Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Transcriptie

1 Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de zin nuttig om vast gezien te hebben. Deze laatste categorie wordt in de cursus ook nog wel behandeld. Verder geldt natuurlijk dat alle voorkennis voor het deel Speciale Relativiteitstheorie ook hier weer van toepassing is. Inhoudsopgave 1 Tbv Les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Punt notatie voor afgeleiden Cosinus regel Ketting- en productregel Integraal rekening Definitie ellips Lineaire differentiaal vergelijking Sinus van een kleine hoek Totale differentialen Extreem korte notatie Einstein sommatie conventie Tbv Les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming 6 3 Tbv Les 5 en 6: De lege ruimte en Tests Pool coördinaten 3-dimensionaal Differentiaal vergelijking Goniometrische verbanden Tbv Les 7 en 8: Zwarte gaten en Veldvergelijkingen 8 1

2 1 Tbv Les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten 1.1 Punt notatie voor afgeleiden Vaak noteren we afgeleiden met een punt (de flux notatie, afkomstig van Newton): u := d u dt ü := d2 u dt 2 We doen dit met name als t de tijd voorstelt. De productregel wordt nu mooi beknopt: 1.2 Cosinus regel d (uv) = uv + u v (1) dt Dit is een generalisatie van de stelling van Pythagoras: als de hoek nu niet recht is maar ψ en a en b zijn de zijden die aan de hoek grenzen dan geldt: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ψ Voor ψ = 1 π heb je Pythagoras weer terug, want dan is cos ψ = 0. Als je 2 deze regel vergeten bent kun je hem terugvinden door een loodlijn neer te laten vanuit één van beide hoeken anders dan de hoek ψ. Dit behandelen we nog even kort op de cursus 1.3 Ketting- en productregel Collier en Als x en ϕ functies van t zijn dan geldt bijvoorbeeld (afgeleide van cos is sin): d (x cos ϕ) = ẋ cos ϕ x sin ϕ ϕ dt Hier zijn de productregel en de kettingregel beide toegepast. Ander voorbeeld (uit de slides) r = 1 u ṙ = u u 2 2

3 Hier is het feit dat d ( 1 ) = 1 gecombineerd met de kettingregel. Verder du u u 2 dan ook: r = ü u + 2 u2 2 u 3 waarbij ook nog de productregel (of zo u wilt de quotient regel) is toegepast. Stel nu ook nog eens (als een laatste voorbeeld uit dezelfde slide) dat u een functie is van ϕ (en we schrijven de afgeleide als u ) en ϕ op zijn beurt een functie van t dan hebben we: 1.4 Integraal rekening u = u ϕ Collier Met name ook partieel integreren (Integration by parts, Collier ): u vdt = uv v udt (2) Dit is natuurlijk gebaseerd op de productregel (1). Als u een functie van t is dan du = udt. We kunnen daarom (2) ook heel beknopt als volgt schrijven: udv = uv vdu 1.5 Definitie ellips Een ellips wordt gevormd door alle punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gekozen punten, de brandpunten, een vaste waarde heeft. Het kan geen kwaad om vast even naar (wiskunde) te kijken. Ook in verband met de het perihelium van Mercurius (les 3). Dit behandelen we nog wel op de cursus 1.6 Lineaire differentiaal vergelijking Stel u is een functie van ϕ en stel we hebben de differentiaalvergelijking: u + u = 0 (3) 3

4 Als we ons herinneren dat twee keer differentiëren van de cos-functie (of de sin-functie) dezelfde functie, maar dan met een minteken oplevert dan hebben we op zijn minst al één oplossing van deze vergelijking, namelijk u(ϕ) = cos ϕ. Immers dan u = sin ϕ en u = cos ϕ. Verder is (3) een zogenaamde lineaire differentiaalvergelijking. Dat wil zeggen: als u en v een oplossingen zijn, dan is Au + Bv ook een oplossing (ga dit na). We kunnen ons nu afvragen of oplossingen kunnen vinden van: u + u = C (4) met C een constante. Het idee is dat als we maar één oplossing van (4) kunnen vinden dan hebben we er meteen een heleboel. Elke oplossing van (3) mogen we daar namelijk bij optellen. Welnu, het vinden van één oplossing van (4) is niet zo moeilijk: u = C, een constante functie, voldoet! Dat betekent dat heel veel oplossingen (zelfs alle) van (4) kunnen worden geschreven als: u = C + B cos(ϕ 0 + ϕ) Dit behandelen we nog wel op de cursus 1.7 Sinus van een kleine hoek Als we in radialen (Collier 1.7.2) werken dan is de sinus van een kleine hoek bijna gelijk aan die hoek: 1.8 Totale differentialen Zie Collier Dit zijn uitdrukkingen als: sin ɛ ɛ als 0 < ɛ 1 df = f f dx + x y dy 4

