Voorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van uw parate kennis en uw beheersing van enkele basisvaardigheden van de wiskunde op het huidige moment. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan. De toets bestaat uit 22 meerkeuzevragen. Bij iedere vraag is één van de vier mogelijkheden goed. De tijdsduur van de toets is één uur.. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke? = 40 b = 6 c. 2. De uitdrukking 3 a 5 a is gelijk aan = 5 d. = 5 a b. 8 a c. 3. Welk van de volgende getallen is het grootst? 8 a 2 d. 5 a 8 2 b. 3 4 c. 4. De uitdrukking a 2 a + a 2 + a 4 a 4 a 2 b. is gelijk aan 2 a 2 a 2 4 c. 4 8 d a 2 4 a 2 d. 4 a a 2 4 zie volgende pagina

2 5. De uitdrukking ( 7 ) 2 ( + 7 ) 2 is gelijk aan 0 b c. 4 d Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie f(x) = x 3 8 x x? 3 b. 2 c. d De uitdrukking ln( e e ) ln( e) is gelijk aan e b. 2 c. 3 2 d Als 3 ln(y) = x 3 + ln(8), dan is y gelijk aan 2 e x b. 8 e 3 x3 c. 9. Als f(x) = x 2 en g(x) = + x, dan is f(g(x)) gelijk aan 8 3 e 3 x3 d. 2 e 3 x3 + x 2 b. ( + x) 2 c. x 2 ( + x) d. x 2 + ( + x) 0. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen: () ln(x 2 ) = 4, (2) (ln(x)) 2 = 4 Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op: () ln(x 2 ) = 4 2 ln(x) = 4 ln(x) = 2 x = e 2 (2) (ln(x)) 2 = 4 ln(x) = 2 x = e 2 Welke uitspraak is waar? Alleen oplossing () is volledig c. Beide oplossingen zijn volledig b. Alleen oplossing (2) is volledig d. Geen van beide oplossingen is volledig.. De uitdrukking ln(e 5 e 3 ) is gelijk aan 2 b. 5 3 c. 3 + ln(e 2 ) d. 3 ln(e 2 ) zie volgende pagina

3 2. Gegeven is de functie f(x) = x 2 0 log(x). Het domein van de functie f bestaat uit die x waarvoor geldt 0 < x c. x b. 0 < x < d. x én x 0 3. De uitdrukking 7 49 log(3) is gelijk aan 7 log(9) b. 3 c. 7 log( 3) d Los de vergelijking 2 x + = x op. De vergelijking heeft één oplossing x. Er geldt dat x >. c. één oplossing x. Er geldt dat 0 < x <. b. geen oplossingen d. twee oplossingen 5. Als h(x) = f(g(x)), dan is h (x) gelijk aan f (g(x)) x c. f (g(x)) + f(g (x)) b. f (g(x)) g (x) d. f (g(x)) g(x) + f(g (x)) g (x) 6. Als y = 3 x 3 + 8, dan kun je dy dx schrijven als 3 x x b. 3 x 2 (x 3 + 8) 2 c. d. 3 3 (x 3 + 8) 2 7. Voor k > 0 is 3k k dx te herleiden tot x ln(3) b. ln(2 k) c. k log(3 k) d. 8. De integraal 2 ( ) 3 dx is gelijk aan x 8 9 k 2 4 ln4 (2) b. ln(8) c. 5 6 d. 3 8 zie volgende pagina

4 9. Gegeven is de functie f(x) = sin(a x) + cos(a x) met a 0. De maximale waarde van deze functie is c. 2 b. 2 d. een waarde afhankelijk van 20. De functie f(x) = cos 2 ( 2 x) sin2 ( 2 x) heeft periode 2 π c. periode π b. periode π 2 d. een horizontale lijn als grafiek 2. De afgeleide van f(x) = (cos(x) + sin(x)) 2 is 0 c. 2 sin 2 (x) 2 cos 2 (x) b. 2 cos 2 (x) 2 sin 2 (x) d. 2 sin(x) cos(x) 22. Een primitieve van f(x) = cos(x) sin(x) is gelijk aan b. 2 cos2 (x) c. sin 2 (x) + cos 2 (x) 2 sin2 (x) d. 4 cos2 (x) sin 2 (x) einde toets

5 Handreiking bij de voorbeeldtoets De antwoorden van de voorbeeldtoets staan achterin. Uitwerkingen van de opgaven kun je vinden op de blackboard site van de TU, onder courses, code wi000, opfristraject. Je kunt nu zelf zien wat je vlot beheerst en waar misschien nog (of weer?) wat gebreken zitten. Hierna volgt bij elke opgave een commentaar en geven we tips voor oefenmateriaal. Je kunt dat gebruiken door bij die onderdelen waar je moeite mee had de achterliggende theorie nog eens door te kijken en oefenopgaven te maken. Van een paar regels vermelden we dat het handig is die uit je hoofd te kennen. Het voor de hand liggende advies is natuurlijk om indien nodig daar snel wat aan te doen. Exponenten (opgaven, 2, 3 en 7) Verderop in deze Hand Out zit een hoofdstuk met de titel Review of Algebr Onder het kopje Exponents staan de definities en de regels voor het rekenen met exponenten samengevat. Als je met deze opgaven moeilijkheden hebt, lees dat stukje dan nog eens door en oefen met een aantal opgaven uit de nummers uit de Review (antwoorden staan op de laatste pagina s). Breuken en haakjes (opgaven, 4, 5 en 9) In deze opgaven gaat het om het optellen, aftrekken en vereenvoudigen van breuken. Daarbij komen ook zaken als het wegwerken van haakjes en het ontbinden in factoren aan de orde. Onder de kopjes Fractions en Factoring worden deze zaken in de Review samengevat. Lees dat zonodig door, en oefen met opgaven uit de series 7-28 en In deze opgaven gaat het om een tweedegraads en ook hogeregraads vergelijkingen. Tweedegraads vergelijkingen kom je heel veel tegen; die moet je echt vlot kunnen oplossen (zie ook de opgaven 6-68 uit de Review. In de Review vind je ook de abc-formule uitgelegd.) Ongelijkheden loste je misschien meestal met de GR op. Het is wel handig als je heel eenvoudige ongelijkheden ook zonder dat hulpmiddel kunt oplossen, bijvoorbeeld met een tekenoverzicht of een simpel schetsje. In Appendix A van het boek van Stewart vind je onder Inequalities het een en ander over ongelijkheden, met bij opgaven 3-38 heel wat oefenmateriaal. In de test vragen we nauwelijks over absolute waarde. Als je niet meer weet wat dat is, lees dan nog eens het stukje uit dezelfde appendix onder Absolute Value door. Voor derdegraads vergelijkingen bestaat ook een algemene oplosmethode, maar die hoef je niet te kennen. Wel word je geacht zoiets simpels als de x buiten haakjes halen zelf te zien. Wortels (opgave 2, 3, 5, 7, 2, 4) Wat in het Nederlands wortels genoemd wordt, heet in het Engels Radicals (radix is Latijn voor wortel). In de Review staat ook een kopje Radicals, en daaronder vind je de theorie over het werken met wortels. Opgaven vind je aan het eind, bijvoorbeeld e-machten en logaritmen (opgaven 7, 8, 0, en 3) Deze opgaven draaien om eigenschappen van exponenten, e-machten en logaritmen. Elementaire eigenschappen van exponenten vind je in de Review samengevat onder Exponents. Definities en eigenschappen van expontiële en logaritmische functies vind je in Stewart in de paragrafen.5 en.6 onder de kopjes logarithmic functions en natural logarithms. Heb je hier moeite mee, lees dan vooral de theorie nog eens goed door. Geschikte opgaven zijn uit.6 de nummers 35-4 en Voorbeelden en opgaven hierover kun je ook vinden in de Review onder Exponents. Oefen eventueel met opgaven uit de series

6 Differentiëren (opgaven 5, 6 en 2) Bij deze differentieeropgaven gaat het om een paar dingen. We gaan er toch wel van uit, dat je een paar standaardafgeleides uit je hoofd kent: van x n, ook met n negatief of gebroken, exp x, ln(x), sin(x), cos(x), tan(x). Verder verwachten we dat je de rekenregels voor som, verschil, produkt en quotiënt kent. En tot slot duikt nu eenmaal vaak de kettingregel op, ook die moet je kennen, anders blijf je voortdurend hinderlijke fouten maken. De theorie van de afgeleides vind je in de paragrafen 2.7, 2.8 en 2.9 van Stewart. De rekenregels staan in 3., 3.2 en 3.4. Een collectie oefenopgaven waarin alle regeltjes gecombineerd worden vind je in 3.5 bij de nummers Over het opstellen van een vergelijking van de raaklijn aan een grafiek in een punt vind je meer in Stewart, paragraaf 2.8, voorbeeld 2 (raaklijn is tangent line in het Engels) en in opgaven 7-0 van 2.8. Integreren (opgaven 7, 8 en 22) In de analysecursus komen wat verdergaande technieken van integreren uitgebreid aan bod. Hier gaat het om eenvoudige functies die direct met de basisregels geprimitiveerd kunnen worden. Ook hier geldt dat we er wel van uit kunnen gaan dat je een aantal standaardfuncties (x n, exp x, sin(x), cos(x)) en de meest eenvoudige samenstellingen daarvan uit het hoofd kunt primitiveren. Oefenmateriaal met heel elementaire integralen is te vinden in Stewart, paragraaf 5.4, bijvoorbeeld de opgaven 5 tot en met 9, 7 t/m 22 en 25 t/m 28. Goniometrie (opgaven 9, 20, 2 en 22) Bij goniometrie wordt nogal veel gebruik gemaakt van formules, goniometrische identiteiten genaamd, waarmee de ene uitdrukking wordt overgevoerd in een andere. Het formuleblad van school geeft er een groot aantal van, en wij verlangen niet dat je die allemaal uit je hoofd kent. Een aantal komt echter zo vaak voor, dat het bijna geen doen is als je die iedere keer moet opzoeken. Het gaat dan met name over de regels voor sin( x), cos( x) en tan( x), en sin( π 2 x) en cos( π 2 x). Deze regels en ook wat er gebeurt als je bij het argument van de sinus en de cosinus π optelt of ervan aftrekt, zijn bovendien makkelijk te bedenken als je even de grafiek van de betreffende functie schetst, of aan de manier denkt waarop ze in de eenheidscirkel zijn gedefinieerd. De dubbele- hoekformules sin(2x) en cos(2x) zijn minder simpel te bedenken, maar worden ook erg vaak toegepast. We adviseren ze gewoon maar uit het hoofd te leren - voor zover je dat nog niet gedaan had. De definities en de vele eigenschappen van goniometrische functies en hun grafieken vind je in Appendix D van Stewart. Het heeft hierbij niet zoveel zin nog weer sommetjes te gaan maken. Wel is het heel nuttig om met behulp van de eenheidscirkel en/of grafiek eenvoudige identiteiten na te gaan. En we raden je dringend aan de standaardwaarden van de sinus en cosinus voor 0, π 6, π 4, π 3 en π 2 gewoon paraat te hebben. Die kom je eindeloos veel tegen.

7 Aanvullend materiaal Een belangrijke bron van uitleg en oefenmateriaal is verder het Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch, (320 bladzijden, ISBN , verkoopprijs e 29,95). Stukken uit dat boek zijn ook te vinden op de site craats/. Verderop vind je per opgave een verwijzing naar oefenopgaven uit dat boek. Studenten van de faculteiten EWI en TN krijgen het boek aan het begin van het jaar uitgereikt. Een Engelstalig boek dat goed te gebruiken is, is Foundation Maths van Anthony Croft en Robert Davison, (52 bladzijden, ISBN ). Studenten LR krijgen dit boek aan het begin van het jaar uitgereikt. Tot slot is er ook oefenmateriaal te vinden in de Toetsbank Analyse. Die vind je op de Blackboard site van de TU, onder courses, nummer Verwijzingen naar het Basisboek Wiskunde Per opgave staat hieronder waar relevante oefenopgaven te vinden zijn in het Basisboek Wiskunde van J. van de Craats en R. Bosch. opgave bladzijde 2, 4, 20, , , t.m , , , , 74, , , , , 40,

8 Antwoorden Voorbeeldtoets c 2 b 2 d 3 b 3 d 4 c 4 a 5 b 5 d 6 b 6 b 7 a 7 c 8 d 8 d 9 c 9 b 20 a 0 d 2 b c 22 b