4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat

Transcriptie

1 Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste mcht is immers ook een kwdrt, een -de mcht ook een derdemcht Je kn dit ook zien ls een toepssing op wegdelen vn gemeenschppelijke fctoren in exponenten ), mr dit is niet n te rden! Vk wordt de wortelexpontent vergeten, en blijft er onterecht een VKW stn) De stppen tussen de hken moet je op termijn leren oversln 0 b c 0 bc Wortels vn producten mogen ge- b 6 b ; splitst worden Wortels vn decimle getllen mg je met het RT uitrekenen Mr voor opgven met gehele numerieke fctoren wordt een exct resultt verwcht In de regel wordt elke gehele fctor ontbonden in priemfctoren: ; Als een wortel niet kn weggewerkt worden moet je het grondtl de rdicnd) zo veel mogelijk vereenvoudigen: 0 6 b 6 b b b b Regel: zo veel mogelijk kwdrten fsplitsen uit het grondtl Voor een -de mchtswortel probeer je uiterrd -de mchten of 0-de, -de,, mchten) f te splitsen: 6 b b 0 b b b 6 Als lle exponenten, inclusief de wortelexponenten, een gemeenschppelijke fctor hebben deel je die best voorf weg: 8 b 0 c 8 b c ) b b c 6 c bc b c Merk op dt een vorm zols 8 b onvereenvoudigbr is Hier een fctor wegdelen in de exponenten is een zwre fout Producten vn wortelvormen Producten vn wortels moeten herleid worden tot een vorm wrin slechts één wortel meer voorkomt, met een zo eenvoudig mogelijk grondtl Gelijknmige wortels dwz: met dezelfde wortelexponent) kunnen direct gecombineerd worden: 6 b b b ) b b 9 De volgorde wrin je werkt is belngrijk ls je geen tijd wil verliezen: eerst de wortels combineren, dn ps het grondtl vereenvoudigen Ongelijknmige wortelvormen moeten eerst gelijknmig gemkt worden Dit kn je bereiken door lle exponenten in een wortelvorm met eenzelfde fctor te vermenigvuldigen Gebruik het kleinste gemeen veelvoud kgv) vn de wortelexponenten: ) Vergeet niet dt de onzichtbre) wortelexponent in een vierkntswortel een is! In mchten vn wortels mg je de exponent onder het wortelteken brengen Denk ern dt je in torens vn mchten de exponenten moet vermenigvuldigen ) b 8 6 b 8 b b Dit is een eindresultt: grote getllen zols 68 lt je het best in priemfctoren stn

2 Torens vn wortels In torens vn wortels moet je de exponenten vermenigvuldigen Denk er n dt de onzichtbre) wortelexponent vn een vierkntswortel een is 6 b 0 6 b 8 b b 6 b De volgorde wrin je werkt is belngrijk: het heeft geen zin om eerst het grondtl vn de binnenste wortel te vereenvoudigen Is het grondtl vn de buitenste wortel een product dn herleid je dt product eerst tot één enkele wortel b b 8 b 8 b Dit is een voorbeeld vn de regel dt je bij het vereenvoudigen vn een uitdrukking best vn binnen uit begint Eerst de buitenste wortel splitsen b 6 b ) kn ook, mr is net iets minder hndig Heeft de binnenste wortel een voorfctor dn breng je die eerst binnen de wortel Dit is het omgekeerde vn wt je norml doet ) Wortelvrij mken vn de noemer Rtionle of: gebroken) vormen worden zo herschreven dt de noemer geen wortelvormen meer bevt Dit doe je door T en N met een zelfde goed gekozen fctor te vermenigvuldigen Dit wortelvrij mken vn de noemer doe je best voor lle ndere vereenvoudigingen ) Algemeen geldt de regel: b De noemer bestt uit één enkele VKW Vermenigvuldig T en N met de kleinste VKW die vn lle grondtllen een kwdrt mkt b b b b b b b 6 b T en N met vermenigvuldigen is geen fout tegen de lgebr, mr vereenvoudigt deze uitdrukking niet Om de wortelvorm uit de noemer te elimineren moet het grondtl een de mcht gemkt worden Dus: ) Vermenigvuldig T en N met de kleinste de mchtswortel die b 6 vn lle grondtllen een de mcht mkt b 6 b b 6 b b b b 0 b De noemer is een som Vermenigvuldig T en N met + Hierdoor krijg je in de noemer een MP vn de vorm b) + b) b De kwdrten zorgen er voor dt de wortelvormen in de N verdwijnen ) Omdt en + smen een MP vormen noemen we ze toegevoegde tweetermen Deze methode om sommen vn wortelvormen uit de noemer te elimineren heet dn ook methode vn de toegevoegde tweeterm TT)