5 1.9 Extreem korte notatie Eerst een opmerking vooraf. Waar we vroeger coördinaten, als we ze met indexen aangaven, dit vaak met beneden indexen (x 1, x 2,... ) deden, in de ART gebeurt dit met bovenindexen: x 0, x 1, x 2, x 3, waarbij x 0 dan de tijd is. We hadden al afgekort tot x x. Op het moment dat x een variabele is met indexen (zoals x 0, x 1, etc), dan krijgen we dus iets als: x τ f Dit gaan we zelfs nog verder afkorten: f,τ := x τ f en dit is dus: x f = f τ x τ Wen er maar vast aan want dit gaat heel vaak voorkomen. Dit benoemen we nog wel expliciet op de cursus 1.10 Einstein sommatie conventie Ook hier kunt u niet vroeg genoeg aan wennen, want dit komt bijna op elke slide terug. Voorbeelden: g µν ẋ µ ẋ ν := 3 µ=0 ν=0 3 g µν ẋ µ ẋ ν = g 00 ẋ 0 ẋ 0 + g 01 ẋ 0 ẋ 1 + g 02 ẋ 0 ẋ 2 + g 03 ẋ 0 ẋ 3 Formule (5) geeft (in één voorbeeld) de definitie. + g 10 ẋ 1 ẋ 0 + g 11 ẋ 1 ẋ 1 + g 12 ẋ 1 ẋ 2 + g 13 ẋ 1 ẋ 3 + g 20 ẋ 2 ẋ 0 + g 21 ẋ 2 ẋ 1 + g 22 ẋ 2 ẋ 2 + g 23 ẋ 2 ẋ 3 + g 30 ẋ 3 ẋ 0 + g 31 ẋ 3 ẋ 1 + g 32 ẋ 3 ẋ 2 + g 33 ẋ 3 ẋ 3 (5) 2g µτ ẍ µ = g µν,τ ẋ µ ẋ ν 2g µτ,σ ẋ σ ẋ µ (6) Formule (6) geeft een mooi (real life!) voorbeeld waaraan we de regels kunnen zien: 1. In een term mag een index twee keer voorkomen. Er dient dan gesommeerd te worden over die index. Dit heet een dummy index; 5

6 2. Bij zo n dummy-index moet er één als bovenindex voorkomen en de ander als onderindex; 3. Andere indexen (de zogenaamde vrije indexen) mogen in een term slechts één keer voorkomen; 4. De vrije indexen moeten in alle termen hetzelfde zijn. In het geval van een vergelijking zowel voor als achter het gelijkteken. Dit behandelen we nog wel op de cursus Zie ook Collier Bij Collier is regel 2 hierboven nog niet van kracht. Het kan geen kwaad om opgave 1.24 vast te maken (komt soieso als huiswerk). Als extra vraag dan het volgende: Hoe moet de uitdrukking, indien correct volgens 1,3 en 4, geschreven worden, zodat die ook aan punt 2 hierboven voldoet?. Ook hiervoor geldt dat u hier maar vroeg aan moet wennen. Zo n 40% van de slides bevat formules waarin dit wordt toegepast. 2 Tbv Les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Voor deze les valt niets meer iets te noemen op het gebied van benodigde voorkennis (behalve al datgene dat reeds is genoemd). In deze les wordt juist een nieuw stuk wiskunde gepresenteerd: differentiaal meetkunde en het daarbij behorende absolute differentiëren. 3 Tbv Les 5 en 6: De lege ruimte en Tests 3.1 Pool coördinaten 3-dimensionaal Oftewel sferische coördinaten. Zie hiervoor Collier Differentiaal vergelijking Probeer eens een oplossing te bedenken voor de volgende differentiaal vergelijking: xf + f = C 6

7 waar f een functie van s is en C een constante. Hint1: probeer eerst eens xf + f = 0 op te lossen en bedenk dat dit een lineaire vergelijking is (zie ook paragraaf 1.6). Hint2: Het is vaak een kwestie van gokken. Een gok als f(x) = x n pakt hier verassend goed uit. 3.3 Goniometrische verbanden Collier maakt zich er bij de tests (lichtafbuiging en verschuiving van het perihelium van Mercurius) een beetje vanaf met It can be shown that.... Wij zijn toch wel iets ambitieuzer, niet? Wat we dan nodig hebben zijn een aantal goniometrische verbanden, zoals een uitdrukking voor sin(α + β). Deze verbanden zijn het makkelijkst opnieuw af te leiden (voor het onvermijdelijke geval dat u ze weer even vergeten bent) via compexe getallen. We weten namelijk dat: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ waar i = 1 We gaan nu e i(α+β) op twee manieren schrijven/berekenen: maar ook: e i(α+β) = cos(α + β) + i sin(α + β) (7) e i(α+β) = e iα e iβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β) (8) Door nu de rechterleden van (7) en (8) te vergelijken ontdekken we: en cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β (9) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (10) Voor wie niet van compexe getallen houdt (en dit is ook geen voorkennis voor deze cursus!) kan het ook met matrix vermenigvuldiging. Als namelijk bekend is dat ( ) cos(ϕ) sin(ϕ) M ϕ = (11) sin(ϕ) cos(ϕ) 7

8 een rotatie over een hoek ϕ voorstelt, dan weten we dat: M α+β = M α M β (12) Door nu de matrix vermenigvuldiging van het rechterlid van (12) daadwerkelijk uit te voeren vinden we de formules (9) en (10) ook weer terug. Een consequentie van (9) is ook: Iets dat we ook nodig zullen hebben. cos 2ϕ = cos 2 ϕ sin 2 ϕ = 2 cos 2 ϕ 1 (13) 4 Tbv Les 7 en 8: Zwarte gaten en Veldvergelijkingen Voor deze les, waarin we het hoogtepunt van de cursus gaan bereiken, is geen extra voorkennis meer nodig. 8