Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Transcriptie

1 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule meestal u) () dy = y omschrijven tot y d = dy d () Vul in de integraal de y en dy in en integreer deze formule. Voorbeeld 5 a. ( ) d 9 b. d 5 c. cos ( )sin( ) d Oplossing a. Substitutiemethode toepassen : () y = + () dy = dus dy = d d () 6 ( ) d ( ) d ( y) dy 6 y 6 ( ) = b. Substitutiemethode toepassen : () y = 5 () dy d = dus dy = d dus dy = 9 9 () d 5 dy [ y]=[6 y] = [6 5] y

2 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 c. Substitutiemethode toepassen : () y = cos() () dy = sin() dus dy = -sin() d d () cos ( )sin( ) d cos ( ) sin( ) d y dy [ y ] = [ cos ()] =

3 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Partieel Integreren Stappenplan voor Partieel Integreren : () Noem de ene formule f (deze wil je integreren) en de andere g (deze wil je differentiëren) () Vul deze in bij f gd = [f g] f g d () Probeer de laatste te integreren en als dat niet lukt herhaal dan stap en voor de laatste integraal. Voorbeeld a. ln( ) d b. e d c. cos( ) e d Oplossing a. Je wil ln() graag differentiëren dus g = ln() en f =. Dit geeft : g = ln() g = f = f =. Nu de regel toepassen ln( ) d ln( ) d ln( ) d ln( ) ln( ) 4 4 b. Je wil graag differentiëren dus g = dus f = e. Dit geeft g = g = f = e f = e. Dus e d e e d e e e e 4 4

4 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 4 van 8 c. Partieel Integreren toepassen. Er is nu geen echte voorkeur. We kiezen daarom (willekeurig) g = cos() dus f = e. Dit geeft g = cos() g = sin () f = e f = e. Dus () cos( ) e d cos( ) sin( ) e d cos( ) sin( ) e d Je bent niks opgeschoten (lijkt het). Je gaat nu nog een keer Partieel Integreren met g = sin () g = cos () f = e f = e. Dus () sin( ) e d sin( ) cos( ) e Je hebt nu weer dezelfde integraal. Je gaat nu () en () te combineren d () cos( ) e d cos( ) sin( ) e d cos( ) sin( ) (4) Stel Q = cos( ) e d. Dit geeft cos( ) e d Q Q Q cos( ) sin( ) cos( ) e sin( ) e cos( ) e sin( ) e Q

5 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 5 van 8 Paragraaf K. : Cyclometrische Functies Definities () arctan () = tan - () met Domein = R en Bereik = < - ½π, ½π > () arcsin () = sin - () met Domein = [-,] en Bereik = [ - ½π, ½π ] () arccos () = cos - () met Domein = [-,] en Bereik = [ 0, π ] Voorbeeld Bereken a. arcsin ( ) = b. arctan( ) = c. arccos( + ) = π Oplossing a. sin() = ½ dus = /6 π v = 5/6 π b. tan() = - dus =- ¼ π c. cos( /π ) = + dus + = ½ = -¼ Differentiëren van cyclometrische functies () f() = arctan() dan is f () = () f() = arcsin() dan is f () = + () f() = arccos() dan is f () =

6 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 6 van 8 Voorbeeld a. 9 d 5 b. d 8 7 Oplossing 9 () a. d d arctan( ) ( 4) b. d 5 5arctan( 4) d

7 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 7 van 8 Paragraaf K.4 : Breuksplitsen Definitie De functie f() = p+q a +b+c van de waarde van D = b 4ac. Er geldt kun je op een aantal manieren integreren. Dit hangt af () ls D < 0 Iets met arctan() () ls D = 0 Substitutiemethode (Iets met ln(a + b + c) ) () ls D > 0 Breuksplitsen : p+q a +b+c = + B Voorbeeld : Breuksplitsen 5 d Oplossing. Omdat D > 0 en omdat + = ( + )( ) kun je deze integraal schrijven als : = + + B. Nu gaan we de laatste vorm als één breuk schrijven. Dit geeft + + B = ( ) B( + ) + B + B + = ( + )( ) ( )( + ) +. Deze laatste vorm moet gelijk zijn aan +5. Dit betekent dat + + B = en - + B = 5 Optellen geeft B = 8 dus B = 8 Dus = - 8 = 4. Nu kunnen we de integraal bepalen : d = + + d = ln( + ) + 8 ln ( )

8 Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 8 van 8 Voorbeeld : Door elkaar a. + b. d d 5 Oplossing a. Omdat D = 0 moeten we de substitutiemethode gebruiken : () y = () dy = ( 4)d dus dy = ( )d () De ln-vorm eruit halen geeft : d = d = d + d = y dy + ( ) d = [ln(y) + ( ) ) ] = [ln( 4 + 4) + ] b. Omdat D > 0 en omdat 5 = ( + )( 5) kun je deze integraal schrijven als :. 8 = + B Nu gaan we de laatste vorm als één breuk schrijven. Dit geeft + B = + 5 ( 5) (+)( 5) + B(+) = +B 5+B ( 5)(+) 5. Deze laatste vorm moet gelijk zijn aan Dit betekent dat + B = 0 en -5 + B = Omdat = -B krijg je -5B B = 8 geeft B = -. Dus = 4. Nu kunnen we de integraal bepalen : 8 5 d = + + d = [ln( + ) ln( 5)] 5