Functies van één veranderlijke

Transcriptie

1 Functies van één veranderlijke Docent : Anton Stoorvogel [email protected] 1/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 Functies van één veranderlijke Als je alleen deelneemt aan dit vak en niet aan de andere onderdelen van deze module, dan bij mij afmelden voor de andere vakken. Onderwijs Hoorcollege Zelfstudie / Computer ondersteund onderwijs Werkcollege Practicum 2/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 Functies van één veranderlijke Tentamen 4 deeltoetsen 1 herkansing geen formuleblad geen rekenmachine 3/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Kwalitatieve modellen Kwantitatieve modellen 4/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 Heart simulations 5/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 Human vertebrae, studying osteoporosis 6/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 100 ECG signal (100 Hz) /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 50 ECG signal (100 Hz) /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 Getallenverzamelingen N D f1; 2; 3; : : :g natuurlijke getallen Z D f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g gehele getallen Q D f t n j t 2 Z; n 2 N g R C rationale getallen reële getallen complexe getallen 9/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 Verzamelingen f2; 4; 6; 8g D f2; 6; 4; 8g maar.2; 4; 6; 8/.2; 6; 4; 8/ 10/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Doorsnede en vereniging f2; 4; 6; 8g \ f1; 3; 6; 9g D f6g f2; 4; 6; 8g [ f1; 3; 6; 9g D f1; 2; 3; 4; 6; 8; 9g 11/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 Deelverzameling en element We hebben: f2; 4; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g en Let op: f1; 2; 3; 4; 5; 6g f2; 4; 6g f3g f3; 6; 9g en 3 2 f3; 6; 9g 12/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 x 2 Œ0; 4, x > 0 en x 6 4 x 2.0; 4, x > 0 en x 6 4 x 2.0; 4/, x > 0 en x < 4 13/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 Ongelijkheden a < b ) a C c < b C c a < b en c > 0 ) ac < bc a < b ) a > b a < b en a > 0 ) a 2 < b 2 14/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 xy < zy 6) x < z x 2 < y 2 6) x < y 15/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 Los op: p 3x 8 < x 2 16/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 Los op: p 3x 8 < x 2 We krijgen als x > 8 3 : 3x 8 <.x 2/ 2 en x 2 7x C 12 > 0.x 4/.x 3/ > 0.x > 4 en x > 3/ of.x < 3 en x < 4/ x > 4 of x < 3 Dus: x > 4 of x ; 3 17/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 Los op: x.x C 3/ > x.2x 1/ 18/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 x.x C 3/ > x.2x 1/ Als x > 0: x C 3 > 2x 1 x < 4 Als x < 0: x C 3 < 2x 1 x > 4 Dus: x 2.0; 4/ 19/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 Los op: x 2 x 1 > 3 20/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 Als x > 1: x 2 x 1 > 3 x 2 > 3x 3 2x < 1 Als x < 1: x 2 < 3x 3 2x > 1 Conclusie: x ; 1/ 21/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 Los op: j2x 1j > 3 22/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 j2x 1j > 3 Als 2x > 1: 2x 1 > 3 x > 2 Als 2x < 1: 2x C 1 > 3 2x < 2 Conclusie: x > 2 of x < 1 23/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 We analyseren in dit vak functies f.x/ D y; x 2 A A wordt het domein van de functie genoemd. Het bereik van de functie wordt gedefinieerd door: B D fy 2 R j9x 2 A zodanig dat f.x/ D y g 24/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 Voorbeelden f.x/ D p x 2 5x C 6 8 < 1 x x 6 1 f.x/ D : x 2 x > 1 25/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 Even functie: f.x/ D f. x/ f.x/ D cos.x/ Oneven functie: f.x/ D f. x/ f.x/ D sin.x/ 26/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 Stijgende functie: f.x 1 / > f.x 2 / als x 1 > x 2. f.x/ D 3x C 1 Dalende functie: f.x 1 / < f.x 2 / als x 1 > x 2. f.x/ D 1 x ; x > 0 27/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

28 Samengestelde functie f; g functies, a een constante.f Cg/.x/ D f.x/cg.x/;.af /.x/ D af.x/; f g.x/ D f.x/ g.x/ Voorbeeld tan.x/ D sin.x/ cos.x/ 28/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

29 Samengestelde functie.f ı g/.x/ D f.g.x// Voorbeeld f.x/ D x C 2 ; g.x/ D 2x C 1 2x C 1 29/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

30 We hebben: met y D g.x/ D 2x C 1. Dus:.f ı g/.x/ f.y/ D y C 2 2y C 1.f ı g/.x/ D.2x C 1/ C 2 2.2x C 1/ C 1.f ı g/.x/ D 2x C 3 4x C 3 30/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

31 Exponentiële functie f.x/ D a x x > 0 geheeltallig: a x D a a a x > 0 rationaal: a x D a p=q D qp a p x < 0 rationaal: a x D 1 a x Hoe doen we dit voor x irrationaal? Speciaal geval: a D e. 31/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

32 Machten D D 25 3 D 2 2 3p 5 D 5 1= D 3 2C3 D /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

33 Logaritme f.x/ D log x; g.x/ D ln x Voor x > 0 hebben we: 10 log x D x e ln x D x log.10 x / D x log.xy/ D log x C log y log.x a / D a log x ln.e x / D x ln.xy/ D ln x C ln y ln.x a / D a ln x 33/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

34 Rekenvaardigheden Effecten van: Grafische rekenmachine Formuleblad Weinig oefenen 34/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

35 Functies van één veranderlijke ( ) Zelfstudie 3 september 35/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

36 Bereken zonder gebruik te maken van een rekenmachine maar met behulp van pen en papier: /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

37 Schrijf, zonder rekenmachine, als een enkele breuk en vereenvoudig zoveel mogelijk: C C C C C C /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

38 C /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

39 =2 1=4 1=3 1=7 3=11 3=7 2=5 5=2 3 1=4 5=2 1=4 39/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

40 28. 6=2 3=4 40/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI