Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
|
|
- Esther Mertens
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van Taylor Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: f(x) = f(0) + x f (0) + 1! x f (0) + 1 3! x3 f (0) +... Met de kortere notatie (voor het gemak om dit allemaal te typen én om te lezen!) schrijven we vaak: f x d f(x = 0) dx en de stelling ziet er dan zo uit: f(x) = f + x f x + 1! x f xx + 1 3! x3 f xxx +... Het argument van de functies aan de rechterkant is dan steeds x = 0; als je rond een ander punt wilt Taylor-en, bv. x = a geldt dezelfde formule maar dan door x, x,... te vervangen door x a, (x a),...: f(x) = f + (x a) f x + 1! (x a) f xx + 1 3! (x a)3 f xxx +... met nu de afspraak dat f x d f(x = a) dx Stelling van Taylor in meer dimensies Voor functies in één variabele is er nog niet zo n groot verschil, voor de stelling voor functies met méér variabelen is het bijna noodzakelijk om stelling van Taylor leesbaar te houden. In n variabelen ziet de stelling er dan zo uit: tot en met de tweede orde h(x 1, x,...) = h + x 1 h x1 + x h x x n h xn + 1 (x 1 h x1x 1 + x h xx x n h xnx n ) +x 1 x h x1x + x 1 x 3 h x1x x n 1 x n h xn 1x n +... en de... bevat alle producten van het volgend type x 3 1, x 1x, x 1 x x 3. Ach, onthouden van die formule is niet nodig, zolang je maar weet dat hij bestaat en dat hij soms nuttig is. Op een tentamen bij mij hoef je alleen de lineaire termen te kennen (als je een hogere orde nodig hebt krijg je die erbij). Voor nu: zie appendix van dit stuk, en zorg dat je dat altijd terug kunt vinden! Los met behulp van de appendix de volgende opgave op. a Opgave: Gegeven een functie in drie variabelen x, y, z. Bepaal c 1, c in de Taylorreeks: f(x, y, z) = f + xf x c 1 xyz f xyz c x z f xxzz... 1
2 3 Optimalisatie Het onderzoeken van een functie op maxima en minima is in natuurkunde en techniek zeer relevant. Als je wilt weten wat de beste oplossing is voor een bepaald probleem moet je allereerst definiëren wat je met het beste bedoelt. Als je dat kunt vertalen in termen van wiskundige termen (de goedkoopste is degene die de minste euros kost, de snelste is degene die het minste tijd kost, etc.). Als eenmaal deze definitie bekend is gaan we de beste zoeken: ofwel we gaan het minimum of maximum van die functie proberen te vinden). In dit verhaal gaan we er vanuit dat we optima (ofwel maxima of minima) zoeken waarbij de variabelen allemaal elke waarde mogen aannemen, m.a.w. we nemen aan dat de variabelen niet beperkt zijn tot een eindig interval. Dat wil niet zeggen dat we andere problemen dan deze niet zouden kunnen oplossen, integendeel. Ook nemen we aan dat de functie voldoende differentieerbaar is. Voor een functie in é en variabele is het antwoord relatief eenvoudig: de noodzakelijke voorwaarde is f (x) = 0 (1) Met andere woorden: de functie moet in een optimum een afgeleide nul hebben. b Opgave: Is de voorwaarde ook voldoende? Met andere woorden is een punt met (1) ook altijd een maximum of een minimum? Motiveer je antwoord. (In dit geval zou je of aannemelijk moeten maken dat het zo is OF je moet een tegenvoorbeeld geven). c Opgave: Hoe bepaal je of het een minimum of maximum is? 4 Optimalisatie voor functies in meer variabelen In meer dimensies zijn de kritieke punten gelijk aan de punten waar alle partiële vergelijkingen nul zijn. We beperken ons uitsluitend tot twee dimensies. Ook zullen we geen problemen op eindige delen van de R bekijken; dat is niet erg moeilijk maar het vertroebelt wat ik wil duidelijk maken. Dus een punt (x, y) is een kritiek punt van f(x, y) indien alle partiële afgeleiden nul zijn: f(x, y) = 0, x f(x, y) = 0 y De aard van het kritieke punt wordt bepaald door de eigenwaarden van de tweede-afgeleide-matrix: [ ] J = f xx f yx f xy f yy Voorbeeld: f = 1 (x y ). Er geldt J = [ ] zodat de eigenwaardes ±1 zijn: zadel. Voorbeeld: f = xy. Er geldt [ ]
