Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei

Transcriptie

1 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Les 1 Exponentiële functies Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b = beginhoeveelheid t = tijd g = groeifactor Exponentiële functies gebruik je als : - Iedere keer met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt (x3) - Iedere keer hetzelfde percentage erbij komt of eraf gaat. ( Iedere keer + 3% Iedere keer vermenigvuldigen met 1,03) Op 1 jan 2003 zet Harrie 500 euro op de bank. Hij krijgt 6% rente per jaar. a. Is dit lineair of exponentieel? Waarom? b. Bepaal de formule en bereken daarmee het bedrag na 5 jaar. c. Bereken in welk jaar het bedrag voor het eerst meer dan verdubbeld is. Jan zet op 1 jan euro op de bank. Hij krijgt 50 rente per jaar d. Stel de formule van Jan op e. Bereken in welk jaar het bedrag van Harrie groter is dan dat van Jan. a. Exponentieel, iedere keer +6% x 1,06. b. N = 500 1,06 t N(5) = 500 1,06 5 = 669,11 (euro s dus 2 decimalen) c = 500 1,06 t (1) Y1 = 500 1,06 t en Y2 = 1000 (2) Intersect (3) x =11,9 = 12 jaar (rente krijg je pas aan het einde) Dus in = 2015

2 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 2 van 12 d. y = t e. Harrie > Jan 500 1,06 t > t Eerst oplossen 500 1,06 t = t (1) Y1 = 500 1,06 t en Y2 = t (2) Intersect (3) X= 21,97 = 22 jaar (rente krijg je pas aan het einde) Dus in = 2025 EXTRA: procentuele toename = (nieuw oud) / oud x 100%

3 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 3 van 12 Les 2 : Groeifactor berekenen Een bacterie groeit met 12 % per dag. Bereken de groeifactor per a. 2 dagen b. week c. halve dag d. uur = /100 = 1,12 Groeifactor per dag 1,12 a. g 1,12 2 g 2 1,12 1, % per 2 dagen b. g 1,12 7 g 7 1,12 2, % per week 1 2 g c.,12 g 1,12 1, % per dag d. g 1,12 g 1,12 1, % per uur Voorbeeld 2 Een andere bacterie verdubbelt in 10 jaar. Bereken het groeipercentage per jaar. Oplossing 2 Je kunt dit op twee manieren berekenen : (1) Met de formule Neem als beginhoeveelheid bijvoorbeeld 100. Dit geeft : 100 g 10 = 200 g 10 = 2 g = = 1,072 7,2% (2) Groeifactor per jaar = achterste / voorste g 10 jaar = 2 g jaar = = 1,072 Dus 7,2%

4 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 4 van 12 Paragraaf 12.2 Groeiformules Les 1 : Exponentiële Formule bepalen Een hoeveelheid neemt exponentieel af. Op t = 3 is N = 505 en op t = 8 is N =150. Stel de formule op van N. Je kunt een stappenplan gebruiken : (1) Formule N = b g t (2) Groeifactor berekenen (3) Beginwaarde b berekenen door een punt in te vullen (4) Formule opschrijven (1) Formule N = b g t (2) Groeifactor uitrekenen Neem als beginhoeveelheid 505 en gebruik de tabel en de formule N = b g t : 150 = 505 g 5 g 5 = 150/505 t 3 8 g (150/505) 1/5 = 0,784 N Of (methode boek) g 5 jaar = 150/505 g 1jaar = (150/505) 1/5 = 0,784 (3) beginwaarde uitrekenen Je weet N = b 0,784 t. Punt (3,505) invullen 505 = b 0,784 3 b = 505 / 0,784 3 = 1048 (4) Formule : N = ,784 t.

5 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 5 van 12 Les 2 : Verzadigingsniveau bepalen Definitie Verzadigingsniveau = { y-waarde waar de formule op termijn naar toe gaat } Verzadigingsniveau berekenen t heel groot maken (t = ) Beredeneer het verzadigingsniveau en de praktische betekenis van a. De hoeveelheid medicijn (M) in het bloed gedraagt zich volgens de formule M = ,2 t b. Het aantal bacteriën (B) groeit volgens de formule B = 180 c. Beredeneer of de formule van B stijgend of dalend is ,4 t a. t heel groot 3 0,2 t ,2 t 1 Dus het verzadigingsniveau is 1 (gram) Dit betekent dat er altijd 1 gram medicijn in het bloed blijft!!! b. t heel groot 3 0,4 t ,2 t 6 Het aantal bacteriën (B) gaat op lange termijn naar ,4t = 6 = 30 c. t 0,4 t 3 0,4 t ,4 t Dus een stijgende functie ,4 t Opmerking Je kunt c al beredeneren omdat op t = 0 er B = ,4 0 = = 20 beestjes zijn en het verzadigingsniveau is 30 (dus stijgend).

6 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 6 van 12 Paragraaf 12.3 : Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Hulp regel : g log g t = t { Als de g gelijk is de macht de uitkomst } Bereken uit je hoofd a. 3 log 9 = b. 3 log 27 = c. 2 log ½ = d. 3 log 5 = a. 3 log 9 = 3 log 3 2 = 2 b. 3 log 27 = 3 log 27 ½ = 3 log (3 3 ) ½ = 3 log 3 1½ = 1 ½ c. 2 log ½ = 2 log 2-1 = -1 d. Dit kan niet dus : x = 3 log 5. { = (log 5) / (log 3) = 1,46 of met de knop Logbase } Opmerking 6 Als je op de GR y = log (2x + 1) wil intikken, moet dit als volgt doen : Y1 = log(2x + 1) / log(6)

7 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 7 van 12 Paragraaf 12.4 Werken met logaritmen Les 1 : Logaritmisch papier Definities Op logaritmisch papier is : de macht lineair (iedere keer + 1) wordt in een stapje alles 10 keer zo groot de formule y = b g t (exponentiële) een rechte lijn!!!! Aflezen A,B,C,D,E en F op blz. 35 log papier.

