Hoofdstuk 11. Kwadraatresten Inleiding

Transcriptie

1 Hoofdstuk 11 Kwdrtresten 11.1 Inleiding In Hoofdstuk 6 hebben we geleerd hoe lineire congruentievergelijkingen vn de vorm x b mod M moeten worden ogelost. De volgende st is uiterrd het olossen vn kwdrtische congruentievergelijkingen. Dt wil zeggen, vergelijkingen vn de vorm x + bx + c 0 mod M. Lten we eerst nr de eenvoudigste kwdrtische vergelijking kijken, nmelijk x mod wrin een oneven riemgetl is en Z. Het blijkt dt hier l zo veel interessnts over te vertellen is, dt het oorsronkelijke robleem om kwdrtische vergelijkingen o te lossen een beetje nr de chtergrond verdwijnt. Kies een oneven riemgetl. Zij Z een getl niet deelbr door. We noemen een kwdrtrest modulo ls x mod olosbr is, en een niet-kwdrtrest ls x mod geen olossing x heeft. Lten we een voorbeeld nemen, 13 en kijken wt de kwdrtresten zijn. Dit is mkkelijk, we belen gewoon x mod voor x 1,,..., 1. We vinden, 1 1 1, 4, 3 9, 4 3, 5 1, 6 10, 7 10, 8 1, 9 3, 10 9, 11 4, 1 1 Merk o dt de rij kwdrtresten 1,4,9,3,1,10,10,1,3,9,4,1 symmetrisch is. Uiterrd is dit een gevolg vn het feit dt x x x mod voor 13. Om lle kwdrtresten te vinden is het dus voldoende om x mod te belen voor x 1,,..., 1/. Bovendien zijn de zo gevonden kwdrtresten lleml verschillend modulo. Stel nmelijk dt x y mod voor zekere 1 x, y < /. Dn is een deler vn x y x yx + y. Omdt x + y < / + / kn geen deler zijn vn x + y en dus deelt het verschil x y. Met ndere woorden, x y mod. Mr dit kn lleen ls x y. O deze mnier vinden we dus recies 1/ verschillende kwdrtresten en zijn 87

2 88 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN de overige 1/ restklssen niet-kwdrtresten modulo. Hiermee hebben we de volgende stelling bewezen. Stelling Zij een oneven riemgetl. Dn zijn er recies 1/ kwdrtresten en 1/ niet-kwdrtresten modulo. Stel dt we twee kwdrtresten r, s hebben. Dn zijn er x, y zo dt x r mod en y s mod. Dus xy rs mod. Met ndere woorden, rs is ook een kwdrtrest. Stel r is een kwdrtrest, dt wil zeggen er is een x zo dt x r mod. N het nemen vn de inverse zien we dt x 1 r 1 mod. Dus is r 1 mod ook een kwdrtrest. Stel dt r een kwdrtrest is en s een niet-rest. Stel dt rs een kwdrtrest is. Dn is r 1 rs s mod volgens bovenstnde een kwdrtrest. Mr s ws een niet-rest. Dus moeten we nnemen dt rs ook een niet-rest modulo is. Zij nu ν een willekeurige niet-rest. Dn is volgens bovenstnde het roduct νr een niet-rest voor lle 1/ kwdrtresten r. Met ndere woorden elke nietrest kn geschreven worden ls νr mod wrin r een kwdrtrest modulo is. Zij nu m, n een tweetl niet-resten modulo. Dn zijn er kwdrtresten r, s zo dt m νr mod en n νs mod. Dus mn ν rs mod en hieruit zien we dt mn een kwdrtrest is. We vtten dit lleml smen in de volgende stelling. Stelling Zij een oneven riemgetl. Het roduct vn twee kwdrtresten modulo is weer een kwdrtrest. Het roduct vn een kwdrtrest en een niet-rest is weer een niet-rest modulo. Het roduct vn twee niet-resten is een kwdrtrest modulo. Het is een rdige oefening voor de lezer om deze stelling eens te testen voor de kwdrtresten 1, 3, 4, 9, 10, 1 en de niet-resten, 5, 6, 7, 8, 11 modulo 13. We voeren nu het zogenmde Legendre symbool in. Definitie Zij oneven riem en Z. Dn definiëren we, 1 lskwdrtrestmodis 1 lsniet restmodulois 0 ls Bovenstnde Stelling kn dus smengevt worden met b b. Voor de beling vn hebben we de volgende formule,