3 en de eigenwaarden volgen uit: λ 1 1 λ = λ 1 = 0 λ = ±1 dus een zadel. Kunnen we dit op een andere manier inzien? Het aard van een punt (maximum, minimum, zadel), hangt natuurlijk niet af van hoe we ons assenkruis kiezen: een functie ziet er natuurlijk hetzelfde uit als we het assenkruis bv. draaien. Een draaiing over π/4 ziet er uit als x = 1 (s + t), y = 1 (s t). () We kiezen dus een s en een t-as die samenvallen met de lijnen x = y en x = y. d Opdracht: Bereken de inverse van de transformatie (), d.w.z wat zijn s, t als functie van x, y? Wat wordt de functie f = xy in de nieuwe variabelen s, t? e Opdracht: Bepaal van f(x, y) = x 3 + y 3(x + y) + 1 f Opdracht: Bepaal van f(x, y) = x + y + 3xy 3y 5x + 15 Bepaal van f(x, y) = x 3 15x 0y Laat zien dat f(x, y) = x + y x + y + 6 een maximum heeft in (x, y) = (, 1) en een minimum in (x, y) = (, 1) 17 Bepaal a, b zodanig dat de integraal minimaal is. π 0 ( sin x (ax + bx) ) dx NB. Hier bepaal je dus een curve van de vorm ax + bx die in zekere zin het dichtst bij de sin ligt (immers, zou die deze integraal nul, dan zou de curve gelijk zijn aan sin) 18 Vind de kritieke punten van en classificeer ze. f(x, y) = 1xy 3xy x 3 3
4 5 Optimalisatie met constraints We willen voor later gemak de stelling van Taylor gebruiken. f(x) = f(0) + xf x (0) + 1 x f xx (0) +... (3) Stel dat het punt x = 0 een maximum is (voor een minimum gaat het verhaal analoog). Als we de functie f(x) iets naar links van x = 0 kijken, d.w.z. x is iets kleiner dan 0 en dus x is klein negatief dan mag f x (0) niet negatief zijn; anders zou de functie f(x) groter zijn dan f(0) en dat kan niet want f(0) was een maximum hadden we aangenomen. Omgekeerd kunnen we kijken naar x net groter dan 0. Dan komen we tot de omgekeerde conclusie dat f x (0) niet positief mag zijn. De twee resultaten samenvattend: f x (0) mag niet negatief noch positief zijn. Dus f x (0) = 0 is de enige oplossing. Een lang verhaal voor zo n eenvoudig resultaat. Toch zal het later handig blijken. In vergelijking (3) hadden de hogere ordere termen (x en hoger) geen invloed op het resultaat: de constante en lineaire termen waren allesbepalend. Wiskundigen schrijven het zo: df = f(x) f(0) = f x dx (4) In woorden: de verandering in f, die we df noemen, is gelijk aan een getal (gelijk aan f x ) maal de verandering in x die we dx noemen. Als het punt x = 0 een maximum of minimum is én omdat dx willekeurig is, geldt dat f x (0) = 0. Hoe schrijven we Taylor van een functie in n variabelen, x 1,..., x n? df = f x1 dx 1 + f x dx f xn dx n Als we nu een optimaal punt willen hebben moeten we eisen dat f x1 = f x =... = f xn = 0. Immers we kunnen de dx 1,..., dx n willekeurig variëren. Het verhaal verandert als we optimalisatie met randcondities bekijken. Dit is een probleem dat in de praktijk veel vaker voorkomt. Bijvoorbeeld we willen de snelste formule 1 bouwen maar we hebben maar een budget van 1 miljoen euro. 19 Opgave: Bekijk het volgende probleem. f(x, y) = x + y, g(x, y) = x y 1 Bepaal minimum, maximum van de functie f(x, y) onder de voorwaarde dat g(x, y) = x y 1 = 0. Laat zien dat x, y = 1, 1 een minimum is. Doe het als volgt: a Los op: x als een functie van y uit g(x, y) = x y 1 = 0, b Vul dit antwood in in f waardoor f een functie van alleen y wordt, c Vind nu voor de functie f(y) de kritieke punten (dus die y-waarden waarvoor f (y) = 0). d Als je y gevonden hebt (kunnen er ook meer zijn) kun je uit deel a de waarde voor x vinden. 4
5 Een zwak punt is natuurlijk stap a: wat moet je doen als g(x, y) = 0 niet op te lossen is? Lagrange is weer zo n gigant uit de wiskunde. Over een paar jaar kunnen we zijn 00-jarige sterfdag vieren. Lagrange ging als volgt te werk. Bekijk eerst de verandering in f: df = f x1 dx 1 + f x dx f xn dx n (5) We hebben een voorwaarde op de punten die mee mogen in de strijd om het optimum, want g = 0 moet gelden. In feite betekent dat we naar variaties dx 1,..., dx n moeten kijken die consistent zijn met g = 0. Stel nu dat het punt (0, 0,..., 0) een minimum is van een bepaalde functie f, dus (5) geldt, maar ook dat g(0, 0,..., 0) = 0. Hoe verandert g als we variaties dx 1,..., dx n bekijken? dg = g x1 dx 1 + g x dx g xn dx n (6) Omdat per aanname een oplossing van het probleem vind een maximum of minimum van f onder voorwaarde g = 0 krijgen we: onder díe veranderingen dx 1,..., dx n waarvoor geldt dat dg = 0 moet ook df = 0 gelden; met andere wooorden: f x1 dx 1 + f x dx f xn dx n = 0, g x1 dx 1 + g x dx g xn dx n = 0 Als we deze vergelijking goed aankijken zien we dat de vectoren beide loodrecht staan op [ f x1, f x,..., f xn ], [ g x1, g x,..., g xn ] [ dx 1, dx,..., dx n ] Deze vector is volledig willekeurig; daarom kunnen we laten zien dat er maar één oplossing is, namelijk dat de beide vectoren in elkaars verlengde moeten liggen: [ f x1, f x,..., f xn ] = λ[ g x1, g x,..., g xn ] (7) g Opgave: Hoeveel vergelijkingen met hoeveel onbekenden zie je in vergelijking (7)? De waarde voor λ is nog onbekend. Deze parameter wordt de Lagrange multiplier genoemd ( de vermenigvuldigfactor van Lagrange ). Deze naam komt wellicht raar over. Lagrange bedacht de volgende truc: bekijk 1 L(x 1,..., x n, λ) = f(x 1,..., x n ) λg(x 1,..., x n ) Wat zijn de kritieke punten van L? Deze functie hangt van n+1 variabelen af, namelijk x 1,..., x n en λ. Dus f(x 1,..., x n ) = λ x 1 f(x 1,..., x n ) x 1 f(x 1,..., x n ) = λ f(x 1,..., x n ) x x. x n f(x 1,..., x n ) = λ x n f(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) = 0 1 Dat λ de vermenigvuldigfactor van Lagrange wordt genoemd zie je hier: λ wordt vemenigvuldigd met de constraintvoorwaarde g 5
6 De eerste n van deze vergelijkingen zijn precies de vergelijkingen in (7); de laatste is verkregen door L(x 1,..., x n, λ) te differentiëren naar λ wordt precies de constraintvergelijking. Bekijk het oude probleem: We maken eerst en differentiëren naar x, y, λ geeft f(x, y) = x + y, g(x, y) = x y 1 L = x + y λ(x y 1) x λ = 0 y + λ = 0 x y 1 = 0 hetgeen drie lineare vergelijkingen met drie onbekenden zijn. De oplossing is gegeven door x, y, λ = 1, 1, 1; natuurlijk hetzelfde antwoord als tevoren. 0 Opgave: De oppervlakte van een driehoek met zijden van lengte a, b, c wordt gegeven door A = s(s a)(s b)(s c), waarin s = (a + b + c)/ de halve omtrek is Wat is de vorm van de driehoek die maximaal is in oppervlakte bij gegeven omtrek a+b+c = 1? Als we meerdere constraints hebben moeten we meer Lagrange multipliers gebruken, voor elke constraint 1. 