3 6 + b + b Ook hier is TT vn toepssing: + b + b b + b + b b b + b b b b) b b + b+ c Omdt er drie wortelvormen in de N stn moeten we TT twee keer n elkr toepssen Reken de detils zelf n + b + c + b) c + b + c + b) c + b) c + b c) + b + b c) b + b c) b + b + c) + b + c) + bc + b + c b bc c 8 Zuiver wiskundig gesproken mk je geen fout door T en N te vermenigvuldigen met +, mr prctisch gezien wel In de noemer het MP b vormen helpt immers niet om een derdemchtswortel weg te werken Hier vermenigvuldig je T en N met de toegevoegde drieterm ) + + Je krijgt in de N een MP vn de vorm b) + b + b ) b, en hierdoor verdwijnen de derdemchtswortels uit de N ) + + ) + + ) + + ) + + We noemen dit de methode vn de toegevoegde drieterm TD) 9 + b Ook hier is TD vn toepssing: + b + b b + b b + b b + ) b 8 + 8b b + b 8 + b Algebr vn mchten Het hoofddoel hier is het vereenvoudigen vn uitdrukkingen Hierbij steun je op de vier RR voor mchten Prctisch gezien orgnizeer je de berekeningen best ls volgt: Numerieke fctoren ontbinden in priemgetllen Noemers en eventuele wortelvormen wegwerken Indien nodig gebruik je negtieve en/of gebroken exponenten Torens vn mchten wegwerken Mchten met gelijke grondtllen combineren Het eindresultt herschrijven in klssieke vorm, dwz: zonder negtieve of gebroken exponenten, en met hoogstens één wortelvorm in de teller De ngegeven volgorde is de meest prctische Deze werkwijze is norml gezien enkel vn toepssing op producten In sommen kn je vk niet meer doen dn elke term fzonderlijk te vereenvoudigen Denk er n dt sommen vn gebroken vormen in principe moeten gecombineerd worden door ze op gelijke noemer te brengen Zuiver gehele exponenten Nst de lgemene regels hou je best rekening met het volgende: 6

4 Bij gehele exponenten kunnen de grondtllen negtief zijn Eventuele )-tekens hl je zo snel mogelijk weg uit het grondtl Hou rekening met de priteit vn de exponent In uitdrukkingen met verschillende niveu s vn hkjes vereenvoudig je het best vn binnen uit Denk er ten slotte n dt mchten vn een som onvereenvoudigbr zijn b ) b ) b ) 0 b ) 8 b 6 +9 b b ) b b Merk op hoe elk tussenresultt op één regel zonder breukstrepen) stt 8 b ) 9b ) b) b b ) b) + b + ) 6 b b b b 6+ ) b Merk op dt het beter is om eerst de breukstreep weg te werken binnen de hken) en dn ps de toren vn mchten te vereenvoudigen dn omgekeerd Vereenvoudigen vn wortelvormen Om een ingewikkelde wortelvorm te vereenvoudigen herschrijf je die vk het best in termen vn mchten met rtionle exponenten Dit kn enkel ls lle getllen onder de wortel positief zijn! Zo nodig moet je het eindresultt echter wel opnieuw ls een eenvoudige wortelvorm kunnen schrijven De kunst bestt er in om direct de meest eenvoudige vorm te krijgen, zodt je geen verdere berekeningen met wortels meer moet mken ) 0+ ) + De stppen tussen hkjes kn je met enige oefening gerust oversln b + b + b b b + b + b b 9 b b 9 Regel Een uitdrukking met positieve) rtionle exponenten herschrijven ls een wortelvorm doe je ls volgt: Alle gebroken exponenten splits je in een geheel deel en een echte breuk Dwz: met T < N) Zet lle echte breuken op een zo klein mogelijke gemeenschppelijke noemer Met de gehele delen schrijf je de fctor vóór het wortelteken, met de breukdelen schrijf je het grondtl vn één enkele wortelvorm Met negtieve exponenten is een bijkomende stp nodig om te vermijden dt er wortels opduiken in de noemer + In de tweede stp hebben we in T en N met vermenigvuldigd Hierdoor wordt de exponent in de N zuiver geheel en krijgen we geen wortel in de noemer Met een klein beetje oefening kn het nog beter zo: + ) +, wrdoor je het schrijven vn breukstrepen vermijdt tot in de ltste stp 6 0 b 6 6 b b 6 8 b, + b + b b b of met een beetje oefening: 6 0 b 6 b 6 + b + b b 6 8 b b Regel Een uitdrukking met negtieve rtionle exponenten herschrijven ls een wortelvorm doe je ls volgt: 8

5 Splits lle negtieve rtionle exponenten op in een negtief geheel deel en een positieve echte breuk De rest vn de procedure is identiek ls voor positieve exponenten Nog enkele modeloefeningen met x > 0): x x x x x x x x ) x x x x x x x x ) ) x x x In de prktijk zl men zo een mcht met een grote noemer in de exponent) ls mcht lten stn 9 Ontbinden in fctoren x x x x ) x x )x + ) De nulpunten zijn x 0 met µ ) en x ± elk met µ ) x 6x + 9) x ) ) x ) x ) x + ) De nulpunten zijn x ± elk met µ ) Vk zl men de voorltste vorm de vierdemcht zonder vierkntswortels) ls zodnig lten stn y x 6 6 0) Omdt een zesde mcht ook een kwdrt en een derdemcht is x 6 x ) x ) ) zijn er verschillende MP-formules vn toepssing Het is ngewezen om met de eenvoudigste te beginnen Dus: y x )x + ) x )x + x + )x + )x x + ) De fctoren vn grd hebben D < 0 en zijn dus onontbindbr De nulpunten zijn x ±, elk met µ Als je het MP voor b eerst toepst krijg je y x )x + x + ) Volgens d Alembert moet de fctor vn grd nog verder kunnen ontbonden worden, mr omdt deze geen nulpunten heeft D < 0) zijn deze mr moeilijk te vinden y x + x Dit kn opgelost worden met de s, p)-methode Stel s we gebruiken de + -vrint vn de de formule) en p ±) ) ±) 6) ±) ) Het product )+) komt overeen met de juiste som en we besluiten: y x )x + ) y x xy + 6y Stel s y en p 6y ±y)±6y) Het product y) 6y) komt overeen met de juiste som en we besluiten: y x y)x 6y) 6 y x x + De discriminnt is De nulpunten zijn { x, ± /, 0

6 en dus: y x )x ) x )x ) y 6x x We kiezen x ls vernderlijke en ls prmeter Het omgekeerde kn ook) De discriminnt is D 6 ) 9 De nulpunten zijn x, + ± 6 { / /, en dus: y 6x )x + ) x )x + ) Opmerking In de ltste twee voorbeelden zijn we er in geslgd om de breuken weg te werken mbv de constnte voorfctor de coëfficiënt vn x ) Dit is geen toevl Een stelling vn Guss) zegt: ls een veelterm met gehele coëfficiënten kn ontbonden worden in fctoren met gebruik vn breuken dn kn het ook zonder 8 y 9x 6 x + Strikt genomen is dit een veelterm vn grd Mr omdt oneven mchten vn x niet voorkomen is dit essentieel een uitdrukking vn grd in de vernderlijke x De discriminnt is D De nulpunten wrden voor x!) zijn x, 6 ± 0 9 De twee nulpunten vllen smen, wt wil zeggen dt y een merkwrdig product MP) verbergt: y 9x ) x ) Als je goed kijkt zie je dit MP direct en kn je je de berekening vn D bespren Meestl houdt men bovenstnde vorm ls eindresultt, mr je kn nog één stp verder gn: y x ) x + ) De echte nulpunten wrden voor x) zijn ±/, elk met µ 9 x xy 6x + 8y xx y) x y) x )x y) Let op het ptroon, ) 6, 8) of, 6), 8) twee keer met de juiste tekenwissels) in de numerieke coëfficiënten 0 y x + x x 6 Opnieuw is er een herhlingsptroon nwezig in de numerieke coëfficiënten dt ons de weg toont y x x + ) x + ) x )x + ) x )x + )x + ) fx) x + x + x 6 Hier is geen ptroon merkbr in de coëfficiënten We gokken nr een nulpunt en gebruiken indien mogelijk de methode vn Horner De kndidt nulpunten zijn ±, ±, ± en ±6 del 6) Uit het hoofd of mbv je RT) zie je dt f±) 0 en f) 0 mr f ) Opstellen vn het rekenschem leert dt fx) x + )x { + x ) De fctor vn grd heeft / D 6 en nulpunten x, reken n!) zodt tenslotte / fx) x + )x )x + ) x + )x )x + ) Elk nulpunt heeft µ fx) x x x + 6 We proberen opnieuw Horner De kndidt nulpunten zijn dezelfde ls hierboven Dit keer vind je reken n!) f ) f) 0 Het rekenschem opstellen verloopt nu in twee fsen: We vinden direct een volledige ontbinding in fctoren vn grd : fx) x + )x )x ) Een lterntieve werkwijze zou kunnen zijn om het rekenschem f te breken n de eerste fse en de nulpunten vn het quotiënt qx) x x + te berekenen mbv de discriminnt

7 fx) x x + x + Vn de kndidt nulpunten ±, ± en ±) blijft enkel x over De stelling vn d Alembert grndeert echter dt fx) minstens) twee fctoren vn grd zl hebben proberen we twee keer n elkr te delen door de fctor x ) Merk op dt de term x ontbreekt in de somvorm vn fx), mw dt 0 Deze coëfficiënt wordt vk vergeten in het rekenschem, met soms moeilijk op te sporen fouten tot gevolg zodt fx) x ) x + x + ) De ltste fctor is onontbindbr D < 0) Er is mr één enkel nulpunt x met µ Drom fx) x x x x Reken n dt f±) 0 en f) 0 We proberen opnieuw twee keer n elkr te delen door x ): r0 0! In dit voorbeeld gt de tweede deling echter niet op! Er is een restterm) We hebben dus slechts een gedeeltelijke ontbinding 0 fx) x )x + x + x + ) De enige kndidt nulpunten vn het quotiënt zijn ±, mr die zijn reeds uitgesloten Volgens d Alembert is er gegrndeerd nog een fctor vn grd dus een nulpunt), mr die is niet eenvoudig te vinden Volgens Derive is, op vier cijfers nuwkeurig, fx) x )x + 089)x 089x ) Er zijn dus twee nulpunten, elk met mulitipliciteit