3 11.1. INLEIDING 89 Stelling Euler Zij een oneven riemgetl en Z niet deelbr door. Dn geldt, 1 mod. We weten dt 1 1 mod. Omdt uit x 1 mod volgt dt x ±1 mod volgt uit 1 1 mod dt 1/ ±1 mod. Stel dt een kwdrtrest is. Dus is er x zo dt x mod en we zien dt 1/ x 1 1 mod. Als kwdrtrest is geldt dus dt 1/ 1 mod. Bovendien zijn er 1/ kwdrtresten modulo en drmee kennen we volgens Stelling lle nulunten vn het olynoom x 1/ 1. Als nietrest is moet 1/ een wrde ongelijk 1 mod hebben, en dt moet dn wel 1 mod zijn. In dt gevl geldt dus 1/ 1 Stelling bewezen is., wrmee onze Hoewel de berekening vn 1/ mod niet ltijd mkkelijk is, is er één gevl 1 wrbij dit wel het gevl is. Nmelijk 1 1/ mod. Hieruit zien we, 1 Gevolg Zij een oneven riemgetl. Dn is gelijk n 1 ls 1 mod 4 en 1 ls 1 mod 4. 3 N veel exerimenteren merkten Euler en Lgrnge o dt 1 recies dn 3 ls ±1 mod 1 en dt 1 recies dn ls 1 mod 3. Voor de Legendre symbolen,,,... vond men soortgelijke verschijnselen, de q wrde vn hngt lleen f vn de restklsse modulo q of 4q wrin zich bevindt. Al exerimenterend kwm men tot de volgende conclusie. Stelling Kwdrtische wederkerigheidswet Zij, q een tweetl verschillende oneven riemgetllen. Dn geldt, q 1 1 q 1 q Anders gezegd,. q q q tenzij q 1 mod 4 in welk gevl geldt q Hoewel deze stelling reeds n Euler en Lgrnge bekend ws duurde het toch tot het begin vn de 19e eeuw voordt het eerste geldige bewijs werd gegeven, en wel door Guss. Vnwege het belng vn de stelling gf Guss er mr meteen

4 90 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN een ntl verschillende bewijzen voor. In rgrf 11.3 geven we een bewijs fkomstig vn Eisenstein. Lten we eerst even kijken hoe we de kwdrtische wederkerigheid kunnen gebruiken. Stel we willen voor willekeurige riemgetllen belen. Volgens 5 5 de kwdrtische wederkerigheid geldt dt 5. De kwdrtresten modulo 5 kennen we, dt zijn ±1 mod 5. Dus 5 1 recies dn ls ±1 mod 5 5 en drmee geldt dt 1 recies dn ls ±1 mod 5. O soortgelijke mnier belen we, In de voorltste st gebruikten we kwdrtische wederkerigheid en de wrde 1 vn. Omdt 3 1 recies dn ls 1 mod 3 volgt dt 3 1 recies dn ls 1 mod 3. Merk o dt de kwdrtische wederkerigheidswet ons niet in stt stelt om te berekenen. Hier hebben we een rte Stelling voor Stelling Zij een oneven riemgetl. Dn geldt Anders gezegd, 1 ls ±1 mod 8 en 1 ls ±3 mod 8. Bewijzen vn Stellingen en worden in rgrf 11.3 gegeven. 11. Toessingen vn kwdrtische wederkerigheid De kwdrtische wederkerigheidswet en de beling vn stellen ons in stt om een ntl dingen te doen wr we tot voor kort niet toe in stt wren. Derhlve behoren deze stellingen tot de stndrd bgge die iedere beoefenr vn de elementire getltheorie bij zich moet hebben. Hier volgt een kleine toessing. Stelling Euler, Lucs Zij een riemgetl met 1 mod 4 en zó dt + 1 weer riem is. Dn is 1 deelbr door + 1 en derhlve niet riem ls > 3.

5 11.. TOEPASSINGEN VAN KWADRATISCHE WEDERKERIGHEID 91 Merk o dt +1 een riemgetl is dt gelijk is n 1 mod 8. Dus De Stelling vn Euler zegt nu dt +1 1 mod + 1. Dus + 1 is een deler vn 1. Als gevolg zien we dt de Mersennegetllen 3 1 en 83 1 niet riem kunnen zijn. Door lle < f te loen vinden we o deze wijze 99 wrden vn < 10000, met riem, wrvoor 1 niet riem is. Een ndere toessing is de riemtest voor Fermtgetllen n + 1 die we in Hoofdstuk 5 l nkondigden. Stelling 11.. Péin, 1877 Zij F n n + 1 voor elke n N. Dn geldt, F n is riem 3 1 Fn 1 1 mod F n. Stel nmelijk dt F n riem is. Dn kunnen we Euler s Stelling gebruiken, Fn 1 Fn 1 mod F n 3 F n De ltste gelijkheid volgt omdt F n 1 n mod 3. Stel nu omgekeerd dt 3 Fn 1/ 1 mod F n. Dn volgt hieruit n kwdrteren dt 3 Fn 1 1 mod F n. Dus is ord Fn 3 een deler vn F n 1 n en gelijk n k voor zekere k n. Als echter k < n dn zou dit betekenen dt 3 k 1 mod F n en dus ook 3 Fn 1/ 1 mod F n hetgeen niet kn. Dus k n en ord Fn 3 F n 1. In het bijzonder, φf n F n 1 en dit kn lleen mr ls F n riem is. Hier is nog een bescheiden toessing. Stelling Er zijn oneindig veel riemgetllen vn de vorm 1 mod 4. We construeren vi inductie een oneindig lnge rij riemgetllen 1,, 3,... met de eigensch dt i 1 mod 4 voor lle i. Kies 1 5. Dit is duidelijk een riemgetl dt 1 mod 4 is. Stel dt we 1,,..., n hebben gekozen. Beschouw het getl 1 n + 1. Zij q een riemdeler. Dn is q oneven en we zien 1 n 1 mod q. Dus 1 is een kwdrtrest modulo q en dus q 1 mod 4. Bovendien kn q niet gelijk n één vn de getllen 1,,..., n zijn, nders zou q deler vn 1 zijn vergelijk met het oorsronkelijke bewijs vn Euclides. Dus is q een nieuw riemgetl dt 1 mod 4 is en we nemen n+1 q. Door een vrint o dit bewijs met 1 n + 3 te nemen kunnen we ook de oneindigheid vn de verzmeling riemgetllen 1 mod 6 ntonen. Voor onze ltste toessing hebben we het volgende Lemm nodig.

6 9 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN Lemm Zij u 1, u,..., u r een r-tl oneven gehele getllen. Dn geldt, en u 1 1 u u 1 + u u r u r 1 8 u 1u u r 1 u 1u u r 1 8 mod mod We bewijzen lleen het eerste deel vn dit Lemm, het tweede gt nloog. De termen n de linkerzijde geven lleen een bijdrge ongelijk 0 mod ls u i 1 mod 4. Zij k het ntl indices i zo dt u i 1 mod 4. Dn is de linkerzijde gelijk n k mod. Stel nu dt k even is, dwz k 0 mod. Dn geldt dt u 1 u r 1 mod 4 en dus is de term rechts ook 0 mod. Is drentegen k oneven, dwz k 1 mod dn geldt u 1 u r 1 mod 4 in welk gevl de rechterzijde gelijk is n 1 mod. De toessing is de volgende, Stelling Stel Z en 0. Zij, q een tweetl oneven riemgetllen die niet delen. Stel dt q mod ls 1 mod 4 en q mod 4 ls 1 mod 4. Dn geldt. q Deze stelling zegt dus dt lleen fhngt vn de restklsse modulo 4 wr in zit. Als bovendien 1 mod 4, dn hngt lleen vn de restklsse mod f. Stel dt k 0 1 r wrin 0 ±1 en 1,..., r de oneven riemfctoren vn zijn. Stel b / k. We gn nu berekenen en gebruiken drbij kwdrtische wederkerigheid. k 0 1 r k r 1 1 r k 1 1 i 1 i 1 r Ps nu ons Lemm toe, dt zegt We vinden, i i 1 0 r 1 b 1 mod k 1 1 b 1 1 r

7 11.3. BEWIJS VAN DE KWADRATISCHE WEDERKERIGHEID 93 Stel nu dt q mod 4. Als k > 0 dn is even en geldt q mod 8 k dus k. k q Als k nul is dn geldt uiterrd k. q Omdt q mod 4 geldt dt 1 1 b 1 1 q 1 b 1. Tenslotte, omdt q mod q geldt i i voor i 1,..., r. We concluderen dt. Tenslotte, q ls 1 mod 4 dn is k 0 en b 1 1 even. Dus r i1 i. Hieruit zien we dt ls q mod. q 11.3 Bewijs vn de kwdrtische wederkerigheid In de geschiedenis vn de getltheorie is de kwdrtische wederkerigheidswet voor wiskundigen een insirtiebron gebleken om er steeds nieuwe bewijzen voor te geven. Guss begon hiermee door een zestl bewijzen te geven. Tot nu toe zijn er enkele honderdtllen bekend, wrvn het echter de vrg is hoe verschillend ze in werkelijkheid zijn. Het bewijs dt we hier zullen geven heeft het voordeel dt het elementir en nschouwelijk is. Veel bewijzen mken gebruik vn het zogenmde Lemm vn Guss. In dit Lemm worden de restklssen ositieve restklssen genoemd en 1,,..., 1 mod de negtieve restklssen. 1,,..., 1 mod Lemm Guss Lemm Zij een oneven riemgetl en Z niet deelbr door. Dn geldt 1 µ wrin µ het ntl negtieve restklssen in de rij,, 3,... 1 mod is. Beschouw de 1 restklssen ±1, ±,..., ± 1 mod. Ze zijn niet nul en llen verschillend. Dit betekent dt vermenigvuldiging met deze restklssen slechts verwisselt. De verzmelingen {±1,..., ± 1 hetzelfde. Vn elk r ±1, ±,..., ± 1 rij,,..., 1 mod. Dus, 1 } en {±,..., ± } zijn modulo mod komt er recies één voor in de 1 1µ 1 1 mod.

8 94 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN Hieruit volgt, 1! µ! mod N wegdeling vn 1 1! n beide zijden houden we 1 µ mod over. Gebruik mkend vn de Stelling vn Euler volgt hieruit dt 1 µ. Met behul vn het Lemm vn Guss is het niet moeilijk om te berekenen en zo Stelling te bewijzen. Volgens het Lemm vn Guss met moeten we belen hoeveel negtieve restklssen er zich onder, 4, 6,..., 3, 1 mod bevinden. Dus we moeten het ntl even getllen n met +1 n 1 tellen. Vervngen we n door + 1 n dn zien we dt µ ook gelijk is n het ntl even getllen n met n +1. Deling door geeft dt µ ook gelijk is n het ntl gehele getllen n met 1 n +1 merk o dt +1 niet 4 4 meer geheel hoeft te zijn. Zols bekend is dit ntl gelijk n µ [ ] Stel 8m ± 1. Dn zien we dt µ m en µ is dus even. Stel 8m + 3. Dn zien we dt µ m + 1. Als 8m 3 dn geldt µ m 1. Toessing vn het Lemm vn Guss geeft nu dt 1 ls ±1 mod 8 en 1 ls ±3 mod 8. Het is een eenvoudige oefening om te lten zien dt dit neerkomt o Een nder gevolg vn het Lemm vn Guss is het volgende Lemm. Hierin bedoelen we met [x] het grootste gehele getl dt kleiner of gelijk x is. We noemen dit de entier sreek dit o z n Frns uit vn x. Lemm Zij een oneven riem en Z een oneven getl niet deelbr door. Definieer 1 [ ] s S,. Dn geldt, s1 1 S,. Volgens het Lemm vn Guss moeten we µ, het ntl negtieve restklssen in de rij,,..., 1 1 mod belen. Stel 1 s [ ]. Als s mod een s ositieve restklsse is schrijven we s + u s met 1 u s 1. Als [ ] s mod een negtieve restklsse is schrijven we s + u s met 1 u s 1 verzmeling {u 1, u,..., u 1. Uit het bewijs vn het Lemm vn Guss weten we dt de } recies {1,,..., 1 } is. Otelling vn l onze s

9 11.3. BEWIJS VAN DE KWADRATISCHE WEDERKERIGHEID 95 gelijkheden geeft, s 1 s1 Beschouw beide zijden modulo, 1 s1 [ ] s + µ + ±u s. 1 s1 s S, + µ + 1 s1 S, + µ + u s mod 1 s1 s mod Lten we sommties n beide zijden tegen elkr wegvllen, dn houden we over dt S, + µ even is. Dus hebben S, en µ dezelfde riteit en dus volgt uit het Lemm vn Guss dt 1 µ 1 S,. Neem nu even n dt q ook een oneven riemgetl is. Het is nog niet essentieel voor ons verhl, mr we loen vst vooruit o wt komen gt. De som Sq, leent zich uitstekend voor een meetkundige interrettie met behul vn roosterunten. Dt zijn unten in het ltte vlk wrvn de coördinten geheel zijn. We kunnen nmelijk elk vn de termen vn deze som, [qs/], zien ls het ntl roosterunten vn de vorm s, t met 1 t < sq/. De sommtie Sq, is nu niets nders dn het ntl roosterunten s, t onder de lijn y q/x en met 1 s 1/ en 1 t sq/. Hier is een ltje voor het gevl q 11, s1 t 17/,11/ S 11, s O nloge mnier kunnen we S, q ook zien ls het ntl roosterunten links vn de lijn y q/x en met 1 t < q/ en 1 s t/q. Hier is wederom een ltje voor q 11, 17 en merk o dt dit recies het comlement is vn het vorige ltje.

10 96 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN t /,11/ S 17,11 1 We zijn nu klr om de kwdrtische wederkerigheidswet te bewijzen. Zij S, zols in het voorgnde Lemm. Zij, q een tweetl verschillende oneven riemgetllen. Dn beweren wij dt Sq, + S, q 1 q 1. Hiertoe gebruiken de boven geschetste meetkundige interrettie. Beschouw de rechthoek in het xy-vlk met ls linkerbenedenhoek het unt 0, 0 en ls rechterbovenhoek het unt /, q/. Beschouw drin de roosterunten m, n met m, n, N en 1 m 1, 1 n q 1. De digonl die 0, 0 met /, q/ verbindt gt door geen vn deze roosterunten. Merk nu o dt het ntl roosterunten beneden de digonl gelijk is n Sq,. Het ntl roosterunten boven de digonl of beter, links ervn, is gelijk n S, q. Het totle ntl roosterunten is uiterrd 1 q 1. Dus volgt onze bewering. We ssen nu ons bovenstnde Lemm toe en vinden, q q 11.4 Het Jcobi-symbool 1 Sq,+S,q 1 1 q 1. Met behul vn kwdrtische wederkerigheid kunnen we o eenvoudige mnier Legendre-symbolen berekenen. Bijvoorbeeld Eerst gebruiken we de multilictiviteit vn het Legendre-symbool, Dn gebruiken we 97 1 en de recirociteitswet voor de ndere twee fctoren, s

11 11.4. HET JACOBI-SYMBOOL 97 We verschuiven 97 modulo 3 resectievelijk 7, en ngezien en vinden we dt Het rincie is dt we bij berekening vn het getl in riemfctoren ontbinden en vervolgens o elk vn de Legendre-symbolen de kwdrtische weder- kerigheidswet toessen of de wrde vn of gebruiken. Een ndeel is dt we hiervoor steeds het getl moeten ontbinden in fctoren. Zols we weten is riemontbinding vn getllen een comuttioneel lstig robleem, zelfs met grote comuters. Ws 4 97 nog eenvoudig te berekenen, het wordt wt nders bij de berekening vn het getl is riem. Het rdige is dt er een iets ndere mnier is om het Legendre symbool te berekenen wrbij we geen gebruik hoeven te mken vn riemontbinding. Hiertoe moeten we het Legendre symbool uitbreiden tot een nieuw symbool, het Jcobi-symbool wrbij ook een oneven smengesteld getl mg zijn. Definitie Zij n N oneven en m Z zó dt ggdm, n 1. Zij n 1... r de riemontbinding vn n. Het Jcobi-symbool m n wordt gedefinieerd door m m m m n wrin de symbolen 1 m i de gebruikelijke Legendre-symbolen zijn. Merk o dt ls m n 1 dn is er een riemfctor vn n zó dt 1. De congruentievergelijking x m mod n is dus niet olosbr omdt x m mod dt niet is. Als drentegen m n 1 dn mogen we dr voor smengestelde n niet uit concluderen dt x m mod n olosbr is! Bijvoorbeeld, mr x 1 mod 1 heeft geen olossing omdt de zwkkere congruentie x 1 mod 3 l geen olossing heeft. We kunnen het Jcobisymbool dus niet gebruiken om olosbrheid vn kwdrtische congruenties n te tonen. Tegen dit kleine ndeel weegt echter een groot voordeel o, nmelijk dt voor het overige het Jcobi-symbool recies dezelfde eigenschen heeft ls het Legendresymbool. Stelling Zij m, n N oneven en ggdm, n 1. Dn geldt, 1. n 1 1 n 1. n n r m

12 98 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN 3. m n n 1 m 1 n m 1 Deze beweringen kunnen ngetoond worden door gebruik te mken vn de kwdrtische wederkerigheid vn het Legendre-symbool en Lemm Zij n 1... r de riemontbinding vn n. Dn volgt uit de definitie vn het Jcobisymbool dt r 1. n Uit Lemm 11..4, deel i volgt r r 1 1 r 1 n 1 mod en dus n 1 1 n 1. Anloog geldt n 1 r Ps nu Lemm 11..4, deel ii toe r r r n 1 8 mod. en dus volgt deel ii vn onze Stelling. Tenslotte, zij m q 1 q s de riemontbinding vn m. Dn geldt, m n n m m j qi j 1 i,j j j m i,j j q i j 1 q i 1. Omdt i,j j 1 q i 1 j j 1 i q i 1 m 1 n 1 mod volgt ook het derde deel vn onze Stelling. De berekening vn bijvoorbeeld 4 97 kn nu zonder riemontbinding. We hlen eerst zoveel mogelijk -en uit de teller, en ssen vervolgens de wederkerigheid vn het Jcobi-symbool toe o de tweede fctor. De eerst fctor is 1. Dus Reduceer 97 modulo 1, en we vinden

13 11.5. OPLOSSEN VAN KWADRATISCHE CONGRUENTIES 99 Hoelijk zien we hiermee dt de berekening vn het Jcobisymbool een combintie is geworden vn het Euclidisch lgoritme en f toe fctoren uit een getl hlen. Deze bewerkingen behoren tot de comuttioneel snelste oerties. Als gevolg drvn behoort de berekening vn het Jcobi-symbool hiermee ook tot de comuttioneel mkkelijke roblemen. Als het rekenrt vn de lezer met getllen vn twlf of meer cijfers kn rekenen nodig ik hem of hr hierbij uit te controleren dt In het bijzonder betekent dit dt x mod een olossing heeft omdt de modulus in dit gevl riem is. Conclusie, ngn of een congruentievergelijking x mod met riem een olossing heeft is mkkelijk. Mr nu dient zich de volgende vrg n, hoe belen we een dergelijke olossing? Vnwege het belng voor de crytogrfie besteden we hier de volgende rgrf n Olossen vn kwdrtische congruenties In vorige rgrfen hebben we gezien hoe we de olosbrheid vn x mod riem konden ntonen door uit te rekenen. We gn nu dergelijke vergelijkingen ook werkelijk olossen. Als de vergelijking een olossing x 0 heeft dn zijn er meteen twee, nmelijk ±x 0 mod en bovendien zijn dit de enige. Eerst een voorbeeld. We weten dt x mod 41 olosbr is. Bel de olossingen. Tenzij iemnd iets beter weet is de enige mnier om dit te doen gewoon olossingen x 1,, 3,... roberen. O gegeven moment vinden we de olossing x 17. Dus de olossingsverzmeling wordt gegeven door x ±17 mod 41. Voor kleine riemgetllen is dit de beste methode. Als groter is, zols bij x mod uit de vorige rgrf, dn is roberen niet zo n goede methode. Hiervoor moeten we iets nders bedenken. Stel dt 1. Gevrgd de olossingen vn x mod. We beginnen met het mkkelijkste gevl, nmelijk 1 mod 4. Wij beweren dt een olossing gegeven wordt door +1 4 mod. Er geldt nmelijk, mod Nu is de berekening vn +1 4 mod niet iets dt we met de hnd zouden willen ondernemen. In Hoofdstuk 8 hebben we echter lten zien dt mchtsverheffen modulo comuttioneel gezien behoort tot de mkkelijke oerties, nst bijvoorbeeld het Euclidisch lgoritme. O een comuter kn mchtsverheffing modulo dus in een hndomdri gebeuren.

14 100 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN Beschouw nu het volgende gevl dt 1 mod 4 mr 1 mod 8. Dus 5 mod 8. In dt gevl is +3 8 mod bijn een olossing. Er geldt nmelijk dt ± mod Als +3 8 mod geen olossing is dn geldt blijkbr +3 8 mod. In dt gevl is ζ +3 8 een olossing wrin ζ 1 mod. Het enige robleem is om zo n getl ζ te vinden. Hiertoe kiezen we een niet-kwdrtrest ν modulo en merken o dt ν 1 4 ν 1 1 mod. We kunnen dus ζ ν 1 4 kiezen. We concluderen dt ofwel +3 8 mod een olossing vn x mod is, ofwel ζ +3 8 mod. Het lgemene gevl behndelen we in een stelling wrvn we het bewijs niet geven, mr wrvn we lle ingrediënten boven in rincie gezien hebben. Stelling Zij oneven riem en stel 1. Zij s het ntl fctoren in 1 en m oneven zó dt 1 s m. Zij ν een niet-kwdrtrest modulo en ζ ν m. Dn is één vn de getllen een olossing vn x mod. m+1, ζ m+1, ζ m+1,..., ζ s 1 m+1 Lten we ls voorbeeld de congruentievergelijking x mod olossen met Merk eerst o dt , dus ν s 7, m Belen we chtereenvolgens voor ν, 3,... dn blijkt ν 7 de kleinste niet-rest modulo te zijn. De wrde vn ζ wordt ζ 7 m mod. Verder is m+1 modulo gelijk n Vervolgens moeten we kijken welk vn de getllen ζ j m+1 mod met j 0, 1,..., 7 1 olossing vn onze vergelijking is. Het blijkt j 37 te zijn en we vinden dt mod Als s groot is kn het rekenwerk l snel uit de hnd loen omdt we s getllen ls olossing moeten roberen. Het is mogelijk om deze st een stuk economischer uit te voeren, mr wij zullen er hier echter niet o ingn. Het enige wezenlijke robleem dt overblijft is het vinden vn een niet-rest ν modulo. Er is geen enkele stelling bekend die ons o snelle mnier een niet-rest olevert. In de rktijk roberen we gewoon ν, 3,... net zolng totdt ν 1. Gn we uit vn het rincie dt de kwdrtresten en niet-resten min of meer willekeurig verdeeld zijn, dn is de kns dt een willekeurig getl kwdrtrest is ongeveer gelijk n 1/. De kns dt bijvoorbeeld tien willekeurige getllen kwdrtrest

15 11.5. OPLOSSEN VAN KWADRATISCHE CONGRUENTIES 101 zijn is dn 1/ 10 < Zeer klein dus, en drmee is de kns groot dt we ergens wel een niet-rest zullen tegenkomen door gewoon roberen. In de rktijk blijkt dit ltijd wel o te gn. Dit is de reden dt we ons bovenstnd lgoritme robbilistisch goed olynomil noemen. We willen in deze rgrf niet de volledige theorie vn kwdrtische congruentievergelijkingen behndelen. We willen wel lten zien dt kwdrtische vergelijkingen x mod m met een smengestelde modulus een heel nder gedrg hebben dn die met een riem modulus. Neem ls voorbeeld de vergelijking x 11 mod 35. Volgens de Chinese reststelling is deze vergelijking equivlent met het stelsel x 11 1 mod 5, x 11 4 mod 7. De eerste vergeljking heeft de olossingen x ±1 mod 5 en de tweede x ± mod 7. Elk r olossingen mod 5 resectievelijk mod 7 kunnen we met de Chinese reststelling combineren tot een olossing mod 35. We geven dit in een tbel weer, mod 5 mod 7 mod We hebben dus vier olossingen. In het lgemeen, ls m 1 r, wrin 1,..., r verschillende oneven riemgetllen zijn, en ls ggd, m 1 en ls x mod m een olossing heeft dn zijn er r olossingen. We zien dit door de vergelijking te herschrijven ls het stelsel x mod 1,..., x mod r. Elk vn deze r vergelijkingen heeft olossingen en we kunnen dus r combinties kiezen die elk een olossing modulo m geven. De belngrijke omerking is nu de volgende. De boven geschetste methode om congruentievergelijkingen voor smengestelde modulus o te lossen is de enig bekende methode. Dt betekent dt we m moeten ontbinden in fctoren en we hebben meermlen betoogd dt ontbinding bekend stt ls een comuttioneel moeilijk robleem. Drmee is de olossing vn x mod m voor smengestelde m ook een comuttioneel moeilijk robleem. Het gt zelfs nog wt verder. Elke methode om bijvoorbeeld een niet-trivile dwz niet ±1 mod m olossing vn x 1 mod m te vinden geeft meteen een methode om m in twee fctoren te ontbinden. Stel nmelijk dt m oneven is en dt x 0 1 mod m met x 0 niet ±1 mod m. Dn geldt m x 0 1 en dus m x 0 1x Omdt m oneven is, geldt m ggdm, x 0 1ggdm, x Omdt m geen vn de getllen x 0 1 en x volledig deelt, stt hier een niet-trivile ontbinding. Met ndere

16 10 HOOFDSTUK 11. KWADRAATRESTEN woorden, olossing vn kwdrtische congruentievergelijkingen modulo smengestelde m is blijkbr even moeilijk ls het ontbinden vn m in fctoren! Deze omerking is vn crucil belng voor crytogrfische toessingen.