Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

Transcriptie

1 Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

2 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de lijn AB Het differentiequotiënt van f() op het interval [a b] is gelijk aan: y = y yb y = B f(b) f(a) b a Hellingsgrafiek en afgeleide functie De hellingsfunctie van f geeft bij elke de helling van de grafiek van f in dat punt. De grafiek van de hellingfunctie heeft de hellingsgrafiek. Een ander woord voor hellingfunctie is afgeleide functie of afgeleide. Uit de gegeven grafiek van f kun je bijzonderheden van de hellingsgrafiek afleiden: A A A B Bij een dalend deel van de grafiek van f horen negatieve hellingen, de hellingsgrafiek ligt daar onder de -as In een top van de grafiek van f is de helling nul. De hellingsgrafiek snijdt de -as. Bij een stijgend deel van de grafiek van f horen positieve hellingen, dus de hellingsgrafiek ligt daar boven de -as,. Snelheid en richtingscoëfficiënt Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op een tijdstip t met het = a differentiequotiënt op het interval [a a + t] met (bijvoorbeeld) t = 0 0 of t = 0 00 In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid op gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. dy d = A is: de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in A de helling van de grafiek in A de snelheid waarmee y verandert voor = A Regels voor de afgeleide Het berekenen van de formule van de afgeleide heet differentiëren. Regels voor het diffferentiëren: De afgeleide van f() is gelijk aan f () = 0 De afgeleide van f() f () = a De afgeleide van f() f () = a... De hoofdregel: de afgeleide van f() is f () = n n. = a = a = a = n is gelijk aan is gelijk aan In een buigpunt van de grafiek van f is de helling mimimaal dan wel maimaal. Een buigpunt van de grafiek van f geeft derhalve een top bij de hellingsgrafiek.

3 Machtsfuncties Voorbeeld Een machtsfunctie heeft de vorm f() De functie f is een standaardfunctie. De bijbehorende grafiek is een standaardgrafiek. Bij even waarden van n is de grafiek (lijn-)symmetrisch met de y-as. Bij oneven waarden van n is de grafiek puntsymmetrisch met de oorsprong als punt van symmetrie. Zie grafieken hieronder. = a n Je kunt f() = (3 4) 5 6 opvatten als een transformatie van de standaardgrafiek y. = 5 Schets de grafiek Geef de coördinaten van het snijpunt van f met de y-as Zie voorbeeld uitgewerkt

4 . raaklijnen en toppen Formule van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide van f aan elke de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. f (a)is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a)) Voorbeeld f() = + 4 b. c. in het punt A( 3) De lijn k raakt f in O(0 raakt f in C(4 0 ). Bereken de 0) en de lijn m coördinaten van het snijpunt van k en m. De lijn n : y = 4 + b raakt de grafiek van f. Bereken b. Voorbeeld g() = Wat is de vergelijking van de raaklijn aan g die loodrecht staat op de raaklijn door het punt D( )? Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt Met de afgeleide kan je punten van f vinden waar de raaklijn een bepaalde waarde van richtingscoëfficiënt heeft. Voorbeeld 3 Uitwerking a. Geef de vergelijking van de raaklijn aan f 0 Gegeven: f() = In de punten A en B van de grafiek van f is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B. f () = De rico is 3 dus f () = = = 0 3 = 0 ( 3 )( + ) = 0 = 3 of =. Dit geeft: f( ) = 7 en f(3) = 3. Je krijgt: A( 7) en B(3 3) Zie voorbeeld en uitgewerkt Opgave Opgave Geef een vergelijking voor de raaklijn aan Geef een vergelijking voor de raaklijn aan y = 3 in het punt ( ). y = in (3 0). opgave en uitgewerkt

5 Etreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide Bij etreme waarden loopt de raaklijn horizontaal. Dat betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn nul is. Anders geformuleerd: Als f () = 0 heb je (mogelijkerwijs) te maken met een etreem. Opgave 3 Aantonen van etreme waarden Bij het met de afgeleide aantonen dat de functie f een etreme waarde heeft voor : = a Werkschema. Bereken f. Laat met een berekening zien dat f (a) = 0 3. Schets de grafiek van f en laat zien dat de grafiek een top heeft voor Je kunt zeggen dat voor een etreme waarde het feit dat f (a) = 0 een noodzakelijke voorwaarde is, maar het is geen voldoende voorwaarde. Het kan immers ook een buigpunt zijn. opgave 4 = a, bepaal de de etreme waarden van f. etreme waarden van g. Gegeven f() = , bepaal Gegeven g() = opgave 3 en 4 uitgewerkt

6 . de afgeleide van machtsfuncties De afgeleide van f()= n Algemeen: = n f () = n n voor n R. De afgeleide van f() is: Daarmee kan je de afgeleide bepalen van gebroken functies en wortelfuncties: f() = g() = h() = Raaklijnen en toppen bij gebroken functies Bij functies met gebroken vergelijking kan je de afgeleide gebruiken om raaklijnen, raakpunten en etremen te berekenen. Voorbeeld Gegeven f() = 3 In welke punten is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3? Bereken de etreme waarde(n). Zie uitgewerkt voorbeeld k() = Zie voorbeelden uitgewerkt De afgeleide van f()= n voor elke n van R n De afgeleide van f() is f () = n n voor elke n van R Afspraak Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken eponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken eponenten is gegeven. Stappenplan: Zet eerst de wortels om in gebroken eponenten. Zet de machten in de noemer in de teller. Die worden dan negatief. Schrijf in de standaardvorm. Dan kan je met de hoofdregel differentieren. Zet de negatieve machten in de teller in de noemer. De eponent wordt positief. Schrijf de gebroken eponenten als wortels.

7 De afgeleide van y = Voorbeelden Je kunt de afgeleide van f()= bepalen door te schrijven een gebroken macht. f() = = f () = f () = f () = = Maar 'echt handig' is dat niet. Je kunt ook onthouden dat de afgeleide van gelijk is aan. Wij noemen dat dan een standaard afgeleide. f() = 6 f() = 7 f () = 7 7 f () = 7 f() = 3 3 f() f () f () = = = 9 4 f () = 9 4

8 3. de afgeleide van samengestelde functies De afgeleide van f()=(a+b) n met n geheel In 't algemeen: De afgeleide van f() = ( a + b) n voor n een geheel getal is gelijk aan: f () = a n (a + b) n Dit soort functies heten samengestelde functies. Voorbeeld De afgeleide van f() = ( 6 + 3) 4 De afgeleide van f()=(a+b) n voor elke n van R De afgeleide van f() = ( a + b) n is gelijk aan: f () = a n (a + b) n Dit geldt voor alle n van R. Voorbeeld De afgeleide van f() = 6 f () = 6 = 6 is gelijk aan: 3 6 is: f () = 4(6 + 3) 3 Dit is een bijzonder geval van de kettingregel. Maar ja... helaas... Voorbeelden Bepaal de afgeleide van: Etra oefeningen Bepaal de afgeleide: a. f() = ( 3) 4 b. g() = 4 9 c. h() = 5 uitgewerkt a b c f () = 4 3 g () = h () = 3 4 etra oefeningen uitgewerkt Bepaal de afgeleide van h() = ( 3 5) Antwoord: h () = 5(3 5) + 4

9 4. optimaliseren Optimaliseren met behulp van de afgeleide Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maimum of een minimum. Voorbeelden van zulk optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud dit je uit een rechthoekig stuk karton kan maken? Bij welk route horen de laagste kosten? Het gebruik van de afgeleide ligt dan voor de hand. Let op of je mag benaderen (met je GR) of dat er een eact antwoord wordt gevraagd. Notaties voor de afgeleide van y = f() Gegeven is de functie f() = Van een rechthoek ABCD liggen de punten A en B op de -as en de punten C en D op de grafiek van f. = A Als je p neemt dan kan je de omtrek en de oppervlakte van ABCD uitdrukken in p. Met de afgeleide zou je dan de maimale omtrek of de maimale oppervlakte kunnen berekenen. Zie uitgewerkt

10 Voorbeeld Je hebt een rechthoekig stuk karton met afmetingen 80 cm bij 50 cm. Daaruit moet je een doos vouwen (zonder deksel!) met een zo groot mogelijke inhoud. Je moet uit de vier hoeken van de rechthoek een stukje knippen om de doos te vormen. Voorbeeld Gegeven is de functie f() = ( 4). Onder de grafiek tekenen we een rechthoek OABC met O(0 0) en A(p 0) met 0 p 4. B ligt op de grafiek van f en C ligt op de y-as. Bereken met de afgeleide hoe groot dat stukje moet zijn zodat de doos een maimale inhoud heeft. voorbeeld uitgewerkt a. Druk de oppervlakte van OABC uit in p. b. Bereken m.b.v. differentiëren de maimale oppervlakte van OABC. voorbeeld uitgewerkt Zie eventueel oefeningen