1 Opgave: Laat zien dat de kritieke punten van de functie { f(x, y, z) = x + y + z g 1 (x, y, z) = x + y z = 0 zdd g (x, y, z) = yz + zx xy 1 = 0 worden gegeven door 0 = x + λ 1 + λ (z y) 0 = y + λ 1 + λ (z x) 0 = z λ 1 + λ (y + x) 0 = x + y z 0 = yz + zx xy 1 Dit zijn geen lineaire vergelijkingen dit keer. Daarom kan het lastig worden om ze op te lossen. Daarom de hint: Tel vergelijking en 3 op en laat zien dat of y + z = 0 en/of λ =. Werk beide mogelijkheden uit. (Er zijn in totaal 4 oplossingen.) Opgave: We willen een rechthoekige doos zonder deksel maken, waar zoveel mogelijk in past, d.w.z. met een zo n groot mogelijk volume. Van het materiaal waarvan de doos is gemaakt hebben we maar in oppervlakte 1 dm. Wat is het volume van die grootst mogelijke doos? 6
7 Appendix Taylors stelling in detail: f(x, y) = f + x f x + y f y + 1 ( x f xx + xy f xy + y ) f yy! + 1 ( x3 f xxx + 3x y f xxy + 3xy f xyy + y 3 ) f yyy ! Structuur is volledig bepaalt als je volgende truc onthoudt: (x + y) 1 = x + y (x + y) = x + xy + y (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 De truc geldt ook voor alle orde maar ook voor méér variabelen! 7
8 Antwoorden a Gegeven een functie in drie variabelen x, y, z. Bepaal c 1, c in de Taylorreeks: f(x, y, z) = f + xf x c 1 xyz f xyz c x z f xxzz... Antwoord: De grootheid en (x + y + z) 3 = xyz +..., dus c 1 = 6 3! = 1 (x + y + z) 4 = x z +..., dus c = 6 4! = 1 4 b Is de voorwaarde ook voldoende? Met andere woorden is een punt met (1) ook altijd een maximum of een minimum? Motiveer je antwoord. (In dit geval zou je of aannemelijk moeten maken dat het zo is OF je moet een tegenvoorbeeld geven). Antwoord: De functie f(x) = x 3 heeft de eigenschap dat f (0) = 0 maar dat is geen minimum of maximum. c Hoe bepaal je of het een minimum of maximum is? Antwoord: De tweede afgeleide moet in dat punt positief, resp. negatief zijn. d Bereken de inverse van de transformatie (), d.w.z wat zijn s, t als functie van x, y? Wat wordt de functie f = xy in de nieuwe variabelen s, t? Antwoord: Optellen levert: x + y = s, x y = t s = 1 (x + y), t = 1 (x y) We hebben de in () zo gekozen dat de inverse transformatie er hetzelfde uit ziet: de transformatie is een draaiing over 45 graden. Zie ook WCopgaven week 7. xy = 1 (s t) 1 (s + t) = 1 (s t ) dus een zadel. e Bepaal van f(x, y) = x 3 + y 3(x + y) + 1 Antwoord: Kritiek: f x = f y = 0: 3x 3 = 0, y 3 = 0 ( 1, 3 ) en ( 1, 3 ) J = [ f xx f yx f xy f yy ] = [ 6x 0 0 ] Eigenwaarden zijn 6, voor ( 1, 3 ) en 6, voor ( 1, 3 ) ; het eerste punt is dus minimum, het tweede een zadel f Bepaal van f(x, y) = x + y + 3xy 3y 5x + Antwoord: Kritiek als f x = f y = 0: 4x + 3y 5 = 0 x 1 = 0 x = 1, y = 3 3x + y 3 = 0 3 8
9 dus alleen ( 1, 3). De aard van de punten volgt uit [ ] [ ] f xx f xy 4 3 J = = 3 Dus een zadel! f yx f yy 4 λ 3 3 λ = (4 λ)( λ) 9 = 0 λ = 3 ± 10 g Hoeveel vergelijkingen met hoeveel onbekenden zie je in vergelijking (7)? Antwoord: n vergelijkingen (er staat zowel links als rechts een vector ter lengte n) met n + 1 onbekenden (x i, i = 1,..., n en λ). 9
3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieExtrema van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 005 Les 3 Extrema van functies van meerdere variabelen Bij gewone functies van één variabel hebben we in Wiskunde 1 de vraag behandeld hoe we minima en maxima van
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieMinima en maxima van functies
Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie
Nadere informatieDe Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)
De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college
Nadere informatiex a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieHints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door
Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 24 oktober 22, 3.45 6.45 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b
Nadere informatie1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.
Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieBeoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006
Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 006 Opgave 1 a. 5 pt y 1 f x v t ; D y 1, t, v ^ D y 1, x, True y g x v t ; D y, t, v ^ D y, x, True Gewoon invullen in de golfvergelijking. Je moet dus weten
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Nadere informatieWiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008
Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieUit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675
Hoe een genie dacht. Van Leibniz zijn een groot aantal wiskundige handschriften bewaard. Leibniz deed wiskunde met de pen in zijn hand, en schreef al zijn gedachten direct op. Daardoor kunnen we zien hoe
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieDifferentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.
Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze
Nadere informatieUitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Machten en differentiëren
Uitwerkingen bij _0 Voorkennis: Machten en differentiëren 3(x ) 6 3 6 (x ) 6 6-3 x 3 5 x - 6 43 x 6 x 3x 4 3 x 4 x 6 " $% & ' " $% & (& &( & ' " $% &( &&(& ' ) * '*, *-, *-, *-,, - VWO B deel 3 Analyse_
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatiecollege 2: partiële integratie
39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieRekenen met letters deel 2
Rekenen met letters deel 2 Sectie wiskunde RGO RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 1 Herhaling 2 1 Herhaling 3a (a + 2b) 4b 3a ( 3a 3b) 3b 2a (a 2b) + 3a 2a + 3b ( 2a + 3b) a + (a 2b) 4b b (4a 2b) a
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieKorte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B
Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieOplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin
Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieA = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?
Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Nadere informatieAntwoordenboekje. Willem van Ravenstein
Antwoordenboekje Willem van Ravenstein 2006-2007 versie 2 herzien in 2010 1 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 2 Vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken... 3 Breuken en haakjes... 4 Machten en wortels...
Nadere informatieNotatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen.
13.0 Voorkennis Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen. Op het interval [-2; -0,94) is de grafiek dalend; Bij x =
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2012
Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is
Nadere informatieAfdeling Kwantitatieve Economie
Afdeling Kwantitatieve Economie Wiskunde AEO V Uitwerking tentamen 1 november 2005 1. De tekenschema s in opgave 1a 1e zijn de voortekens van vermenigvuldigers en de laatste leidende hoofdminoren in een
Nadere informatieTopologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatie