5.1 Hogeremachtswortels [1]

Transcriptie

1 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij elke even exponent.

2 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 3 = p heeft ltijd één oplossing; Het bovenstnde geldt bij elke oneven exponent. 2

3 5. Hogeremchtswortels [] Voorbeeld : x 2 = 9 x = 9 x = - 9 x = 3 x = -3 Voorbeeld 2: x 4 = -8 Geen oplossingen. Voorbeeld 3: x 3 = 27 x = 3 27 = 3 Voorbeeld 4: x 3 = -27 x = = -3 Let op: Wortels die mooi uitkomen, moet je ltijd herleiden. 3

4 5. Hogeremchtswortels [] Voorbeeld 5: Los de volgende vergelijking op en geef het ntwoord in twee decimlen Nuwkeurig: 8x = 92 8x 6 = 72 [Alle losse getllen nr rechts] [Zorg dt er geen getl meer voor de x stt] x 6 = 2 x = x = x,5 x -,5 Op de GR: Typ 6 in op je GR; MATH 5: x ENTER 2 ENTER 4

5 5. Hogeremchtswortels [2] Voorbeeld : Los de vergelijking 4 5 x 2 24 op 4 5 x x 20 4 x 4 x Losse getllen nr rechts Delen door het getl voor de wortel Links en rechts tot de mcht 4 nemen. 5

6 5. Hogeremchtswortels [2] Voorbeeld 2: Schrijf y = 0,5 3 x - 7 in de vorm x =. 3 0,5 x 7 3 0,5 x y 7 3 x 2 y4 x (2 y4) 3 y Losse getllen nr rechts Delen door het getl voor de wortel Links en rechts tot de mcht 3 nemen. 6

7 5. Hogeremchtswortels [3] Voorbeeld: Los op: 0,25x 4 < 5 Stp : Los de gelijkheid 0,25x 4 = 5 op 0,25x 4 - = 5 0,25x 4 = 6 x 4 = x 24 x 24 Stp 2: Schets de beide grfieken Stp 3: Lees uit de schets de oplossingen f x 24 7

8 5.2 Exponentiële groei [] Voorbeeld (Lineire groei): t N De hoeveelheid N neemt per tijdseenheid met hetzelfde getl toe. Bovenstnde tbel geeft de formule N = 50t + 00 met 00 ls beginwrde en 50 ls de toenme per tijdseenheid De grfiek vn deze formule is een rechte lijn Bij een gelijke fnme per tijdseenheid is er ook lineire groei Bij lineire groei is de formule ltijd N = t + b met ls toenme per tijdseenheid en b ls beginwrde. 8

9 5.2 Exponentiële groei [] Voorbeeld 2 (Exponentiële groei): t N ,5 506,25 De hoeveelheid N neemt per tijdseenheid met hetzelfde percentge toe. Bovenstnde tbel geeft de formule N = 00,5 t met 00 ls beginwrde en,5 ls groeifctor per tijdseenheid. Bij een gelijke procentuele fnme per tijdseenheid is er ook exponentiële groei. Bij een groeifctor groter dn één is de grfiek stijgend Bij een groeifctor tussen 0 en is de grfiek dlend Bij exponentiële groei is de formule ltijd N = b g t met b ls beginwrde en g ls groeifctor per tijdseenheid. 9

10 5.2 Exponentiële groei [2] Voorbeeld (Exponentiële groei): t N ,5 506,25 In dit voorbeeld is het groeipercentge 50% In dit voorbeeld is de groeifctor,5 Groeifctor = 50 groeipercentge ( ) Groeipercentge = (,5 ) 00% (=groeifctor -) 00% 0

11 5.2 Exponentiële groei [2] Voorbeeld 2 (Exponentiële fnme): t N ,2 40,96 In dit voorbeeld is het groeipercentge -20% In dit voorbeeld is de groeifctor 0,8 Groeifctor = 20 groeipercentge ( ) Groeipercentge = (0,8 ) 00% (= groeifctor -) 00%

12 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [] Herhling rekenregels voor mchten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: 3 5 = 8 Optellen lleen bij gelijknmige termen: = 7 3 Bij mcht vn een mcht exponenten vermenigvuldigen: ( 5 ) 4 = 20 Delen is exponenten ftrekken: Mcht vn een product: (2 3 ) 4 = 6 2 Algemeen: p p q pq pq ) 2) q 3)( ) 4)( b) b p q pq p p p 2

13 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [] Rekenregels voor mchten: p p q pq pq [] [2] q p q pq p p p ( ) [3] ( b) b [4] Voorbeeld: Herleid de formule N = 300,763t +2 N = 300,763t +2 N = 300,76 3t,76 2 Rekenregel [] N = 300 (,76 3 ) t,383 Rekenregel [3] N = 300,383,626 t N = 45,626 t 3

14 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [2] Meer rekenregels: 5) 0 = wnt n 6) n wnt Voorbeeld : Schrijf ls mcht vn : 8 : : Voorbeeld 2: Schrijf zonder negtieve exponenten:

