Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 1 van 9 Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Les 1 Lineaire en exponentiele groei Definitie Lijn = LINEAIRE GROEI Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal = RC b = beginwaarde (0,b) (snijpunt y-as) Lijnen gebruik je als : - Iedere keer hetzelfde getal erbij komt / eraf gaat (+5 / -3). Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b = beginhoeveelheid g = groeifactor t = tijd Exponentiële functies gebruik je als : - Iedere keer met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt (x3) - Iedere keer hetzelfde percentage erbij komt of eraf gaat. ( Iedere keer + 3% Iedere keer vermenigvuldigen met 1,03)

2 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina van 9 Stappenplan lijn door twee punten A en B (1) Lijn heeft altijd vergelijking y = ax + b () Bepaal de a door a = rc = Δy Δx = y a y b x a x b (3) Bereken b door punt A in te vullen in y = ax + b Lijn m gaat door A=(3, 5) en B=(8, -10 ) a. Bepaal de vergelijking van lijn m. Lijn l is evenwijdig aan m en gaat door P=(1,7). b. Bepaal de vergelijking van lijn l. a. Volg het stappenplan : (1) Lijn heeft altijd vergelijking y = ax + b () Bepaal de a door a = rc = Δy Δx = = 15 5 = 3 (3) Vul punt A=(3, 5) in in y = 3x + b 5 = b b = 14 Dus lijn m : y = -3x + 14 b. l // m rc gelijk dus a = -3 Je weet ook punt (1,7) 7 = b b = 43 Dus lijn l : y = -x + 43

3 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 3 van 9 Les : Exponentiële en Lineaire Groei door elkaar Harrie zet op 1 jan euro op de bank. Hij krijgt 6% rente per jaar. a. Is dit lineair of exponentieel? Waarom? b. Bepaal de formule. c. Bereken het bedrag na 5 jaar. d. Bereken in welk jaar het bedrag voor het eerst meer dan verdubbeld is. Jan zet op 1 jan euro op de bank. Hij krijgt 50 rente per jaar e. Stel de formule van Jan op f. Bereken in welk jaar het bedrag van Harrie groter is dan dat van Jan. a. Exponentieel, iedere keer +6% x 1,06. b. N = 500 1,06 t. c. N(5) = 500 1,06 5 = 669,11 (euro s dus decimalen) d = 500 1,06 t (1) Y1 = 500 1,06 t en Y = 1000 (3) x =11,9 = 1 jaar (rente krijg je pas aan het einde) Dus in = 015 e. y = t f. Harrie > Jan 500 1,06 t > t Eerst oplossen 500 1,06 t = t (1) Y1 = 500 1,06 t en Y = t (3) X= 1,97 = jaar (rente krijg je pas aan het einde) Dus in = 05 EXTRA: procentuele toename = (nieuw oud) / oud x 100%

4 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 4 van 9 Les 3 Lineaire en Exponentiële formules Gegeven is de volgende tabel over stad A : t y Met t in jaren en y is het aantal inwoners en t=0 is het jaar 000. a. Toon aan dat dit een exponentiële tabel is. b. Bepaal de formule. c. Bereken in welk jaar er voor het eerst meer dan inwoners bijkomen. In stad B wonen in 000, 8000 mensen en komt er ieder jaar 1000 inwoners bij. d. Bereken in welk jaar het aantal inwoners in stad A en B gelijk zijn. a. Ze moeten (afgerond) allemaal gelijk zijn : , , ,6 Ze zijn gelijk dus exponentieel met g=1,6 b. y = 800 1,6 t c. Gebruik de tabel!!! (1) Y1 = 800 1,6 t () X Y (+ 8966) (+ 1454) Dus in het 7 e jaar dus in 007 d. y = 1000t Eerst oplossen : 1000t = 800 1,6 t (1) Y1 = 1000t en Y = 800 1,6 t (3) x = 5,9 = 5 jaar (inwoners komen iedere dag erbij!!!!) Dus in = 005

5 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 5 van 9 Paragraaf 9. Groeipercentages Een bacterie groeit met 1 % per dag. Bereken de groeifactor per a. dagen b. week c. halve dag d. uur = 11 11/100 = 1,1 Groeifactor per dag 1,1 a. g 1,1 g 1,1 1, % per dagen b. g 1,1 7 g 7 1,1, % per week 1 g c.,1 g 1,1 1, % per dag d. g 1,1 g 1,1 1, % per uur

6 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 6 van 9 Paragraaf 9.3 Verdubbelings- en Halveringstijd Sjors heeft 800 vlooien. Iedere dag daalt de populatie met 4%. a. Bepaal de formule. b. Bereken aan het begin van welke dag het aantal vlooien voor het eerst (meer dan) gehalveerd is. a. N = 800 0,94 t. b. 400 = 800 0,94 t (1) Y1 = 800 0,94 t en Y = 400 (3) x = 11, = 1 e dag Of (1) Y1 = 0,94 t en Y = 0,5 (3) x = 11, = 1 e dag

7 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 7 van 9 Paragraaf 9.4 Exponentiële Formule bepalen / Verzadiging Les 1 : Exponentiële Formule bepalen Een hoeveelheid neemt exponentieel af. Op t = 3 is N = 505 en op t = 8 is N =150. Stel de formule op van N. Je kunt een stappenplan gebruiken : (1) Formule N = b g t () Groeifactor berekenen (3) Beginwaarde b berekenen door een punt in te vullen (4) Formule opschrijven (1) Formule N = b g t () Groeifactor uitrekenen g 5 jaar = 150/505 g 1jaar = (150/505) 1/5 = 0,784 (3) beginwaarde uitrekenen Je weet N = b 0,784 t. Punt (3,505) invullen 505 = b 0,784 3 b = 505 / 0,784 3 = 1048 (4) Formule : N = ,784 t.

8 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 8 van 9 Les : Verzadigingsniveau bepalen Definitie Verzadigingsniveau = { y-waarde waar de formule op termijn naar toe gaat } Verzadigingsniveau berekenen t heel groot maken (t = ) Beredeneer het verzadigingsniveau en de praktische betekenis van a. De hoeveelheid medicijn (M) in het bloed gedraagt zich volgens de formule M = , t b. Het aantal bacteriën (B) groeit volgens de formule B = 180 c. Beredeneer of de formule van B stijgend of dalend is ,4 t a. t heel groot 3 0, t , t 1 Dus het verzadigingsniveau is 1 (gram) Dit betekent dat er altijd 1 gram medicijn in het bloed blijft!!! b. t heel groot 3 0,4 t , t 6 Het aantal bacteriën (B) gaat op lange termijn naar = 6+3 0,4t 6 = 30 c. t 0,4 t 3 0,4 t ,4 t Dus een stijgende functie ,4 t Opmerking Je kunt c al beredeneren omdat op t = 0 er B = ,4 0 = = 0 beestjes zijn en het verzadigingsniveau is 30 (dus stijgend).

9 Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 9 van 9 Paragraaf 9.5 Logaritmisch papier Definities Logaritmisch papier Op logaritmisch papier is : de macht lineair (iedere keer + 1) wordt in een stapje alles 10 keer zo groot de formule y = b g t (exponentiële) een rechte lijn!!!! Aflezen A,B,C,D,E en F op blz. 44 log papier. Voorbeeld Gegeven is de volgende lijn. Bepaal de formule van de lijn Oplossing Je kunt gebruik maken van het stappenplan uit paragraaf Lees twee punten af, bijvoorbeeld (-1, ½ ) en (,4) (1) Rechte lijn dus y = b g t () g 3 = 4 / ½ = 8 g 3 = 8 g = (3) y = b t en (,4) invullen 4 = b b=1 (4) Dus y = 1 t Opmerking : Bij dubbellogpapier zijn beide assen logaritmisch.