Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli :00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel.

Transcriptie

1 Tentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 11 juli 1 9:-1: Leg uw collegekrt n de rechterknt vn de tfel. Schrijf o elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke ogve o een rt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier vrgen hebben een gelijk gewicht.

2

3 OPGAVE 1 Punten: +b+c+d+e= =18 Een elektrische diool bevindt zich in de oorsrong (,, ) (zie figuur). Het dioolmoment wordt gegeven door ˆz. Als we veronderstellen dt we de diool kunnen beschrijven ls een mthemtische (of ure) diool dn wordt de otentil gegeven door V di ( r, ) rˆ 4 cos r 4 r ) Leg uit wt bedoeld wordt met een mthemtische diool. b) Gebruik de otentil om n te tonen dt het elektrische veld gegeven wordt door x z r y E di ( r, ) 4 r (cos rˆ sin ˆ) c) Bereken de grootte en richting vn de krcht o een lding q o de x-s in het unt (,, ). Geef een uitdrukking in bolcoördinten en een uitdrukking in crtesische coördinten. d) Doe hetzelfde voor een lding q in unt (,, -). e) Stel nu dt we (nst de mthemtische diool in de oorsrong) ook een fysische diool hebben die lngs de x-s ligt (zie onderstnde figuur) met een lding q in het unt (,, ) en een lding q in het unt (,, ). Hoeveel energie kost het om deze fysische diool in het zy-vlk te brengen met de negtieve lding in het unt (,, ) en de ositieve lding in het unt (,, ) q x q z q q y

4 OPGAVE Punten: +b+c+d+e = =18 Een lnge cilinder met strl ligt met de lengtes lngs de z-s (figuur). Door deze cilinder stroomt lding in de -richting, deze stroom wordt beschreven door de volgende stroomdichtheid (in C s -1 m - ): wrin k een constnte is. Coxil om de cilinder heen ligt een cilinderoervlk met strl b. Over deze cilinder stroomt een stroom (in C s -1 ) in de richting. Deze stroom is homogeen over het cilinderoervlk verdeeld. Je mg in deze ogve veronderstellen dt de cilinder oneindig lng is en dt het cilinderoervlk oneindig dun is. 1 J (s) I b sˆ zˆ 1 b Figuur: Lengte- (links) en dwrsdoorsnede (rechts) vn de geometrie vn de ogve. Gegeven is dt ) Bewijs dt de grootte vn totle stroom door de lnge cilinder met strl gelijk is n I. b) Geef de wet vn Amère in integrle vorm en leid hieruit de wet vn Amère in differentiële vorm f. We delen de ruimte o in de volgende drie gebieden (zie figuur): 1) ; ) ). c) Bereken het mgnetische veld in de gebieden 1,, en. Er wordt een rmgnetisch mteril (met mgnetische suscetibiliteit ) ngebrcht in gebied. d) Bereken nu het mgnetische (hul)veld en het mgnetische veld in gebied. Neemt de grootte vn in gebied toe of f ten gevolge vn het rmgnetische mteril? e) Toon n dt o de rnd bij voldn is n de volgende rndconditie ( is hier een oervlktestroomdichtheid):

5 OPGAVE Punten: +b+c+d+e= =18 Gegeven is de getekende schkeling. R I 1 V R I I I 5 R R R I 4 ) Geef lle vergelijkingen voor de knoen (Kirchhoff 1). b) Geef lle vergelijkingen voor de mzen (Kirchhoff ). c) Gegeven is dt en Ω. Bereken de wrde vn lle in de schkeling ngegeven stromen. Gegeven is de hieronder getekende schkeling voor een sttionire wisselsnningsbron die in de reële schrijfwijze beschreven wordt door. V I cos( ) t R C C L d) Geef de stroom in de comlexe schrijfwijze. e) Geef de stroom in de reële schrijfwijze.

6 OPGAVE 4 Punten: +b+c+d = =18 In de oorsrong bevindt zich het middelunt vn een geleidende bol met strl. In het unt bevindt zich het middelunt vn een geleidende cilinder met strl en lengte L wrvn de lengtes loodrecht o de x-s stt (zie figuur). We brengen nu o de geleidende bol een lding Q en o de geleidende cilinder een lding Q n. Je mg in deze ogve nnemen dt de verhouding zodnig klein is dt rndeffecten mogen worden verwrloosd (je mg dus een homogene ldingsverdeling over de cilinder veronderstellen). Tevens is de verhouding voldoende klein zodt de ldingen o de geleiders elkr niet beïnvloeden. Druk, in je ntwoord o onderstnde vrgen, de richting vn een veld of krcht uit in combinties vn de eenheidsvectoren,, en. ) Bereken (vi de wet vn Guss) het elektrisch veld ten gevolge vn de lding o de bol o de ositie x (zie figuur). b) Bereken (vi de wet vn Guss) het elektrisch veld ten gevolge vn de lding o de cilinder o de ositie x (zie figuur). c) Lt zien dt het otentilverschil tussen de bol en de cilinder gegeven wordt door, d) Gegeven is nu dt en. Bereken de cciteit C vn dit systeem vn twee geleiders. Q L Q x xˆ x D

7 Uitwerking OPGAVE 1 Onderdeel ) Een mthemtische of ure diool is een bstrctie vn een fysische diool wrbij de fstnd d tussen de lding nr nul gt, de grootte vn de ldingen q nr oneindig gt terwijl het roduct dq (het dioolmoment) constnt blijft. Onderdeel b) Zie boek gin 15, gebruik E E E di, r di, r di, V r cos 4 r 1 V sin r 4 r 1 V r sin Onderdeel c) Gebruik F(,, ) qe (,, ) di E V in bolcoördinten O de x-s geldt sin 1 cos en dus (gebruik gegeven formule voor het dioolveld) ˆ F(,,) q q ˆ 4 en met ˆ cos cos xˆ cos sinyˆ sinzˆ zˆ volgt F,,) q Onderdeel d) ( zˆ Gt idem ls onderdeel c mr dn iets meer rekenen. F(,, ) qedi(,, ) In het unt (,, -) geldt 1 1 sin en cos en sin en cos 1 en ook 4 r en dus

8 F,, ) q 8 En met ( ( ˆ r 1 ˆ) r sin cosxˆ sin sinyˆ coszˆ 1 1 ˆ x ˆ zˆ ˆ cos cosxˆ cos sinyˆ sinzˆ 1 xˆ 1 zˆ wordt dit F(,, ) q ( xˆ zˆ 1 xˆ 1 zˆ) q ( xˆ 1 z ˆ) q (ˆ x zˆ) Onderdeel d) (,,) V(,, ) qv (,, ) V(,, ) E W q V en dus q 5 q 5 5 E

9 OPGAVE Onderdeel ) We noteren de grootte vn de stroom door de cilinder met, deze wordt gegeven door: Deze grootte is gelijk n I ls Onderdeel b) De wet vn Amère in integrle vorm is: rottiestelling:. Hieruit volgt vi de en dus:. Onderdeel c) We hebben cilindersymmetrie dus de velden zijn in de richting. Mk een Amère-lus (cirkel) om de z-s met strl en gebruik de wet vn Amère in integrle vorm. In gebied 1) Dus, en tenslotte. In gebied ) In dit gebied kiezen we een zelfde Amère-lus mr nu met strl: dn is de omsloten stroom en wordt het mgnetische veld: In gebied ) Hier is de omsloten stroom en dus Onderdeel d) Voor het mgnetische hulveld geldt in gebied ) (met een Amèrelus met strl en dus. Voor het mgnetische veld geldt. Omdt het mteril rmgnetisch is geldt dt en neemt de grootte vn toe.

10 Onderdeel e) Bij geldt en. Verder geldt: de som vn de vrije oervlkte stroom en de gebonden oervlkte stroom. De gebonden oervlkte stroom vinden we met:. De vrije oervlktestroom is. En dus en rndconditie.. Dus er is voldn n de

11 OPGAVE Onderdeel ) Er zijn drie knoen, hiervoor gelden de volgende drie knoovergelijkingen. K1: K: K: Deze zijn niet onfhnkelijk; de derde vergelijking K volgt bijvoorbeeld uit K+K1. Onderdeel b) Er zijn drie mzen, hiervoor gelden de volgende drie msvergelijkingen (doorloo de mzen met de klok mee, rechtsom). M1: M: M: Onderdeel c) We hebben 5 onfhnkelijke vergelijkingen met 5 onbekenden (de stromen). Dit stelsel kunnen we olossen. Stel dn volgt uit M dt uit K dt en uit M dt. Uit M1 volgt dn; Substitutie vn l deze stromen in K1 levert; En met en Ω wordt dit A. Voor de stromen vinden we dn Onderdeel d)

12 Definieer stromen I (door de snningsbron nr boven), I 1 (door de weerstnd nr beneden) en I (door de rechter condenstor nr beneden). Kirchhoff 1 (er is 1 onfhnkelijke knoo-vergelijking), Kirchhoff (er zijn mzen, met de klok mee), En dus Er geldt: en. Dit invullen levert in de comlexe schrijfwijze, Onderdeel e) Voor de reële schrijfwijze vinden we, en En dus de reële schrijfwijze wordt

13 Met

14 OPGAVE 4 Onderdeel ) Wet vn Guss toessen o een boloervlk met strl x. Veld is wegens bolsymmetrie in de rdile richting. De rdile richting in het unt x is de -richting dus; Onderdeel b) Wet vn Guss toessen o een cilinderoervlk met strl en lengte. Veld is wegens cilindersymmetrie in de richting loodrecht o de cilinder. De richting loodrecht o de cilinder in het unt x is de -richting dus; c) Omdt het geleiders zijn is de otentil in ieder unt vn de geleider gelijk. We kunnen dus om het gevrgde otentilverschil te belen bijvoorbeeld het otentilverschil tussen het unt (oervlk vn de bol) en het unt (oervlk vn de cilinder) berekenen. Dit otentilverschil wordt gegeven door,

15 Onderdeel d) Met de gegevens vinden we En dus