4051CALC1Y Calculus 1

Transcriptie

1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september

2 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI Slides op 2

3 Studiemateriaal Dictaat Complexe getallen (zie blackboard.leidenuniv.nl) Calculus, Early Transcendentals, 7 de editie (Edwards & Penney) 3

4 Werkvormen 8 uren colstructie per week 8 uren werkcollege per week 4

5 Toetsen 5

6 Programma Vanochtend Partieel differentiëren (12.4) Complexe getallen (C.1) Vanmiddag Complexe getallen (C.1 & C.2) 6

7 Differentiëren 7

8 Differentiëren Notatie afgeleide f x, df, f dx x 8

9 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = 9

10 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = 10

11 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = ax ln (a). Als f x = log a x, dan f x = 1 x ln a. 11

12 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = ax ln (a). Als f x = log a x, dan f x = 1 x ln a. Als f x = sin (x), dan f x = cos (x). Als f x = cos (x), dan f x = sin (x). 12

13 Regels differentiëren Somregel Als f x = g x + h x, dan f x = g x + h x. Productregel Als f x = g x h x, dan f = g x x h x + h x g x. 13

14 Regels differentiëren Kettingregel Als f x = g h(x), dan f x = Quotiëntregel g h. h(x) x Als f x = g(x) g f, dan = h x h x x g(x). h(x) x h x 2 14

15 Partieel differentiëren Definitie De partiële afgeleiden (naar x en y) van de functie f x, y zijn de volgende twee functies: f x x, y = f x f y x, y = f y 15

16 Afgeleide bepalen Bereken f x x, y = f door y als een constante te zien en de x afgeleide naar x te nemen. Bereken f y x, y = f y afgeleide naar y te nemen. door x als een constante te zien en de 16

17 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 17

18 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y 18

21 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 21

24 Partieel differentiëren Oefening Gegeven: f x, y = x 2 e y2. Bepaal f x x, y en f y x, y. 24

25 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 25

26 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 26

27 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 27

28 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 28

29 Meer dan twee variabelen De partiële afgeleiden van de functie f x 1,, x n zijn de volgende functies: f x1 x 1,, x n = f x 1 f x2 x 1,, x n = f x 2 f xn x 1,, x n = f x n 29

30 Hogere partiële afgeleiden Tweede orde partiële afgeleiden f x x = f xx = f x x = x f x = 2 f x 2 30

31 Hogere partiële afgeleiden Tweede orde partiële afgeleiden f x x = f xx = f x x = x f xy = 2 f y x f yx = 2 f x y f yy = 2 f y 2 f x = 2 f x 2 31

32 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 32

33 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y 33

34 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y 34

35 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 35

36 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 36

37 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f x x, y = 2x 4y f xx x, y = 2 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yy x, y = 6 37

38 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f x x, y = 2x 4y f xx x, y = 2 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yy x, y = 6 38

39 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening Gegeven: f x, y = x 2 e y2. Bepaal f xy x, y, f xx (x, y), f yx (x, y) en f yy (x, y). 39

40 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 40

41 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 41

42 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 42

43 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 43

44 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 44

45 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f x x, y = 2xe y2 f xx x, y = 2e y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 45

46 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f x x, y = 2xe y2 f xx x, y = 2e y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 f yy x, y = 2x 2 e y2 + 4x 2 y 2 e y2 46

47 Opgaven maken Hoofdstuk 12.4 Opgaven: 1, 2, 3, 8, 9, 12, 15 47

48 Complexe getallen Wie weet waar N, Z, Q en R voor staan? 48

49 Complexe getallen N: verzameling natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, ) Z: verzameling gehele getallen (, -2, -1, 0, 1, 2, ) Q: verzameling rationele getallen a b : a, b Z, b 0 R: verzameling reële getallen (bijv. π, 2) 49

50 Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi waarbij a en b reële getallen zijn en i een nieuw (niet reëel) getal met i 2 = 1. 50

51 Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi a is het reële deel van het complexe getal z: a = Re z b is het imaginaire deel van het complexe getal z: b = Im z 51

52 Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi a is het reële deel van het complexe getal z: a = Re z b is het imaginaire deel van het complexe getal z: b = Im z C is de verzameling complexe getallen. 52

53 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i 53

54 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i Re z = 8 Im z = 4 54

58 Optellen complexe getallen a + bi + c + di 58

59 Optellen complexe getallen a + bi + c + di = a + bi + c + di 59

60 Optellen complexe getallen a + bi + c + di a + bi + c + di = a + bi + c + di = a + c + bi + di 60

61 Optellen complexe getallen a + bi + c + di a + bi + c + di a + bi + c + di = a + bi + c + di = a + c + bi + di = a + c + b + d i 61

62 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di 62

63 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi 63

64 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 64

65 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 a + bi c + di = ac + ad + bc i bd 65

66 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 a + bi c + di = ac + ad + bc i bd a + bi c + di = (ac bd) + ad + bc i 66

67 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i 67

68 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 68

76 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 In het algemeen geldt: a + bi a bi = a 2 + b 2 76

77 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i 77

78 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i = i 4 + 3i 4 3i 4 3i = i 4 3i = 28 21i + 96i 72i2 25 = i 25 = 4 + 3i 78

83 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i 83

84 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i = 8 4i + 24i 12i2 20 = i 20 = 1 + i 84

89 Geometrische weergave Complexe vlak i i 89

90 Modulus complex getal Definitie De modulus van een complex getal is de afstand van dat getal tot de oorsprong. z = a 2 + b

91 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. 91

92 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. Voorbeeld 4 + 3i = = 25 = i 2 = 25 92

96 Geometrische weergave Complexe vlak bi = i z sin φ z = a + bi φ a = z cos φ 96

97 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. 97

98 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld i

99 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld i

100 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld π 2 3i π

101 Modulus en argument Opmerking De getallen r en φ worden ook de poolcoördinaten van het punt a, b genoemd. Een punt is hierbij volledig vastgelegd door zijn afstand r tot de oorsprong en de hoek φ die zijn plaatsvector met de positieve x-as maakt. 101

102 Opgaven maken Hoofdstuk C.1 Opgaven: 1, 2, 3, 4, 5 102