15 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [3] Meer rekenregels: 7) q q wnt p 8) q q p wnt Voorbeeld : Schrijf zonder negtieve en gebroken exponenten: b b b Voorbeeld 2: Schrijf ls mcht vn x: ( ) 5

16 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [4] Voorbeeld : x 6 x ,76 x Links en rechts tot de mcht /6 Voorbeeld 2: x 3 x x 0 0,46 Links en rechts tot de mcht -/3 6

17 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [4] Voorbeeld 3: x,60 x 9,60,60,60,60 9 x 9 3,95 Links en rechts tot de mcht /,60 Voorbeeld 4:,65 5x 9 30,65 5x 39 x, x 5,65 3,47 Links en rechts tot de mcht /,65 7

18 5.3 Mchten met gehele en gebroken exponenten [5] Definitie: P en Q zijn evenredig ls er een getl bestt zodnig dt P = Q y en x n zijn dus evenredig ls er een getl bestt zodnig dt y = x n Voorbeeld: De grfiek y = x 0,87 gt door het punt P(20, 50) Bereken in gehelen nuwkeurig: y = x 0,87 50 = 20 0,87 50 = 3,54 = 50/3,54,08 8

19 5.4 Groeifctoren [] Voorbeeld (Exponentiële groei): t (uur) N ,5 506,25 De groeifctor per uur is,5 wnt: N =,5 N 0 =,5 00 = 50 De groeifctor per twee uur is,5,5 =,5 2 wnt: N 2 =,5 2 N 0 =, = 225 De groeifctor per drie uur is,5,5,5 =,5 3 wnt: N 3 =,5 3 N 0 =, = 337,5 De groeifctor per t uur is nu dus,5 t wnt N t =,5 t N 0 9

20 5.4 Groeifctoren [] Voorbeeld 2: Een hoeveelheid neemt per dg met 23% toe. De groeifctor per dg (g) is,23 De groeifctor toenme per week (g week ) is g 7 =,23 7 = 4,26 Per week neemt de hoeveelheid met (4,26 ) 00% = 326% toe De groeifctor per dg (g) is,23 De groeifctor per 6 uur (g 6uur ) is g ¼ =,23 ¼ =,05 Per zes uur neemt de hoeveelheid met (,05 -) 00% = 5% toe 20

21 5.4 Groeifctoren [2] Voorbeeld: De hoeveelheid bcteriën groeit exponentieel. Op tijdstip t = 5 zijn er bcteriën. Op tijdstip t = 2 zijn er bcteriën. Stel de formule op vn het ntl bcteriën N om t uur. Stp : Bij een exponentieel verbnd hoort de formule: N = b g t met b = beginhoeveelheid en t = tijd Stp 2: Bereken de groeifctor vn t = 5 tot t = 2 (g 7uur ) g 7uur = N ,5 2 N

22 5.4 Groeifctoren [2] Voorbeeld: Stp 3: Bereken de groeifctor per uur (g): 7 g( g ),20 7uur => N = b,20 t Stp 4: Bereken de beginhoeveelheid: N = b,20 t = b, = b 8,92 b = 785 => N = 785,20 t 22

23 5.4 Groeifctoren [3] De verdubbelingstijd is de tijd wrin de hoeveelheid verdubbelt. (g > ) Voorbeeld: Een hoeveelheid neemt dgelijks met 20% toe. (N =,2 t ) Bereken de verdubbelingstijd in dgen. Los nu de vergelijking,2 t = 2 op met de GR: Y =,2^X Y2 = 2 INTERSECT geeft X = 3,80 dgen Let op: De hlveringstijd is de tijd wrin de hoeveelheid hlveert. (0 < g < ) 23

24 5 Smenvtting De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij elke even exponent. De functie x 3 = p heeft ltijd één oplossing; Het bovenstnde geldt bij elke oneven exponent. Lineire groei: Er is een vste toenme (of fnme) per tijdseenheid; N = t + b met ls toenme per tijdseenheid en b ls beginwrde. Exponentiële groei: Er is een vste procentuele toenme (of fnme) per tijdseenheid; N = b g t met b ls beginwrde en g ls groeifctor per tijdseenheid. Groeifctor = groeipercentge 00 Groeipercentge = (groeifctor -) 00% 24

25 Rekenregels voor mchten: [5] 0 = [6] [7] q q [8] 5 Smenvtting p p q pq pq [] [2] q p q pq p p p ( ) [3] ( b) b [4] n n P en Q zijn evenredig ls er een getl bestt zodnig dt P = Q; y en x n zijn dus evenredig ls er een getl bestt zodnig dt y = x n. Exponentiele formule opstellen: N ) Bereken de groeifctor g met g N 2) Bereken de beginhoeveelheid. p q q p De verdubbelingstijd is de tijd wrin de hoeveelheid verdubbelt (g > ); De hlveringstijd is de tijd wrin de hoeveelheid hlveert (0 < g < ). 2 t t 2 25