of h s = : s = : h~ S d ~ S e i = 5 s = : h~ S d ~ S e i = = +h h = h Het verschil (!) tussen de twee gevllen is: h, zodt de hyperjnsplitsingsenergie is: E D = g d e h m d m e (e) Vi eenzelfde berekening ls in (d) geldt dt voor het wterstoftoom h S ~ p S ~ e i de wrden h en + h nneemt (zie ook Griths, p.8), met een verschil vn h. In deuterium is de fctor ten gevolge vn het spin-inproduct dus / keer zo groot. Verder verschillen de g-fctor en de kernmss tussen deuterium en wterstoftoom, zodt we krijgen: E D = g d g p Angezien E h! hc= geldt dn: md m p E H = :7 5:59 E H D = 5:59 :7 H = : cm = 9 cm Opmerking: De inzichten en berekeningen m.b.t. deuterium zten ook in de inleveropgve vn werkcollege vn dit jr. Zie ook Problem 6.8 in Griths.

4 ) () In het H-toom geldt, vi het gegeven viriltheorem: ht i gs = E = h m Angezien in gevl vn de Yukw-potentil de kinetische-energie opertor dezelfde is ( ^T h = r ~ ) en in de toestndsfunctie lleen is vervngen door m b t.o.v. de wterstof grondtoestndsgolunctie geldt er: ht i T = h mb Opmerkingen:. De verwchtingswrde vn de kinetische energie moet positief zijn.. Met heel wt meer werk zou je ook de verwchtingswrde vn de kinetische-energie opertor kunnen uitrekenen voor de gegeven probeerfunctie. Je moet dn wel de opertor r ~ kennen in bolcoordinten! Deze is niet (zie Griths, [.]). Angezien deze (ingewikkelde) niet gegeven ws, ws dit duidelijk niet de ngewezen weg om dit onderdeel op te lossen. (b) Z hv i T = e r dr r r=b e e ; b r wrin de fctor komt vn de integrtie over de hoeken en en de fctor r in de integrl vn de Jcobin in bolcoordinten. Verder uitwerken vn de integrl en gebruik mken vn de gegeven integrl bij opgve geeft: Z hv i T = e b dr r e r=b r = e b ( + b=) (c) hhi T = ht i T + hv i T = h mb e b ( + b=) De optimle b (d.w.z. die de lgste energie en dus de beste bendering voor de dhhi grondtoestndsenergie geeft) wordt gevonden uit de conditie: =, ofwel: db h = mb + e b ( + b=) + b ( + b=) ; Vermenigvuldigen met b en uitwerken vn de uitdrukking tussen rechte hken geeft: e h mb = b ( + b=) + ( + b=) = b + b= ( + b=) Nu moet je gebruik mken vn het gegeven dt b in feite gelijk is n met een kleine correctie drop (zie opgve en ook omdt klein is). Dus moet je

5 op de een of nder mnier in bovenstnde gelijkheid invoeren. Dit kn vi het tweede gelijkteken in de uitdrukkingen voor E in de opgve (ook gegeven in onderdeel (c) vn opgve!): = h me. Dn geldt dus voor de optimle b: b = b + b= ( + b=) Angezien geldt ook: b=. We kunnen dn de moeilijke breuk in het rechterlid (bv. vi een Tylor-ontwikkeling vn (+") voor kleine ") ls volgt benderen: + b= b ( + b=) = + : : : Let op dt je steeds lle termen die kwdrtisch zijn in de kleine prmeter b= meeneemt; dt zijn er meestl meerdere! Bedenk tenslotte dt voor de gevrgde leidende correctie op, we in bovenstnde ontwikkeling b door mogen vervngen (correcties hierop worden vn hogere orde). Dn hebben we: b b = + : : : = + : : : =) b = + () + : : : (d) Invullen vn de uitdrukking voor de optimle b uit (c) geeft: hhi min = h () e m + () + ( + =) ; wrbij in de uitdrukking voor de potentiele energie in de ltste fctor in de noemer b is vervngen door, ngezien de correctie tweede orde in is, de uitdrukking kwdrtisch in de noemer stt en er slechts gevrgd wordt nr een uitdrukking tot op tweede orde in. Gebruiken we nu de twee uitdrukkingen voor E gegeven in de opgve en ontwikkelen we lles in (gebruik dt: (+") = " + " + O(" )), dn vinden we: E () E hhi min = + () + = ( + =) = E () + : : : +E () + : : : + () + : : : = E () + + () + : : : De gevrgde beste fschtting voor de grondtoestndsenergie vn het Yukw wterstoftoom is dn: hhi min = E + () + O (() ) (Angezien de Coulomb-potentil wt is fgezwkt door de fctor exp( r) is de bindingsenergie wt kleiner, d.w.z. minder negtief, dn voor het wterstoftoom)

6 ) (Veel vn de redeneringen en berekeningen in deze opgve zijn precies hetzelfde ls in Problems 9., 9. en 9. vn Griths) () Gevrgd wordt nr componenten vn mtrixelement hnj ~r ji voor n = ; ; ; : : :. Angezien de positievector ~r drie componenten, x; y; z, heeft, heeft dit mtrixelement ook drie componenten. Er wordt dus gevrgd welke vn de mtrixelementen hnj x ji; hnj y ji en hnj z ji nul zijn. Angezien de goluncties gegeven zijn in bolcoordinten, moet je x; y en z in bolcoordinten schrijven: z = r cos ; x = r sin cos ; y = r sin sin Verder merken we op dt de goluncties n ltijd sferisch-symmetrisch zijn, d.w.z. niet fhngen vn de hoeken en. De golunctie hngt niet f vn. Dus de enige -fhnkelijkheid in de x- en y-componenten vn de mtrixelementen (voor lle n) is een enkele cos of sin. De integrl over (vn tot ) levert dus ltijd nul voor de x- en y-componenten. Je zou ook nr de -fhnkelijkheid R kunnen kijken, mr vergeet dn niet de fctor sin vn de Jcobin: sin cos d =, wrbij er nog een fctor sin vn de x of y komt en een fctor cos vn. De z-component is ongelijk n nul, wnt de -integrl levert op en de -integrl is (fctoren cos vn en z, fctor sin vn de Jcobin): Z cos sin d = Voor n = is de integrnd in de r-integrl duidelijk ltijd positief, dus die integrl is ongelijk nul; voor hogere wrden vn n is de r-integrl ook ltijd ongelijk nul, zols nnemelijk is wnneer je nr die integrlen kijkt (een lgemeen bewijs is wt lstiger, mr dt wordt hier niet verlngd). Opmerking: Het heeft wel degelijk zin nr mtrixelementen vn dit type voor n = te kijken, ook l kunnen er geen strlingsovergngen tussen ji en ji pltsvinden: de mtrixelementen kunnen nog steeds l dn niet nul zijn. (b) Volgens onderdeel () zijn de x- en y-componenten nul: hj x ji = hj y ji = We hoeven lleen nog de z-component te berekenen: hj z ji = p p = p Z Z Z Z e r= r cos r e r= cos r sin drdd = 5! ; dr r e r= = p wrin er een fctor vn de -integrl is, een fctor vn de -integrl (zie onderdeel ()) en voor de r-integrl een vn de gegeven integrlen n het

7 eind is gebruikt. Een goede controle op dit punt is om te zien of je ntwoord de goede dimensie heeft, d.w.z. het resultt moet iets met dimensie lengte zijn, bv. een dimensieloos getl ml de Bohr-strl zols hier. Het eindresultt voor het z-mtrixelement is dn: hj z ji = 7p 5 ' :75 (Je geeft blijk vn enig inzicht, indien je een resultt dt vn de verkeerde dimensie is of vn een onwrschijnlijke orde vn grootte, bv. honderden of duizenden Bohr-strlen, vn gepst commentr voorziet) (c) Er geldt m.b.v. het resultt vn onderdeel (b), dt j P ~ j = e 5 voor de overgng ji! ji. De energie vn de overgng is: E E = E = E = E, zodt! = Gebruik nu de gegeven formule voor A spont:em: : E h. A =! j P ~ j " hc = E 5 6 h e " hc = 9 E e 8 " h c Dit kn in de gevrgde vorm geschreven worden door gebruik te mken vn de twee gegeven formules voor E en : h e E e " h c = E m e m e e = = E h c m e c c ; zodt: A = 8 E m ec (d) De levensduur is: = A = 8 :5 6 :6 c :59 8 s =) = :6 9 s (Ook hier geldt, dt je n oop vn dit college (met werkcollege) gecht wordt een idee te hebben vn redelijke wrden voor de levensduur: vind je een resultt dt de nu bekende leeftijd vn het heell bendert, dn kun je dr best een verstndige opmerking over mken)