Paragraaf 9.1 : Logaritmen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Paragraaf 9. : Logaritmen Les Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Om logaritmen uit je hoofd uit te rekenen kun je de volgende regel gebruiken : g log g t = t Voorbeeld Bereken uit je hoofd a. 3 log 9 = b. 3 log 7 = c. log ½ = d. 3 log 5 = Olossing a. 3 log 9 = 3 log 3 = b. 3 log 7 = 3 log 7 ½ = 3 log (3 3 ) ½ = 3 log 3 ½ = ½ c. log ½ = log - = - d. Dit kan niet dus : = 3 log 5. { = (log 5) / (log 3) =, of met de kno Logbase } Voorbeeld Bereken eact : 5 3 log () + = Olossing 5 3 log () + = 5 3 log () = 0 3 log () = ( Gebruik nu de hoofdregel g t = b t = g log b ) = 3 = 9/ = ½

2 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Les : Grafieken en ongelijkheden Definitie Staenlan logaritmische ongelijkheden (0) Beaal het domein () Los de vergelijking o () Maak een schets van de twee grafieken. Let o het domein!!!! (3) Lees de olossing af uit de schets. Voorbeeld Gegeven f() = log (+) en g() = log (5-). a. Beaal de domeinen van f en g. b. Los o : f() < g() Olossing a. Domein f : + > 0 > - Domein g : 5 > 0 < 5 b. () log (+) = log (5-). Y =log (+) / log() Y = log (5-) / log() calc intersect = 3, () Schets mbv Y en Y geeft (3) - < < 3, 3. Domeinen : -5 en - dus log (+5) + log (+) 5 als - < 3

3 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 3 van 5 Les 3 : Eonentiële vergelijkingen olossen en omschrijven Voorbeeld Los eact o a. 3 + = 0 b. 5 3 = 00 Olossing a. 3 + = 0 ( Gebruik nu de hoofdregel g t = b t = g log b ) + = 3 3 log (0) = log(0) b. 5 3 = 00 3 = 0 3 = log (0) 3 = log(0) + = log(0) Voorbeeld Maak vrij bij de formule y = { Schrijf als = } Olossing y = y + 0 = = log (y + 0) 3 = log(y + 0)

4 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Paragraaf 9. : Rekenregels bij Logaritmen Les : Logaritmische vergelijkingen Definitie : Rekenregels Logaritmen () g log a + g log b = g log ab () g log a g log b = g log (a/b) (3) g log a k = k g log a () g log a = (log a) / (log g) (5) g log () = 0 () g log g t = t (7) log a = 0 log a Voorbeeld Bereken eact met de rekenregels a. 3 log + 3 log = { b. log 8 = { = log 8 = log 3 = 3 = } c. 3 log 3-3 log = { = 3 log 3 : = 3 log 3 = } Olossing a. 3 log + 3 log = 3 log ( ) = 3 log 7 b. log 8 = log 8 = log 3 = 3 = c. 3 log 3-3 log = 3 log 3 : = 3 log 3 =

5 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 5 van 5 Voorbeeld Los algebraïsch o a. + log () = log (-3) b. log (+5) - ½ log (+) = c. log () - log () = Olossing a. Let o het domein : (i) > 0 en 3 > 0 > 0 en < 0 < < log( log( ) 9 9 ) log( ) 3 log( 3 ) log( ) log( 3 ) log( 3 ) b. Let o het domein : (i) +5 > 0 en + > 0 > -5 en > - > - Er geldt ook dat : ½ log (+) = - log (+) dus log (+5) + log (+) = log( 5)( ) log( log( 7 0 ) log( ( )( ) 0 v ( V. N.) ) ) c. Let o het domein : (i) > 0 ( log( )) 0 ( 3)( ) 0 3 log( ) 3 3 v 8 log( ) v v log( ) { Stel log( ) }

6 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Les Eonentiele vergelijkingen olossen Voorbeeld Los eact o a. 3 + = 8 b. 5 5 = c. + - = Olossing : } { 0. log() ) 3 ( ) ( ) ( 0 } 5 { 0 5 ) (5.. 5 formule abc Stel c KN v v Stel b a

7 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 7 van 5 Paragraaf 9.3 : Eonentiële en Logaritmische formules Les verdubbelings- en halveringstijd Voorbeeld Sjors heeft 800 vlooien. Iedere dag daalt de oulatie met %. a. Beaal de formule. b. Bereken aan het begin van welke dag het aantal vlooien voor het eerst (meer dan) gehalveerd is. Olossing a. N = 800 0,9 t. b. 00 = 800 0,9 t () Y = 800 0,9 t en Y = 00 () Intersect (3) =, = e dag Of () Y = 0,9 t en Y = 0,5 () Intersect

8 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 8 van 5 Definities Logaritmisch aier O logaritmisch aier is : de macht lineair (iedere keer + ) wordt in een staje alles 0 keer zo groot de formule y = b g t (eonentiële) een rechte lijn!!!! Voorbeeld Aflezen A,B,C,D,E en F o blz. 3 log aier. Voorbeeld Gegeven is de volgende lijn. Beaal de formule van de lijn Olossing Je kunt gebruik maken van het staenlan uit aragraaf 0.. Lees twee unten af, bijvoorbeeld (-, ½ ) en (,) () Rechte lijn dus y = b g t () g 3 = / ½ = 8 g 3 = 8 g = (3) y = b t en (,) invullen = b b= () Dus y = t Omerking : Bij dubbellogaier zijn beide assen logaritmisch.

9 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 9 van 5 Les 3 : Verschuiven en vermenigvuldigen Definities Transformaties (=Verschuiving of Vermenigvuldiging) () Translatie a naar rechts en b omhoog ( T(a,b) ) F() Translatie (a,b) F(-a) + b () Vermenigvuldiging t.o.v. de -as met factor a ( = V-as,a ) F() V-as,a a F() (3) Vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor a ( = Vy-as,a ) F() Vy-as,a F( /a ) Voorbeeld Gegeven is de formule f() = + 8 Geef de formule na de translatie: a. (3,) { + 8 T(3,) g() = = -3 + } b. (-,) { + 8 T(-,) g() = = + + } Geef de formule na vermenigvuldiging met factor - c. TOV de -as d. TOV de y-as Olossing a. + 8 T(3,) g() = = -3 + b. + 8 T(-,) g() = = + + c. g() = - ( + 8) = - - = + d. g() = -/ + 8 =(½) ½ + 8

10 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 0 van 5 Paragraaf 9. : Het getal e Les : Het getal e We kijken naar een aar afgeleiden Voorbeelden. f() =,5 f () = 0,9,5. f() = 3 f () =, f() =,78.. = e f () = e = e Dus er geldt f() = e f () = e Omerking Omdat e een getal is (en wel =,78 ) is e = 7,389.. ook een getal en dus alle machten zijn getallen Voorbeeld Herleid a. e + e = b. 3e + 3e = c. e 3 / e = d. (e + e ) = Olossing a. e b. e c. e d. e + e e + e e + (e ) = e + e e + (e ) = e + e + + e

11 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Voorbeeld Los algebraïsch o a. e = e b. e - e 3+ = 0 Olossing a. e - e =0 (-)e = 0 = v e = 0 (kn) b. e - e 3+ = 0 e = e 3+ = 3 + = - ½

12 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Les : Differentiëren van e-machten Definitie Differentiëren van e-machten Hoofdregel voor e-machten f() = e f () = e Omerking Ook bij e-machten kun je roductregel, quotiëntregel of kettingregel nodig hebben!!! Voorbeeld Differentieer a. f() = 5e b. f() = e c. f() = 5e 0- d. f() = 3e e. f() = (3-5) / e Voorbeeld Differentieer a. f () = 5e b. f() = e + e { PRODUCTREGEL } c. f() = 5e 0- - { KETTINGREGEL } d. f() = 0 { e = 7,389 IS EEN GETAL } e. f () = e (3 5) 3e e

13 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 3 van 5 Paragraaf 9.5 : De Natuurlijke Logaritme { ln() } Les Rekenen met ln() Voorbeeld Los de volgende vergelijkingen eact o. Denk aan de regel : g t = b g log(b) = t. a. e = 0 b. e +5 = 8 Olossing a. e = 0 = e log(0) b. e +5 = 8 +5 = e log(8) = e log(8) 5 = ½ e log(8) ½ Definities Omdat e log() heel vaak voorkomt is er een etra naam bedacht voor deze formule en dat is ln() Dus : e log() = ln() Omdat geldt dat g log(g ) = geldt ook dat : e log(e ) = ln(e ) = Er geldt dus ook : ln(e 3 ) = 3 en ln(e) = ln(e ) = Omdat ln() een logaritme is gelden alle logaritme regels!!! Voorbeeld Herleid tot één geheel a. ln(e ) = b. ln(3) + ln(3) = c. ln (e) + = d. ln(3) + = Olossing a. ln(e ) = e log (e ) = b. ln(3) + ln(3) = ln(3 3) = ln(39) c. ln (e) + = ( ln(e) ) + = + = 3 d. ln(3) + = ln(3) + ln(e ) = ln(3e )

14 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Voorbeeld 3 Los de vergelijkingen eact o a. ln () = 3 b. ln() = ln() c. ln() - ln(3+) = Olossing 3 Denk aan de regel : g t = b g log(b) = t a. e log () = 3 = e 3 = ½ e 3 b. ln() = ln() ln() ln() = 0 ln() [ ] = 0 ln() = 0 v = 0 = e 0 = v = ½ c. ln (+) ln() = ln ( (+) / ) = (+) / = e + = e e = - (e ) = - = -/(e )

15 Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina 5 van 5 Les : Differentiëren van de Natuurlijke Logaritme ln() Definitie differentiëren van log-functies Hoofdregel : f() = ln() f () = g Hulregel : f() = log ( ) f () = ln(g) Definitie differentiëren van eonentiële functies Hoofdregel : f() = e f () = e Hulregel : f() = a f () = ln(a) a Voorbeeld Differentieer a. f() = 3ln() b. f() = ln ( + 5) c. f() = ln 3 () 3 d. f() = log ( + 7) e. f() = 3 f. f() = 5 Olossing Differentieer a. f () = 3 ln() + 3 = 3ln() + 3 b. f () = (+5) ( + 5) = c. f () = 3 ln () d. f () = (+7)ln(3) e. f() = 3 ln() f. f() = ln (5) 5 ( ) { KETTINGREGEL MET u = ln() }