wordt in de natuurkunde vaak door een vector, d.w.z. een pijl van ( ( , voorgesteld. De correspondentie tussen vectoren en paren punten ( a

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Vectorruimten 1.1 Inleiding, definities en voorbeelden Een vn de meest fundmentele ontdekkingen in de wiskunde is ongetwijfeld de coördintisering vn het pltte vlk, onfhnkelijk gedn door Pierre de Fermt ( ) en René Descrtes ( ). D.w.z. je kiest een punt in het vlk, noemt dt de oorsprong en beschrijft dn vn druit ieder punt vn het vlk met twee coördinten (,b). M..w. ieder punt vn het vlk kn door een element vn R 2 worden voorgesteld. Het pr ( b) wordt in de ntuurkunde vk door een vector, d.w.z. een pijl vn ( ( ) nr b), voorgesteld. De correspondentie tussen vectoren en pren punten ( b) uit R 2 gt zelfs nog verder: je kunt twee vectoren v 1 en v 2 volgens de bekende prllellogrmwet optellen en krijgt dn een nieuwe vector. Als de vector v 1 begint in ( ( ) en eindigt in ) b en de vector v2 begint in ( ) en eindigt in ( ) c d, dn kun je mkkelijk nrekenen dt de vector v1 + v 2 begint in ( ( ) en eindigt in +c ) b+d m..w. je vindt het eindpunt vn de nieuwe vector v1 + v 2 door de pren ( ( b) en c ) d coördintsgewijs op te tellen m..w. ( ) (1.1) + b ( ) c := d ( ) + c. b + d Ook kun je een vector v met een getl λ R vermenigvuldigen. De resulterende vector λv heeft ls eindpunt ( λ ( λb), wrbij b) het eindpunt vn v is. M..w. het eindpunt is verkregen door het pr ( b) coördintsgewijs met λ te vermenigvuldigen m..w. ( ) ( ) λ (1.2) λ :=. b λb Smengevt: Het pltte vlk met de bekende vector optelling en vermenigvuldiging vn een vector met een reëel getl (sclir genmd) kunnen we vervngen door R 2 met de coördintsgewijze optelling zols in (1.1) en met de sclirvermenigvuldiging zols in (1.2). Ook voor de ons omringende drie dimensionle ruimte kunnen we eenzelfde verhl houden: eenml een oorsprong gekozen hebbende correspondeert een vector uit de drie dimensionle ruimte met de optelling vn de bijbehorende drietllen in R 3 d.m.v. + b c + b c := 5 b + b c + c.

2 6 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN Net zo correspondeert het vermenigvuldigen vn een vector uit de drie dimensionle ruimte met een getl λ R met het componentsgewijs vermenigvuldigen vn een element vn R 3 m..w. λ λ b := λb. c λc Smengevt: we kunnen de meetkunde in de twee resp. drie dimensionle ruimte vervngen door het lgebrïsche object R 2 resp. R 3 met zijn optelling en sclirvermenigvuldiging zols hierboven is gedefinieerd. Het punt is nu dt onze meetkundige voorstelling ophoudt n de drie dimensionle ruimte d.w.z. we kunnen ons geen voorstelling mken vn een 4, 5 of hoger dimensionle ruimte, echter... de lgebr gt door! Definitie De verzmeling R n noemen we de n-dimensionle ruimte of liever n-dimensionle vectorruimte. De elementen uit R n noemen we vectoren. i) Optelling vn de vectoren uit R n definiëren we d.m.v. 1. n + b 1. b n := 1 + b 1. n + b n. ii) Sclirvermenigvuldiging op de vectoren uit R n definiëren we d.m.v. 1 λ 1 λ. :=. voor iedere λ R. n λ n De verzmeling R n met deze optelling en sclirvermenigvuldiging heeft de volgende eigenschppen. Met R n noteren we de vector wrvn lle componenten zijn en voor u R n zij u de vector ( 1)u wrvn iedere component het tegengestelde is vn die vn u. Stelling Voor lle u,v,w R n en lle c,d R geldt 1. u + v = v + u; 2. (u + v) + w = u + (v + w); 3. u + = + u = u; 4. u + ( u) = = u + u; 5. c(du) = (cd)u; 6. 1.u = u. 7. c(u + v) = cu + cv; 8. (c + d)u = cu + du; Opgve Bewijs deze stelling. Zols hieronder duidelijk zl worden zijn er buiten R n heel wt verschillende verzmelingen die ook n de regels uit stelling voldoen. Dit heeft er rond 19 toe geleid een nieuw begrip in te voeren wrmee l deze verzmelingen beschreven konden worden; dit werd het begrip vectorruimte. We geven nu eerst de formele definitie en drn een groot ntl voorbeelden die dit begrip (hopelijk) zullen doen leven!

3 1.1. INLEIDING, DEFINITIES EN VOORBEELDEN 7 Definitie Een vectorruimte is een verzmeling V vn objecten, vectoren genoemd, met drop een optelling en een sclirvermenigvuldiging. D.w.z. bij ieder tweetl vectoren u en v in V bestt er een vector, genoteerd u+v, in V en bij ieder tweetl c R en u V bestt er een vector, genoteerd cv, in V. Bovendien moeten deze optelling en sclirvermenigvuldiging n de volgende 8 xiom s voldoen. Deze xiom s gelden voor lle vectoren u, v, w in V en lle scliren c en d in R. Eigenschppen voor de optelling 1. u + v = v + u, commuttieve wet. 2. (u + v) + w = u + (v + w), ssocitieve wet. 3. Er bestt een nulvector in V zdd u + = u. 4. Voor iedere u in V bestt er een tegengestelde vector u in V zdd u + ( u) =. Eigenschppen voor de sclirvermenigvuldiging 5. c(du) = (cd)u, ssocitieve wet u = u. Gecombineerde eigenschppen voor optelling en sclirvermenigvuldiging 7. c(u + v) = cu + cv, distributieve wet. 8. (c + d)u = cu + du, distributieve wet. Voorbeeld R n met de in definitie gedefinieerde optelling en sclirvermenigvuldiging is een vectorruimte volgens stelling Voorbeeld Zij S de verzmeling vn lle dubbel oneindige rijtjes getllen: {y k } = (...,y 2,y 1,y,y 1,y 2,...). Als {z k } ook zo n element vn S is, dn definiëren we de som {y k } + {z k } ls de rij {y k + z k } door pltsgewijs de elementen vn beide rijen op te tellen. De sclirvermenigvuldiging definiëren we d.m.v. c{y k } := {cy k }. Ook S is een vectorruimte: het controleren vn de xiom s gt net ls in Bijvoorbeeld het rijtje dt uit lleml nullen bestt voldoet n xiom 3 en ls u = {y k } dn voldoet het rijtje { y k } n xiom 4. De ruimte S heet de ruimte der (discrete tijd) signlen. Voorbeeld Voor n bestt de verzmeling Pol(n) der polynomen vn grd ten hoogste n uit de polynomen vn de vorm p(t) = + 1 t + + n t n wrbij de coëfficiënten, 1,..., n reële getllen zijn en t een vribele is. De grd vn p(t) is de hoogste mcht die voorkomt. Het polynoom wrvn lle coëfficiënten nul zijn heeft per definitie grd (min oneindig) en heet het nulpolynoom. Als ook q(t) = b + b 1 t + + b n t n in Pol(n) is, dn definiëren we hun som p(t) + q(t) d.m.v. p(t) + q(t) := ( + b ) + ( 1 + b 1 )t + + ( n + b n )t n. Voor c R dn definiëren we cp(t) := c + (c 1 )t + + (c n )t n.

4 8 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN De lezer kn nu zelf ngn dt Pol(n) een vectorruimte is: bijvoorbeeld het nulpolynoom speelt de rol vn uit xiom 3 en het polynoom ( 1)p(t) speelt de rol vn u uit xiom 4. Voorbeeld De verzmeling M mn (R) der m n mtrices met de in hoofdstuk 2 vn LA1 gedefinieerde optelling en sclirvermenigvuldiging gedefinieerd door c( ij ) := (c ij ) is een vectorruimte. Het xiom 3 is vervuld door de nulmtrix, bestnde uit lleml nullen en ls u = (u ij ) dn voldoet ( u ij ) n xiom 4. De rest wordt n de lezer overgelten. Voorbeeld Een verzmeling die geen vectorruimte is. Zij V := R 2 en neem op V de gewone optelling mr de volgende (ongewone) sclirvermenigvuldiging c(u 1,u 2 ) := (cu 1,). Dn is V geen vectorruimte, immers n xiom 6 is niet voldn, nmelijk 1.(u 1,u 2 ) = (1.u 1,) = (u 1,) (u 1,u 2 ) = u ls u 2! Voorbeeld Zij V de verzmeling vn lle reëel-wrdige functies op een gegeven verzmeling D. Functies tellen we op de gebruikelijke mnier (puntsgewijs) op: ls f : D R en g : D R definiëren we f + g d.m.v. (f + g)(t) := f(t) + g(t) voor lle t D. Als c R en f : D R definiëren we een sclirvermenigvuldiging d.m.v. (cf)(t) := cf(t) voor lle t D. Twee functies zijn gelijk ls ze voor iedere t D gelijke wrden hebben. De verzmeling V met de zojuist gedefinieerde optelling en sclirvermenigvuldiging is een vectorruimte. De meeste xiom s volgen onmiddellijk uit die vn de reële getllen. De nulfunctie gedefinieerd door (t) = voor lle t D voldoet n xiom 3 en ls f : D R dn voldoet de functie ( 1).f n xiom 4. Opmerking De tot nog toe genoemde voorbeelden delen een eigenschp die het ngn vn de xiom s sterk vereenvoudigd: het rekenwerk is in ieder vn de voorbeelden terug te brengen op berekeningen in de reële getllen omdt de bewerkingen (optelling, sclirvermenigvuldiging) d.m.v. componenten vn de vectoren gedefinieerd zijn, die zelf reële getllen zijn. Mr de reële getllen hebben ntuurlijk de in de xiom s vereiste eigenschppen. De krcht vn vectorruimte theorie is gelegen in het feit dt vectorruimten in llerlei problemen verborgen zitten. Het is dn ook voorl de kunst om vectorruimten te herkennen ls je ze tegenkomt (immers dn kun je de hele theorie loslten die we hieronder gn ontwikkelen). Hét gereedschp dt je helpt bij het herkennen vn vectorruimten in het wild is de volgende eenvoudige mr zéér nuttige stelling. Eerst een definitie. Definitie Zij V een vectorruimte. Een deelverzmeling W vn V heet een lineire deelruimte vn V ls geldt 1) W.

5 1.1. INLEIDING, DEFINITIES EN VOORBEELDEN 9 2) W is gesloten onder de optelling vn V, d.w.z. ls w 1 en w 2 in W, dn is ook w 1 + w 2 in W. 3) W is gesloten onder de sclirvermenigvuldiging op V, d.w.z. ls w in W en c in R, dn is ook cw in W. Stelling Zij V een vectorruimte en W een lineire deelruimte vn V. Dn is W een vectorruimte. Voordt we deze stelling bewijzen, geven we eerst wt voorbeelden hoe hij in de prktijk wordt toegepst. Het grote voordeel is ntuurlijk dt je i.p.v. 8 nog mr 3 xiom s hoeft n te gn, wrvn er bovendien één is, het controleren of in W zit. In feite kn 1) zelfs door de zwkkere eis worden vervngen dt W niet leeg is, wnt uit 3) volgt dn (m.b.v. lemm ) dt.w = in W zit. M..w. het enigste wt je dn nog moet ngn is of W gesloten is onder de optelling en sclirvermenigvuldiging. Voorbeeld Zij A een m n mtrix. Bekijk het stelsel Ax = en definieer Lt zien dt Nul(A) een vectorruimte is. Nul(A) := {x R n Ax = }. Oplossing. Volgens is het voldoende te lten zien dt Nul(A) een lineire deelruimte vn R n is. Duidelijk is dt Nul(A) omdt A. =. Stel nu dt x en y in Nul(A) m..w. Ax = en Ay =. Dn A(x + y) = Ax + Ay = + =. Dus x + y Nul(A). Tenslotte, ls x Nul(A) en c R, dn A(cx) = cax = c. = en dus cx Nul(A). M..w. Nul(A) is een lineire deelruimte vn R n. Voorbeeld Bekijk de differentilvergelijking (1.3) y + 7y =. Zij S gedefinieerd ls de verzmeling vn lle functies vn R nr R die n (1.3) voldoen. Lt zien dt S een vectorruimte is. Oplossing. Uit (met D = R) volgt dt de verzmeling V bestnde uit lle functies vn R nr R een vectorruimte is. We moeten dus volgens lten zien dt S een lineire deelruimte vn V is. Duidelijk is dt de nulfunctie n (1.3) voldoet, dus in S zit. Lt nu y 1 en y 2 in S m..w. y 1 + 7y 1 = en y 2 + 7y 2 =. Dn y 1 + 7y 1 + y 2 + 7y 2 = en dus (y 1 + y 2 ) + 7(y 1 + y 2 ) = m..w. y 1 + y 2 S. Tenslotte, ls c R en y S dn y + 7y = en dus c(y + 7y) =. Dus (cy) + 7(cy) = m..w. cy S. Smengevt S is een lineire deelruimte vn V. Lten we nu bewijzen. Het bewijs mkt gebruik vn de volgende twee lemm s. De bewijzen vn deze lemm s leren ons ook hoe we met de bstrcte xiom s 1 t/m 8 moeten omgn. Lemm Zij V een vectorruimte. Dn geldt: i) Het element uit xiom 3 is uniek. ii) Het element u uit xiom 4 is uniek.

6 1 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN Bewijs. i) Stel dt ook de vector in V voldoet n u + = u voor lle u in V. Dn i.h.b. door u = te nemen vind je (1) + =. Ook geldt volgens xiom 3 dt u + = u voor lle u in V en dus door i.h.b. voor u = te nemen vind je (2) + =. Omdt volgens xiom 1 geldt dt + = + volgt dn uit (1) en (2) dt =. ii) Stel u + = en u + b =. Dn b + (u + ) = (b + u) + = (u + b) + = + =. Anderzijds b + (u + ) = b + = b. Dus b =. Het element uit V noemen we drom de nulvector uit V en het unieke element u in V de tegengestelde vn u. Lemm Zij V een vectorruimte en v in V. Dn geldt: i).v = (= de nulvector in V ). ii) ( 1)v = v (= de tegengestelde vn v in V ). Bewijs. i).v +.v = ( + ).v =.v. Tel n beide knten.v op. Dit geeft (.v +.v) +.v =.v +.v =. Links stt.v + (.v +.v) =.v + =.v. Dus.v =. ii) ( 1)v + v = ( 1)v + 1.v = (( 1) + 1)v =.v =. Dus ( 1)v is de unieke tegengestelde vn v m..w. ( 1)v = v. Bewijs vn De xiom s 1, 2 en 5 t/m 8 volgen uit die vn V, xiom 3 volgt uit W en tenslotte ls w W, dn ( 1)w W. Dn met volgt ( 1)w + w =, dus ( 1)w is een tegengestelde vn w in W. Opgve Zij V een vectorruimte en v 1,...,v n vectoren uit V. Een vector vn de vorm c 1 v c n v n, wrbij c 1,...,c n reële getllen zijn, heet een lineire combintie vn v 1,...,v n. Zij v 1,...,v n de verzmeling vn lle lineire combinties vn v 1,...,v n. Bewijs dt v 1,...,v n een lineire deelruimte vn V is (en dus een vectorruimte). Deze ruimte heet het opspnsel vn v 1,...,v n. Opgve Zij F de verzmeling vn lle rijtjes ( 1, 2,...) vn reële getllen met de eigenschp dt n+2 = n+1 + n, voor lle n. Lt zien dt F met de pltsgewijze optelling en sclirvermenigvuldiging een vectorruimte is. Dit is de ruimte der Fiboncci-rijtjes. Opgve Zij n 1. Een mtrix A uit M n (R) heet een mgisch vierknt ls de som vn lle getllen in iedere rij, kolom en hoofddigonl gelijk is n dezelfde constnte. De verzmeling vn lle n n mgische vierknten noemen we Mg n (R). Bewijs dt Mg n (R) een lineire deelruimte vn M n (R) is (en dus een vectorruimte). Opgve Zij V een vectorruimte, u, v, w V en R. Bewijs: 1). = (wrbij = de nulvector in V ). 2) ls u + v = u + w, dn v = w. 3) ( v) = v. 4) (v) = ( )v = ( v) en ( )( v) = v. 5) ls v =, dn = of v =. [Anw.: bij 3) en 4) gebruik ii) vn ]

7 1.2. DE STRUCTUUR VAN VECTORRUIMTEN De structuur vn vectorruimten Ieder molecuul is opgebouwd uit een (eindig) ntl tomen. Zo bestt het wtermolecuul H 2 O uit 2 tomen wterstof (H) en 1 toom zuurstof (O). We zouden dus ook kunnen schrijven H 2 O = 2.H + 1.O. Net zo zouden we i.p.v. CrMn 2 O 8 kunnen schrijven 1.Cr + 2.Mn + 8.O. We zullen hieronder zien dt we iedere vectorruimte ook m.b.v. zekere tomen kunnen opbouwen de we bsisvectoren gn noemen. We beginnen drvoor eerst met een definitie (zie ook ). Definitie Een vector v uit een vectorruimte V heet een lineire combintie vn vectoren v 1,...,v n uit V ls v geschreven kn worden ls v = c 1 v c n v n, voor zekere c 1,...,c n in R Voorbeeld Zij v 1 = 2, v 2 = 4 en v = 2 in R Lt zien dt v een lineire combintie vn v 1 en v 2 is. Oplossing. Opdt v een lineire combintie vn v 1 en v 2 is, moeten er c 1 en c 2 in R bestn met v = c 1 v 1 + c 2 v 2 m..w = c c ofwel 9 c 1 + 6c 2 2 = 2c 1 + 4c 2. 7 c 1 + 2c 2 De verschillende componenten vergelijkend geeft c 1 + 6c 2 = 9, 2c 1 + 4c 2 = 2 en c 1 + 2c 2 = 7. Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft c 1 = 3 en c 2 = 2. Dus v = 3v 1 + 2v 2. 4 Opgve Lt zien dt 1 geen lineire combintie vn v 1 en v 2 (uit 1.2.2) is. 8 ( ) ( ) ( ) 1 1 Voorbeeld Zij V = M 2 (R). Zij v 1 =, v 2 =, v 3 = en v 1 4 = ( ). Lt zien dt iedere v uit V een lineire combintie vn v 1 1, v 2, v 3 en v 4 is.

8 12 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN Oplossing. Zij v V. Dn v = geeft ( ) b = c d ( ) b voor zekere,b,c,d in R. Scheiding der vribelen c d ( ) ( ) ( ) ( ) b c d ( ) ( ) ( ) 1 1 = + b + c + d 1 = v 1 + bv 2 + cv 3 + dv 4. ( 1 In dit ltste voorbeeld is iedere vector uit V een lineire combintie vn de vectoren v 1, v 2, v 3 en v 4. Deze situtie krijgt een specile nm: Definitie Zij V een vectorruimte en v 1,...,v n vectoren uit V. Als iedere vector uit V een lineire combintie vn v 1,...,v n is heet (v 1,...,v n ) een volledig stelsel voor V. Voorbeeld De vectoren v 1,...,v 4 uit vormen een volledig stelsel voor M 2 (R) Voorbeeld Lt zien dt de vectoren v 1 = 1, v 2 =, v 3 = 1 geen volledig stelsel voor R 3 vormen. Oplossing. We moeten een vector in R 3 zoeken die niet vn de vorm c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 is. Drtoe bekijken we lle vectoren die wél vn die vorm zijn, m..w. lle vectoren c 1 + c 2 + 2c 3 c c 2 + c 3 1 = c 1 + c c 1 + c 2 + 3c 3 We zien dn dt voor ieder zo n vector de ltste component de som vn de eerste twee is. Omdt de vector deze eigenschp niet heeft is hij dus niet te schrijven ls c 1 v 1 + c 2 v c 3 v 3. M..w. (v 1,v 2,v 3 ) is niet een volledig stelsel voor R 3. In voorgnd voorbeeld is v 3 een lineire combintie vn v 1 en v 2 nmelijk v 3 = v 1 + v 2. We zeggen dt v 3 fhngt vn v 1 en v 2. Meer lgemeen definiëren we: Definitie Zij V een vectorruimte en v 1,...,v n vectoren uit V. Dn heet (v 1,...,v n ) een fhnkelijk stelsel ls er een i is zodnig dt v i een lineire combintie is vn de overige v j s m..w. ls er bestn c 1,...,c i 1,c i+1,...,c n in R zdd v i = c 1 v c i 1 v i 1 + c i+1 v i c n v n. Een stelsel (v 1,...,v n ) heet lineir onfhnkelijk ls het geen fhnkelijk stelsel is Voorbeeld Het stelsel v 1 = 1, v 2 =, v 3 = 1 is fhnkelijk, immers v 3 = v 1 + v 2. )

9 1.2. DE STRUCTUUR VAN VECTORRUIMTEN 13 Om n te gn of een stelsel onfhnkelijk is, is het volgende lemm nuttig. Lemm Zij V een vectorruimte en v 1,...,v n in V. Dn zijn gelijkwrdig: i) (v 1,...,v n ) is een onfhnkelijk stelsel. ii) ls c 1 v c n v n =, dn c 1 =... = c n =. Bewijs. i) ii) Lt c 1 v 1 + +c n v n = en stel dt er een i bestt met c i. Dn volgt door vermenigvuldigen met 1 c i dt geldt en dus c 1 v c i 1 v i v i + c i+1 v i c n v n = c i c i c i c i v i = c 1 c i v c i 1 v i 1 + c i+1 v i c n v n. c i c i c i Dus is v i wél een lineire combintie vn de overige v j s, een tegensprk. Er bestt dus geen i met c i m..w. c 1 =... = c n =. ii) i) Stel v i = c 1 v c i 1 v i 1 + c i+1 v i c n v n voor zekere c j R. Dn c 1 v c i 1 v i 1 + ( 1)v i + c i+1 v i c n v n = is een lineire combintie wrvn niet lle coëfficiënten nul zijn, een tegensprk. Dus (v 1,...,v n ) is een onfhnkelijk stelsel. 1 1 Voorbeeld Lt zien dt v 1 = 1, v 2 = en v 3 = 1 een onfhnkelijk 2 1 stelsel in R 3 vormt. 1 1 Oplossing. Stel c c 2 + c 3 1 =. Dn kunnen we dit m.b.v. de mtrix A = 1 1 herschrijven ls 2 1 c 1 A c 2 =. c 3 Men rekent eenvoudig n dt deta = 1. Dus is A volgens stelling LA1 inverteerbr en dus volgt uit gevolg LA1 dt c 1 = c 2 = c 3 =. Dus (v 1,v 2,v 3 ) is een onfhnkelijk stelsel. Opgve Zij (v 1,...,v n ) een fhnkelijk stelsel. Lt zien dt er een index i is zo dt v i een lineire combintie vn de voorfgnde vectoren is, d.w.z. zdd v i = c 1 v c i 1 v i 1 voor zekere c 1,...,c i 1 in R. Definitie Zij V een vectorruimte. Een stelsel (v 1,...,v n ) heet een bsis vn V ls (v 1,...,v n ) een onfhnkelijk én volledig stelsel voor V is. Voorbeeld De vectoren v 1, v 2, v 3 en v 4 uit vormen een bsis voor V = M 2 (R).

