Ongelijkheden groep 2

Transcriptie

1 Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid dn en slechts dn ls er een reëel getl λ is zodt x i = λy i voor lle i =,,, n, of y i = 0 voor lle i =,,, n Bewijs: Als lle y i gelijk n nul zijn, geldt de ongelijkheid Er geldt in dt gevl zelfs gelijkheid We gn er nu verder vn uit dt niet lle y i gelijk n nul zijn Zeg y i0 0 Voor de gegeven prmeters x,, x n, y,, y n R beschouwen we de functie p(t = n (x i ty i Dit is een som vn kwdrten, dus geldt p(t 0 met gelijkheid dn en slechts dn ls x i = ty i voor lle i Merk op dt er hooguit één zo n t is, bepld door t = t 0 = x i 0 y i0 We schrijven p(t in de vorm t + bt + c: ( p(t = ( tx i y i + t yi = t x i y i t + Wegens ( n y i yi 0 > 0 is dit een dlprbool Deze heeft discriminnt D = b 4c = 4 x i y i 4 Het feit dt t : p(t 0 met hooguit in t = t 0 gelijkheid, betekent dt er nul of één snijpunt met de t-s is Dt lt zich nu vertlen in D < 0 of D = 0 Dus x i y i

2 Er treedt gelijkheid op precies dn ls D = 0, dus precies dn ls (x,, x n = t(y,, y n voor zekere t Het is in de volgende opgven elke keer de kunst om de x i tjes en y i tjes hndig te kiezen Soms moet je voor of n het toepssen vn Cuchy-Schwrz ook nog een ndere stp doen (herschrijven of een ndere ongelijkheid toepssen Kijk ltijd goed welke knt het ongelijkheidsteken op stt; dit kn je een hint geven over hoe je x i en y i moet kiezen Voorbeeld Lt, b, c, d, e en f positieve reële getllen zijn met d + e + f = Bewijs dt d + b e + c f ( + b + c Uitwerking We pssen Cuchy-Schwrz toe op de rijtjes (, b, c en ( d, e, f d e f Merk op dt d, e en f positief zijn, zodt we kunnen delen en wortels mogen trekken We krijgen ( ( d + b e + c (d + e + f + b f + c Omdt ook, b en c positief zijn, is de rechterknt gelijk n ( + b + c Als we nu gebruiken dt d + e + f =, krijgen we precies het gevrgde Opgve Lt, b en c reële getllen zijn met + b + c = Bewijs dt b + c + b c + + c + b Opgve Lt,,, n (met n positieve reële getllen zijn, zodt n = Bewijs dt n n Opgve 3 Lt, b en c positieve reële getllen zijn met + b + c = Bewijs dt b + + 4c + Opgve 4 Lt, b en c positieve reële getllen zijn Bewijs dt: + b + c + b + c bc

3 Opgve 5 Lt, b en c reële getllen zijn Bewijs dt ( + b 3 + c 6 + b 3 + c 6 Opgve 6 (Ongelijkheid vn het kwdrtisch en rekenkundig gemiddelde Lt x, x,, x n niet-negtieve reële getllen zijn Bewijs dt x + x + + x n n x + x + + x n n Opgve 7 Lt x, y en z reële getllen zijn, groter dn en zo dt + + x y z dt x + y + z x + y + z = Bewijs Opgve 8 Zij n een positief geheel getl en lt x, y, x, y,, x n, y n positieve reële getllen zijn zodt x + x + + x n x y + x y + + x n y n Bewijs dt x + x + + x n x y + x y + + x n y n Opgve 9 Lt x, x,, x n (n > reële getllen zijn, zodt de totle som s = n k= x k vn deze getllen groter is dn x l voor elke l Bewijs dt k= x k s x k s n Opgve 0 Lt,,, n (met n positieve getllen zijn, zodt n = Bewijs dt n n n ( n De lengte vn een vector x = (x, x, x 3 is de fstnd vn het punt (0, 0, 0 tot het punt (x, x, x 3 in de 3-dimensionle ruimte De vector x en de verschoven vector y (die vn (x, x, x 3 nr (x + y, x + y, x 3 + y 3 loopt kunnen we smen met de vector x + y beschouwen ls de drie zijden vn een driehoek OXZ, met O = (0, 0, 0, X = (x, x, x 3 en Z = (x + y, x + y, x 3 + y 3 Opgve Leidt de volgende 3-dimensionle versie vn de niet-strikte driehoeksongelijkheid f: Voor lle x, y R 3 geldt x + y x + y 3