8 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 8 van 12 Les 2 : Rekenregels Logaritmen Definitie : Rekenregels Logaritmen (1) g log a + g log b = g log ab (2) g log a g log b = g log (a/b) (3) g log a k = k g log a (4) g log a = (log a) / (log g) (5) g log (1) = 0 (6) g log g t = t (7) log a = 10 log a Toon algebraïsch aan met de rekenregels dat a. 3 log log 12 = 3 log 72 b. 2 log 8 2 = 6 c. 3 log 36-3 log 12 = 1 a. 3 log log 12 = 3 log (6 12) = 3 log 72 b. 2 log 8 2 = 2 2 log 8 =2 2 log 2 3 = 2 3 = 6 c. 3 log 36-3 log 12 = 3 log 36 : 12 = 3 log 3 = 1 Voorbeeld 2 Gegeven is de formule N(x) = log (x). Bereken wat er gebeurt met de waarde van N als : a. De waarde van x verdubbelt. b. De waarde van x halveert. Oplossing 2 a. N(2x) = log(2x) = [ log(2) + log(x) ] = log(2) + log(x) N(2x) = 3 + 1,81 + log (x) De waarde van N neemt dan altijd met 1,81 toe. b. N ( 1 2 x) = log (1 2 x) = [ log (1 2 ) + log(x) ] = log (1 2 ) + log(x) N(2x) = 3 1,81 + log (x) De waarde van N neemt dan altijd met 1,81 af.

9 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 9 van 12 Paragraaf 12.5 Groeisnelheid Les 1 : Het getal e We kijken naar een paar afgeleiden : Voorbeelden (1) f(x) = 2,5 x f (x) = 0,916 2,5 x (2) f(x) = 3 x f (x) = 1,099 3 x (3) f(x) = 2,718.. x = e x f (x) = 1 e x = e x Dus er geldt : f(x) = e x f (x) = e x Definitie Differentiëren van e-machten Hoofdregel voor e-machten f(x) = e x f (x) = e x Opmerkingen Ook bij e-machten kun je de productregel, quotiëntregel of kettingregel nodig hebben!!! Omdat e een getal is (en wel = 2,718 ) is e 2 = 7,389.. ook een getal en dus alle machten zijn getallen Herleid a. e + e = b. 3e e 2 = c. e 3x / e x = a. 2e b. 16e 2 c. e 2x

10 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 10 van 12 Voorbeeld 2 Differentieer a. f(x) = 5e x b. f(x) = 4xe x c. f(x) = 5e 10-2x d. f(x) = 3e 2 Differentieer a. f (x) = 5e x b. f(x) = 4x e x + 4 e x { PRODUCTREGEL } c. f(x) = 5e 10-2x -2 { KETTINGREGEL } d. f(x) = 0 { e 2 = 7,389 IS EEN GETAL }

11 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 11 van 12 Les 2 : De Natuurlijke Logaritme { ln(x) } Los de volgende vergelijkingen exact op. Denk aan de regel : g t = b g log(b) = t. a. e x = 10 b. e 2x+5 = 18 a. e x = 10 x = e log(10) b. e 2x+5 = 18 2x+5 = e log(18) 2x = e log(18) 5 x = ½ e log(18) 2 ½ Definities Omdat e log(x) heel vaak voorkomt is er een extra naam bedacht voor deze formule en dat is ln(x) Dus : e log(x) = ln(x) Omdat geldt dat g log(g x ) = x geldt ook dat : e log(e x ) = ln(e x ) = x Er geldt dus ook : ln(e 3 ) = 3 en ln(e) = ln(e 1 ) = 1 Omdat ln(x) een logaritme is gelden alle logaritme regels!!! Voorbeeld 2 Herleid tot één geheel a. ln(e 2 ) = b. ln( e) = c. ln(3) + ln(13) = d. ln 2 (e) + 2 = Oplossing 2 a. ln(e 2 ) = e log (e 2 ) = 2 b. ln( e) = ln(e ½ ) = ½ c. ln(3) + ln(13) = ln(3 13) = ln(39) d. ln 2 (e) + 2 = ( ln(e) ) = = 3

12 Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 12 van 12 Les 3 : Differentiëren van de Natuurlijke Logaritme ln(x) Definitie differentiëren van ln(x) Hoofdregel : f(x) = ln(x) f (x) = 1 x g Hulpregel : f(x) = log ( x) f (x) = 1 x ln(g) Differentieer a. f(x) = 3xln(x) b. f(x) = ln (x 2 + 5x) c. f(x) = ln 3 (x) 3 d. f(x) = log ( 6x + 7) Differentieer a. f (x) = 3x ln(x) = 3xln(x) + 3 x x b. f (x) = 1 (2x+5) (2x + 5) = x 2 +5x x 2 +5x c. f (x) = 3 ln 2 (x) 1 x d. f 1 (x) = 6 (6x+7)ln(3) { KETTINGREGEL MET u = ln(x) }