10 14 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN Oplossing. Uit volgt dt (v 1,v 2,v 3,v 4 ) een volledig stelsel vormt voor V. We moeten dus nog inzien dt het een onfhnkelijk stelsel is. Stel drom c 1 v c 4 v 4 =. Dn ( ) ( ) c1 c 2 =. c 3 c 4 Dus c 1 = c 2 = c 3 = c 4 =. Dus (v 1,...,v 4 ) is een onfhnkelijk stelsel. 1 Opgve i) Bewijs dt, 1, een bsis is voor R ii) Algemeen: zij e 1 =,e 2 =,...,e n =. in R n, d.w.z. e i is de vector met in de i-de component en elders. Bewijs dt (e 1,e 2,...,e n ) een bsis vormt voor R n. Deze bsis heet de stndrd bsis vn R n. Lemm Zij (v 1,...,v n ) een bsis vn V. Dn kn iedere v uit V op precies één mnier geschreven worden ls v = c 1 v c n v n met c 1,...,c n in R. Bewijs. Omdt (v 1,...,v n ) een volledig stelsel is, lt zich v ls lineire combintie v = c 1 v c n v n schrijven. Stel nu dt ook v = d 1 v d n v n geldt. Aftrekken vn de tweede lineire combintie vn de eerste geeft = (c 1 d 1 )v (c n d n )v n en omdt (v 1,...,v n ) een onfhnkelijk stelsel is, volgt hieruit c i d i =, dus c i = d i voor i = 1,...,n. Opgve Zij V een vectorruimte en v 1,...,v n vectoren in V. Bewijs dt de volgende uitsprken gelijkwrdig zijn: i) (v 1,...,v n ) is een bsis vn V. ii) (v 1,...,v n ) is een miniml volledig stelsel, d.w.z. voor iedere index i is het stelsel (v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n ) geen volledig stelsel meer. iii) (v 1,...,v n ) is een mximl onfhnkelijk stelsel, d.w.z. voor iedere vector v n+1 is het stelsel (v 1,...,v n,v n+1 ) een fhnkelijk stelsel. Een bsis in een vectorruimte is zeker niet uniek: (( ) het ( )) is niet moeilijk in te zien dt 1 bijvoorbeeld voor iedere R, het stelsel, een bsis vn R 2 is. Echter één ding hebben l deze bses gemeen (blijkt): ze hebben hetzelfde ntl elementen. Dt dit ltijd het gevl is, is de uitsprk vn de volgende centrle stelling. Stelling (Hoofdstelling vn de Lineire Algebr.) Zij V een vectorruimte, V {} en zij (v 1,...,v n ) een bsis vn V. Dn heeft iedere ndere bsis vn V ook n elementen. Voor het bewijs vn deze stelling benodigen we de volgende twee lemm s.

11 1.2. DE STRUCTUUR VAN VECTORRUIMTEN 15 Lemm Zij m > n. Lt zien dt voor een n m mtrix A het stelsel lineire vergelijkingen Ac = met c in R m, d.w.z. het stelsel een oplossing c = (c 1... c m ) t heeft. 11 c c m c m = 21 c c m c m =... n1 c 1 + n2 c nm c m = Bewijs. We noteren met A de n n mtrix die de eerste n kolommen vn A bevt. Als A niet inverteerbr is, is er volgens stelling LA1 een vector c = (c 1 c 2... c n ) t met A c =. Door c n+1 =... = c m = te kiezen, krijgen we een oplossing c = (c 1... c m ) t met Ac =. Als A wel inverteerbr is, lt zich A d.m.v. elementire rijoperties op de eenheidsmtrix I n trnsformeren, m..w. er is een inverteerbre mtrix E zo dt EA = I n. Omdt elementire rijoperties de oplossingen vn een stelsel lineire vergelijkingen niet vernderen, heeft EAc = dezelfde oplossingen ls Ac =. De eerste n kolommen vn EA zijn de kolommen vn I n. Zij nu b = (b 1... b n ) t de (n + 1)ste kolom vn EA, dn is b gelijk n de lineire combintie b 1 e b n e n, wrbij e i de i-de kolom vn I n is. Mr dn is b 1 e b n e n b = en dus is c = (b 1,b 2,...,b n, 1,,...,) t een oplossing vn EAc = (en dus ook vn Ac = ) die niet nul is. Lemm Zij V een vectorruimte en (v 1,...,v n ) een volledig stelsel voor V. Dn is iedere verzmeling vn tenminste n + 1 vectoren in V fhnkelijk. Bewijs. Zij {s 1,...,s m } V met m > n elementen. Omdt (v 1,...,v n ) een volledig stelsel voor V is, kun je iedere s i schrijven ls een lineire combintie vn v 1,...,v n m..w. er bestn reële getllen ij zodnig dt s 1 = 11 v n1 v n, s 2 = 12 v n2 v n,... s m = 1m v nm v n. We moeten lten zien dt er constnten c 1,...,c m, niet llen nul, bestn zdd c 1 s 1 + c 2 s c m s m =. Met de hierbovenstnde formules voor s 1,...,s m ingevuld, betekent dit dt we moeten bewijzen dt er c 1,...,c m bestn, niet llen nul, zodnig dt (c c m 1m )v 1 + (c c m 2m )v (c 1 n1 + + c m nm )v n =. We zijn dus klr ls we kunnen inzien dt het stelsel lineire vergelijkingen 11 c c m c m =... n1 c 1 + n2 c nm c m = een oplossing c 1,...,c m heeft met niet lle c 1,...,c m nul. Dit is echter juist de uitsprk vn lemm

12 16 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN Bewijs vn de hoofdstelling Zij nst de gegeven bsis (v 1,...,v n ) ook (u 1,...,u r ) een bsis vn V. Omdt i.h.b. (u 1,...,u r ) een onfhnkelijk stelsel is, volgt dt r n; immers ls r n + 1 dn is volgens het stelsel (u 1,...,u r ) fhnkelijk, een tegensprk. Net zo vinden we n r, immers ps toe met ls bsis (u 1,...,u r ) en gebruik dt i.h.b. (v 1,...,v n ) een onfhnkelijk stelsel is. Uit r n en n r volgt dn r = n. Het ntl vectoren in een bsis vn V hngt dus niet vn de gekozen bsis f. Dit ntl noemen we de dimensie vn V. Precieser: Definitie Zij V een vectorruimte. i) Als V = {} zeggen we dt V nul dimensionl is: nottie dim V =. ii) Als V {} is en V heeft een bsis (v 1,...,v n ) zeggen we dt V n-dimensionl is of ook dt V een vectorruimte vn dimensie n is. Nottie dimv = n. iii) Als V {} en V heeft geen eindige bsis, dn zeggen we dt V oneindig dimensionl is. De voorgnde definitie veronderstelt stiekem dt iedere vectorruimte een bsis heeft. Alhoewel deze uitsprk enigszins voor de hnd liggend lijkt, is het bewijs voor het lgemene gevl te diepgnde om hier behndeld te worden. Stelling Iedere vectorruimte heeft een bsis. Voor vectorruimten die het opspnsel vn een eindig stelsel (en dus eindig dimensionl) zijn, is het bewijs vn deze stelling nog goed te doen. Mr voor vectorruimten met oneindige volledige stelsels wordt het Lemm vn Zorn benodigd, een fundmenteel resultt uit de verzmelingenleer dt gelijkwrdig is met het keuzexiom. Voorbeeld dim R n = n. Oplossing. Volgens ii) is (e 1,...,e n ) een bsis vn R n.. Voorbeeld Bepl dim Mg 3 (R) (zie 1.1.2). Oplossing. Volgens sectie 1.3 vn LA1 zijn lle elementen uit Mg 3 (R) vn de vorm Scheiden der vribelen geeft c + b + c b M = b + c + b c. + b b c + c b b c c M = + b b + c c b b c c = b c = v 1 + bv 2 + cv 3

13 1.3. DE DIMENSIE VAN EEN VECTORRUIMTE wrbij v 1 := 1 1 1, v 2 := 1 1, v 3 := We zien dus dt iedere v Mg 3 (R) te schrijven is ls v 1 + bv 2 + cv 3. Dus is (v 1,v 2,v 3 ) een volledig stelsel voor Mg 3 (R). Mr het is ook een onfhnkelijk stelsel: immers stel dt v 1 + bv 2 + cv 3 =. Bovenstnde berekening teruglezend geeft c + b + c b b + c + b c =. + b b c + c Vergelijk vn de mtrix elementen op de pltsen (2,2), (3,1), (1,1) geeft dn chtereenvolgens =, b = en c =. M..w. uit v 1 + bv 2 + cv 3 = volgt = b = c =. Dus (v 1,v 2,v 3 ) is een onfhnkelijke stelsel. Smengevt: (v 1,v 2,v 3 ) is een bsis voor Mg 3 (R). Dus dim Mg 3 (R) = 3. Opgve Zij F de ruimte der Fiboncci-rijtjes ls in Bewijs dt dim F = 2. Opgve Bewijs dt dimm 2 (R) = De dimensie vn een vectorruimte Het begrip dimensie bij een eindig dimensionle vectorruimte kunnen we vergelijken met het begrip ntl bij eindige verzmelingen. We bekijken nu welke bekende resultten voor eindige verzmelingen doorgn voor eindig dimensionle vectorruimten d.w.z. ls we ntl door dimensie vervngen. De volgende stelling is het nlogon vn de stelling dt een deelverzmeling vn een verzmeling met n elementen ten hoogste n elementen heeft. Stelling Zij V een n-dimensionle vectorruimte en U V een lineire deelruimte. Dn is U eindig dimensionl en dimu n. Het bewijs berust op het volgende lemm. Lemm Zij V een vectorruimte en (u 1,...,u n ) een onfhnkelijk stelsel in V. Zij v V \ u 1,...,u n. Dn is (u 1,...,u n,v) een onfhnkelijk stelsel in V. Bewijs. Stel dt (u 1,...,u n,v) een fhnkelijk stelsel is. Dn bestn er 1,..., n, in R, niet llen nul met 1 u n u n +v =. Als = dn volgt 1 u n u n = en dus vnwege de onfhnkelijkheid vn (u 1,...,u n ) volgt 1 =... = n =. Dit is in tegensprk met het gegeven dt 1,..., n, niet llen nul zijn. Blijkbr is dus. Door dn de reltie 1 u n u n + v = met 1 te vermenigvuldigen en vervolgens v nr de ndere knt te brengen, vinden we dt v = 1 u n u n u 1,...,u n, een tegensprk. Blijkbr is de veronderstelling dt (u 1,...,u n,v) een fhnkelijk stelsel is onjuist en dus is (u 1,...,u n,v) een onfhnkelijk stelsel. Bewijs vn stelling Als U = {} dn dimu = n. Neem dus n U {}. Kies dn u U, u. Vnwege

14 18 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN ) is (u) een onfhnkelijk stelsel. Volgens heeft ieder onfhnkelijk stelsel in U ( V ) ten hoogste n elementen. Kies zo n stelsel binnen U met het grootste ntl elementen, zeg (u 1,...,u d ). Dus d n. Stel nu dt u 1,...,u d U. Kies dn u d+1 U \ u 1,...,u d. Volgens is dn (u 1,...,u d,u d+1 ) een onfhnkelijk stelsel met meer dn d elementen. Dit is in tegensprk met de mximle keuze vn d. Dus blijkbr u 1,...,u d = U. M..w. (u 1,...,u d ) is een volledig stelsel voor U en per definitie is het ook een onfhnkelijk stelsel. Dus is het een bsis vn U en dus dimu = d n. Voor eindige verzmelingen is de volgende uitsprk vnzelfsprekend: stel V heeft n elementen en W V heeft ook n elementen, dn is V = W. De nvolgende stelling is het (niet-trivile) nlogon vn dit feit. Stelling Zij V een n-dimensionle vectorruimte en W V een lineire deelruimte met dim W = n. Dn is W = V. Het bewijs vn deze stelling is gebseerd op: Stelling (Eerste bsisstelling.) Zij V een n-dimensionle vectorruimte met n 1. Dn is ieder onfhnkelijk stelsel bestnde uit precies n vectoren een bsis vn V. Bewijs. Zij (v 1,...,v n ) een onfhnkelijk stelsel in V, We moeten nog inzien dt (v 1,...,v n ) volledig is m..w. dt v 1,...,v n = V. Stel drom dt v 1,...,v n V. Dn bestt v V \ v 1,...,v n. Volgens is dn (v 1,...,v n,v) een onfhnkelijk stelsel vn n + 1 vectoren in V, een tegensprk met Dus blijkbr geldt v 1,...,v n = V. Bewijs vn stelling Zij (w 1,...,w n ) een bsis vn W V. Dn is i.h.b. (w 1,...,w n ) een onfhnkelijk stelsel vn n vectoren in V. Dus volgens een bsis vn V. Dus V = w 1,...,w n W V. Dus V = W. Stelling (Tweede bsisstelling.) Zij V een n-dimensionle vectorruimte met n 1. Dn is ieder volledig stelsel vn precies n vectoren in V een bsis vn V. Het bewijs is gebseerd op het volgende lemm. Lemm Zij (v 1,...,v n ) een volledig stelsel voor V. Als v i fhngt vn de overige v j s dn is het stelsel (v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n ) (d.w.z. v i is weggelten) ook volledig voor V. Bewijs. We mogen nnemen dt i = n. Dn v n = 1 v n 1 v n 1 voor zekere j in R. Zij v V. Omdt (v 1,...,v n ) volledig is, bestn er λ j in R met v = λ 1 v λ n 1 v n 1 + λ n v n. De formule voor v n invullend vinden we v = λ 1 v λ n 1 v n 1 + λ n ( 1 v n 1 v n 1 ) = (λ 1 + λ n 1 )v (λ n 1 + λ n n 1 )v n 1. Dus v v 1,...,v n 1. Dit geldt voor iedere v in V, dus is (v 1,...,v n 1 ) een volledig stelsel voor V. Gevolg Als V {} een vectorruimte is en (v 1,...,v n ) een volledig stelsel vn V, dn kun je uit dit stelsel een bsis voor V mken door een eindig ntl (eventueel nul) er uit weg te lten.

15 1.3. DE DIMENSIE VAN EEN VECTORRUIMTE 19 Bewijs. Als (v 1,...,v n ) onfhnkelijk is, is het een bsis. Als (v 1,...,v n ) fhnkelijk is, bestt er een i zodnig dt v i fhngt vn de overige v j s. Dus is volgens lemm (v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n ) een volledig stelsel voor V. Dn herhl dit rgument met dit nieuwe stelsel (inductie!). Het rgument moet stoppen bij een onfhnkelijk stelsel wnt ls er mr een vector, zeg v, overblijft moet die zijn (wnt V {}) en volgens ) is (v) onfhnkelijk. Bewijs vn stelling Zij (v 1,...,v n ) een volledig stelsel voor V. We moeten nog lten zien dt het onfhnkelijk is. Stel dt het fhnkelijk is, zeg v i hngt vn de overige v j s f. Dn is volgens (v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n ) ook volledig voor V. Uit zien we dn dt we hieruit een bsis voor V kunnen mken door eventueel nog wt elementen weg te lten. Deze bsis heeft dn ten hoogste n 1 elementen, een tegensprk met de Hoofdstelling vn de Lineire Algebr omdt dimv = n. 1 2 Voorbeeld Zij v 1 :=, v 2 := 3 en v 3 := 1 in R 3 en U := v 1,v 2,v Bepl een bsis voor U en bereken dim U. Oplossing. Per definitie is (v 1,v 2,v 3 ) een volledig stelsel voor U. Om in te zien of en zo j welke vector we uit (v 1,v 2,v 3 ) kunnen weglten volgens 1.3.6, beplen we een fhnkelijkheidsreltie d.w.z. stel c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 =. Dn 1 2 c 1 + c c 3 1 = m..w. c 1 + 2c 2 =, 3c 2 + c 3 = en 2c 1 + 7c 2 + c 3 =. M.b.v. Guss-elimintie vinden we dt c 1 = 2, c 2 = 1 en c 3 = 3 een oplossing is m..w. 2v 1 + v 2 3v 3 =, dus v 2 = 2v 1 + 3v 3. We kunnen dus v 2 weglten en vinden dn dt (v 1,v 3 ) ook een volledig stelsel voor U is. Het is duidelijk dt dit stelsel onfhnkelijk is, immers ls 1 + b 1 =, dn 2 1 b 2 + b dus = b =. Dus (v 1,v 3 ) is een bsis voor U en dim U = 2. = In gevolg hebben we gezien dt we vn een volledig stelsel nr een bsis komen door geschikte elementen weg te lten. Andersom geldt ook dt we een onfhnkelijk stelsel tot een bsis kunnen nvullen. Lemm Zij dim V = n en U V een lineire deelruimte. Dn lt zich iedere bsis vn U uitbreiden (eventueel met nul vectoren) tot een bsis vn V. Bewijs. Zij (u 1,...,u m ) een bsis vn U, dn is i.h.b. (u 1,...,u m ) een onfhnkelijk stelsel. We gebruiken inductie over dimv dim U = n m. Voor n m = is U = V en is (u 1,...,u m ) dus ook een bsis vn V.

16 2 HOOFDSTUK 1. VECTORRUIMTEN Zij nu n m > en neem n dt de bewering bewezen is voor U met dim V dim U < n m. Omdt dim U < dimv is U V, en er bestt v m+1 V \ U. Volgens lemm is (u 1,...,u m,v m+1 ) een onfhnkelijk stelsel en dus een bsis vn het opspnsel U = u 1,...,u m,v m+1. Mr dimv dim U = n (m + 1) = n m 1, dus lt zich (u 1,...,u m,v m+1 ) volgens de inductiennme tot een bsis (u 1,...,u m,v m+1,...,v n ) vn V uitbreiden en dit is ook een uitbreiding vn de bsis (u 1,...,u m ) vn U. Als U en W deelverzmelingen vn een eindige verzmeling V zijn, dn is het ntl elementen in de vereniging U W gelijk n de som der elementen in U en in W min het ntl in de doorsnede U W. Een soortgelijke uitsprk geldt voor lineire deelruimten, mr omdt de vereniging i.h.. geen deelruimte is, moet deze vervngen worden door de som der deelruimten. Definitie Zij V een n-dimensionle vectorruimte en lten U en W lineire deelruimten vn V zijn. Dn is de som vn U en W gedefinieerd door U + W := {u + w u U,w W }. Opgve Zij V een n-dimensionle vectorruimte en lten U en W lineire deelruimten vn V zijn. i) Lt zien dt U + W een lineire deelruimte vn V is (en dus een vectorruimte). ii) Zij (u 1,...,u m ) een volledig stelsel voor U en (w 1,...,w r ) een volledig stelsel voor W. Lt zien dt (u 1,...,u m,w 1,...,w r ) een volledig stelsel voor U + W is, d.w.z. U + W is het opspnsel vn de vereniging vn volledige stelsels voor U en W. iii) Lt zien dt U +W de kleinste deelruimte vn V is die U W bevt, d.w.z. voor iedere deelruimte V vn V die U en W bevt geldt U + W V. Stelling Zij V een n-dimensionle vectorruimte en lten U en W lineire deelruimten vn V zijn. Dn geldt dim(u + W) = dimu + dim W dim(u W). Bewijs. Zij (v 1,...,v s ) een bsis vn U W, dn is i.h.b. dim(u W) = s. Volgens lemm kunnen we deze bsis uitbreiden tot een bsis (v 1,...,v s,u 1,...,u m ) vn U, dn is dim U = s + m. Net zo kunnen we de bsis vn U W uitbreiden tot een bsis (v 1,...,v s,w 1,...,w r ) vn W, dn is dimw = s + r. Als we nu kunnen ntonen dt B = (v 1,...,v s, u 1,...,u m, w 1,...,w r ) een bsis vn U + W is, is de bewering bewezen, wnt dn is dim(u + W) = s + m + r = (s + m) + (s + r) s = dim U + dim W dim(u W). We lten eerst zien dt B een volledig stelsel voor U + W is. Zij u + w U + W. Omdt (v 1,...,v s,u 1,...,u m ) een bsis vn U is, zijn er i, b i met u = 1 v s v s + b 1 u b m u m. Anloog zijn er c i, d i met w = c 1 v c s v s + d 1 w d r w r. Mr dn is u + w = ( 1 + c 1 )v ( s + c s )v s + b 1 u b m u m + d 1 w d r w r, dus is u + w inderdd een lineire combintie vn het stelsel B. Nu nog de onfhnkelijkheid vn B. Zij 1 v s v s + b 1 u b m u m + c 1 w c r w r =

17 1.3. DE DIMENSIE VAN EEN VECTORRUIMTE 21 een lineire combintie die de nulvector geeft. Door de termen c i w i nr de ndere knt te brengen, krijgen we w = c 1 w 1 c r w r = 1 v s v s + b 1 u b m u m. Volgens de linkerknt ligt w in W, volgens de rechterknt ook in U, dus is w U W. Mr dn zijn er d i R met w = d 1 v d s v s en door de eerste uitdrukking voor w hiervn f te trekken, vinden we = d 1 v d s v s + c 1 w c r w r. Mr (v 1,...,v s,w 1,...,w r ) is een bsis vn W, dus is d 1 = = d s = en c 1 = = c r =. Dit brengt de oorspronkelijke lineire combintie terug nr 1 v s v s + b 1 u b m u m = en omdt (v 1,...,v s,u 1,...,u m ) een bsis vn U is, volgt hieruit dt 1 = = s = en b 1 = = b m =. De coëfficiënten i, b i en c i moeten dus inderdd llen nul zijn, dus is B een onfhnkelijk stelsel Voorbeeld Lten U = u 1 = 1,u 2 = 1 en W = w 1 = 1,w 2 = 1 deelruimten vn R 3 zijn. Bepl dim(u + W) en dim(u W). Oplossing. Men ziet rechtstreeks in dt dim U = 2 en dimw = 2. Omdt dim R 3 = 3 is dim(u + W) of 2 of 3. Voor het eerste gevl zou U = W moeten zijn, mr w 1 U, dus is dim(u + W) = 3 en dus U + W = R 3. Volgens stelling is dn dim(u W) = dim U + dim W dim(u + W) = = 1. Er geldt U W = w 2, wnt w 2 = u 2 u 1. Historische opmerkingen De eerste wiskundige die een bstrcte definitie gf vn een vectorruimte ws Guiseppe Peno ( ) in zijn Clculo Geometrio in Veel vn de berekeningen in zijn boek bestn uit berekeningen met punten, lijnen, vlkken en volumes. Mr in het negende hoofdstuk definieert Peno wt hij noemt een lineir systeem. Dit is wt in onze definitie een vectorruimte heet. Ook definieert Peno de dimensie vn een vectorruimte. Peno s werk hd geen onmiddellijk effect; de definitie werd zelfs vergeten. Het kwm ps onder de ndcht vn de wiskundige wereld door het boek Rum-Zeit-Mterie (1918) vn Hermnn Weyl ( ). Weyl schrijft dit boek ls een inleiding op Einstein s lgemene reltiviteitstheorie. In hoofdstuk 1 formuleert hij de xiom s zols Peno dt eerder deed. Hij schrijft Niet lleen in de meetkunde, mr tot op steeds verbzingwekkender hoogte in de ntuurkunde, is het meer en meer duidelijk geworden dt zodr we erin geslgd zijn de ntuurkundige wetten te ontrfelen die de werkelijkheid regeren, vinden we dt ze door wiskundige relties beschreven kunnen worden vn een verbluffende eenvoud en rchitectonische perfectie!... Vectorruimtetheorie... levert een idee, zelfs ls is het onvoldoende, vn deze perfectie vn vorm.