4 Rvi Lt gegeven zijn de driehoekszijden > 0, b > 0 en c > 0 Het stelsel y + z = z + x = b x + y = c heeft een unieke oplossing: uit optellen volgt (x+y+z = +b+c Definieer s = +b+c ls de hlve omtrek, dn moet dus x+y+z = s, dus x = s (y+z = s = +b+c = +b+c De driehoeksongelijkheid b+c > impliceert nou precies dt x > 0 Anloog voor y = s b en z = s c Omgekeerd, lt gegeven zijn x, y, z > 0 en definieer, b en c ls hierboven, dn kunnen we die opvtten ls driehoekszijden Inderdd, bijv b + c = (z + x + (x + y = (y + z + x > y + z = ; rest nloog Dus dn wordt n de driehoeksongelijkheden voldn Rvi De eis voor een drietl (, b, c dt het moet voldoen n de driehoeksongelijkheden + b > c; b + c > en c + > b is equivlent met de eis dt x, y, z > 0, ls we vervngen door y + z, b door z + x en c door x + y De omgekeerde trnsformtie wordt gegeven door x = s, y = s b en z = s c, met s = +b+c De lengtes x, y en z kunnen meetkundig gevonden worden door de ingeschreven cirkel in ABC te construeren en de rklijnstukken vnuit de hoekpunten te beschouwen: ls P, Q en R de rkpunten zijn vn de ingeschreven cirkel n de zijden BC, CA en AB respectievelijk, dn RB = y = BP ; P C = z = CQ en QA = x = AR Je pst de Rvi-trnsformties in de prktijk toe ls je een bewering lleen hoeft te bewijzen voor drietllen, b en c die de lengtes zijn vn zijden vn een driehoek Zie je bovendien nog uitdrukking ls + b c stn, dn weet je heleml zeker dt het wel een hndig idee kn zijn om Rvi toe te pssen Een enkele keer kun je ook direct de driehoeksongelijkheden ( + b > c, etc toepssen Voorbeeld Lt een driehoek met lengten der zijden, b en c gegeven zijn Bewijs dt + b c + b + c + c + b + b + c, met gelijkheid dn en slechts dn ls = b = c Uitwerking Omschrijven met Rvi geeft de equivlente ongelijkheid x+ y + z x + y + y + z + z + x voor x, y, z > 0 Deze volgt uit de ongelijkheid vn het reken- 4

5 kundig en kwdrtisch gemiddelde: x + y y + z z + x x + y + z = + + x + y y + z z + x + + = x + y + y + z + z + x Gelijkheid geldt precies dn ls x = y = z, dus precies dn ls = b = c Opgve Voor een driehoek ABC met lengten der zijden, b en c definiëren we x, y en z ls hierboven Beschouw nu de ngeschreven cirkel n zijde BC (dwz tegenover hoekpunt A Deze rkt (het verlengde vn de zijden BC, CA en AB in P, Q, R Druk de lengtes R B, BP, P C en CQ uit in x, y, z Opgve 3 Lt een driehoek met lengten der zijden, b en c gegeven zijn Bewijs dt (b + c (c + b( + b c bc Opgve 4 Lt een driehoek met lengten der zijden, b en c gegeven zijn Bewijs dt b + c + b c + b + c + b c 3 Opgve 5 Lt een driehoek met lengten der zijden, b en c gegeven zijn Bewijs dt 3(b + bc + c ( + b + c 4(b + bc + c Opgve 6 (IMO 964 Lt een driehoek met lengten der zijden, b en c gegeven zijn Bewijs dt (b + c + b (c + b + c ( + b c 3bc Opgve 7 Lt positieve reële, b, c gegeven zijn Bewijs dt er een driehoek is met zijdelengtes, b en c dn en slechts dn ls x + yb > xyc voor lle x, y R met x + y = 5