Inleiding Wiskundige Systeemtheorie

Transcriptie

1 Inleiding Wiskundige Systeemtheorie Docent : Anton Stoorvogel A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 x.k C 1/ D Ax.k/ C Bu.k/; y.k/ D Cx.k/ C Du.k/ We krijgen: x.k; x 0 ; u/ D A k x 0 C kx 1 j D0 A k 1 j Bu.j / 2/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 De regelbaarheidsmatrix R van het paar.a; B/ is gedefinieerd als: R D B AB A 2 B A n 1 B 3/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Het systeem is regelbaar dan en slechts dan als de regelbaarheidsmatrix R volle rijrang heeft. 4/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 Bereikbare deelruimte im R D f x 1 2 R n j x 1.k; 0; u/ voor zekere u en k g 5/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 Voor elk systeem is er een toestandstransformatie z D S 1 x zodanig dat in de nieuwe coördinaten geldt: z r.k C 1/ z nr.k C 1/ met.a 11 ; B 1 / regelbaar. D A 11 A 12 0 A 22 z r.k/ z nr.k/ C B 1 0 u 6/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 Hautus test Het systeem is regelbaar dan en slechts dan als si A B volle rijrang heeft voor alle s 2 C. 7/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 Een systeem wordt gegeven door: x.k C 1/ D x.k/ C u.k/ (i) Toon aan dat dit systeem niet regelbaar is. (ii) Welke vectoren spannen de regelbare ruimte op? (iii) Bepaal een inverteerbare matrix T zodanig dat z D T 1 x voldoet aan een model van de vorm: z.k C 1/ D A 11 A 12 z.k/ C B 1 0 A 22 met.a 11 ; B 1 / regelbaar. 0 u.k/ 8/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 Hautus test Het systeem is regelbaar dan en slechts dan als si A B volle rijrang heeft voor alle s 2 C. 9/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 Regelbaarheid Beschouw het systeem: Tx D Ax C Bu; x.t 0 / D x 0 y D Cx C Du Het systeem.a; B; C; D/ wordt regelbaar genoemd als voor alle x 0 ; x 1 2 R n er een t 1 > 0 en een u bestaat zodanig dat x.t 1 / D x 1. 10/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Nul-regelbaarheid Het systeem.a; B; C; D/ wordt nul-regelbaar genoemd als voor alle x 0 2 R n er t 1 > t 0 en u bestaan zodanig dat x.t 1 / D 0. Bereikbaarheid Het systeem.a; B; C; D/ wordt bereikbaar genoemd als gegeven x.t 0 / D 0 voor alle x 1 2 R n er t 1 > t 0 en u bestaan zodanig dat x.t 1 / D x 1. 11/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 Tx D Ax C Bu; x.t 0 / D x 0 y D Cx C Du Regelbaarheid hangt niet af van de matrices C en D. R D B AB A 2 B A n 1 B speelt een belangrijke rol. 12/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 R heeft volle rijrang dan en slechts dan als: impliceert dat q D 0. q T R D 0 R heeft volle rijrang dan en slechts dan als: q T e At B D 0 voor alle t > 0 impliceert dat q D 0. 13/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 Gegeven een willekeurige t > 0. R heeft volle rijrang dan en slechts dan als de matrix: L D Z t 0 e A BB T e A T d inverteerbaar is. De ingang: u./ D B T e A.t / T L 1 x 1 stuurt het systeem van beginconditie x.0/ D 0 naar x.t/ D x 1 voor alle x 1 2 R n. 14/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 Stelling De volgende beweringen zijn equivalent: (i) Het systeem.a; B; C; D/ is regelbaar, (ii) Het systeem.a; B; C; D/ is bestuurbaar, (iii) Het systeem.a; B; C; D/ is nul-regelbaar, 15/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 Stelling De volgende beweringen zijn equivalent: (i) Het systeem.a; B; C; D/ is regelbaar, (ii) R heeft rang n, (iii) im R D R n. 16/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 im R D fx 1 2 R n j er bestaat t 1 > t 0 en u 2 U zodanig dat x 1 D x.t 1 ; 0; u/ g Definitie Een lineaire deelruimte V 2 R n wordt A-invariant genoemd als AV V. Stelling im R is de kleinste deelruimte van R n zodanig dat im B im R, im R is A-invariant. 17/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 Stelling Het paar.a; B/ is niet regelbaar als er een vector q 0 bestaat zodanig dat q T A D q T ; q T B D 0 18/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 Stelling Het paar.a; B/ is regelbaar dan en slechts dan als rank si A B D n voor alle complexe s 19/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 Als.A; B/ niet regelbaar is, dan bestaat er een inverteerbare matrix S zodanig dat S 1 AS D A 11 A 12 0 A 22 S 1 B D B 1 0 S is gerelateerd aan een basis transformatie z D S 1 x. 20/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 Waarneembaarheid Bekijk het systeem: Tx D Ax C Bu; y D Cx C Du Het systeem.a; B; C; D/ wordt waarneembaar genoemd als er een t 1 > t 0 bestaat zodanig dat y.t; x 0 ; u/ D y.t; x 1 ; u/ voor alle t 2 Œt 0 ; t 1 impliceert dat x 0 D x 1. 21/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 Waarneembaarheids matrix C W D CA : CA n 1 Lemma Als W x D 0 dan geldt CA k x D 0 voor alle k > 0 22/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 Stelling De volgende beweringen zijn equivalent: (i) Het systeem.a; B; C; D/ is waarneembaar, (ii) W heeft rang n, (iii) ker W D f0g. 23/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 Stelling.A; B/ is regelbaar dan en slechts dan als.a T ; B T / waarneembaar is..a; C / is waarneembaar dan en slechts dan als.a T ; C T / regelbaar is. 24/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 ker W D fx 1 2 R n j voor alle u 2 U geldt y.t; 0; u/ D y.t; x 1 ; u/ voor alle t > 0 g Stelling ker W is de grootste lineaire deelruimte van R n zodanig dat ker W ker C, ker W is A-invariant. 25/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 Stelling Het paar.a; C / is niet waarneembaar als er een vector q 0 bestaat zodanig dat: Aq D q; C q D 0 26/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 Stelling Het paar.a; C / is waarneembaar dan en slecht dan als C rank si D n voor alle complexe s A 27/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

28 Als.A; C / niet waarneembaar is dan bestaat er een inverteerbare matrix S zodanig dat S 1 AS D A 11 0 A 22 A 21 CS D C 1 0 S is gerelateerd aan een basis transformatie z D S 1 x. 28/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI