Lineaire Algebra voor ST
|
|
- Lotte van Veen
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 35
2 Inhoud Lineaire (on)afhankelijkheid 2 Basis en dimensie 3 Homogene stelsels J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35
3 Lineaire onafhankelijkheid Definitie De vectoren v, v 2,..., v k in een vectorruimte V heten lineair afhankelijk als er constanten a, a 2,..., a k R bestaan, niet alle gelijk aan nul, zodat a v + a 2 v a k v k = Zoniet, dan heten v, v 2,..., v k lineair onafhankelijk. NB: dus S = {v, v 2,..., v k } is lineair onafhankelijk als alleen de triviale oplossing heeft: a v + a 2 v a k v k = a = a 2 = = a k =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35
4 Voorbeeld De vectoren v = 2, v 2 = 2, en v 3 = zijn lineair onafhankelijk, want leidt tot het stelsel a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 2 2 wat als enige oplossing heeft: a =, a 2 =, a 3 =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 4 / 35
5 Voorbeeld De vectoren v = 2 zijn lineair onafhankelijk, want uit, en v 2 = 2 volgt: a v + a 2 v 2 = 2 2 a =, a 2 =. Dus: een deelverzameling van een onafhankelijke verzameling is weer onafhankelijk. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 5 / 35
6 a =, a 2 =, a 3 = 2 (inderdaad v v 2 + 2v 3 = ) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 6 / 35 Voorbeeld De vectoren v = 2 3, v 2 = 5 6, en v 3 = 3 2 zijn lineair afhankelijk, want a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = leidt tot het stelsel , 3 wat als algemene oplossing heeft a = 2 t, a 2 = 2 t, a 3 = t, t R en dus niet-triviale oplossingen heeft, bijvoorbeeld (t=2):
7 Voorbeeld De vectoren v = 2 3, v 2 = zijn lineair afhankelijk, want 5 6, v 3 = 3 2 v v 2 + 2v 3 + v 4 =., en v 4 = Dus: als je een lineair afhankelijke verzameling uitbreidt krijg je weer een lineair afhankelijke verzameling , 3 Er blijft minstens één vrije variabele (kolom zonder spil). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 7 / 35
8 Stelling De niet-nul vectoren v, v 2,..., v k in een vectorruimte V zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als minstens één van de vectoren, zeg v j, een lineaire combinatie is van de voorafgaande vectoren: v j = a v + a 2 v a j v j Voorbeeld Als v en v 2 afhankelijk zijn, geldt met (bijv.) a 2, dus a v + a 2 v 2 = v 2 = a a 2 v Twee vectoren zijn lineair afhankelijk als de één een veelvoud is van de ander. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 8 / 35
9 Voorbeeld De vectoren v = 2 3, v 2 = 5 6, v 3 = 3 2 en v 4 = zijn lineair afhankelijk, want a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 = heeft een niet-triviale oplossing: a =, a 2 =, a 3 = 2, a 4 =, dus v v 2 + 2v 3 = Hieruit volgt dat v 3 een lineaire combinatie is van v en v 2 : NB: er volgt ook v 3 = 2 v + 2 v 2 v = v 2 + 2v 3, v 2 = v + 2v 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 9 / 35
10 NB: als v j is een lineaire combinatie is van de overige vectoren in S = {v, v 2,..., v k } dan is S lineair afhankelijk en span S = span {v, v 2,..., v j, v j+,..., v k } Voorbeeld De vectoren (polynomen) in P 2 v = t, v 2 = 5 + 3t 2t 2, en v 3 = + 3t t 2 zijn lineair afhankelijk, want v 2 = 3v + 2v 3 en dus 3v v 2 + 2v 3 = Omdat v 2 in het opspansel zit van v en v 3 geldt dat span {v, v 2, v 3 } = span {v, v 3 } J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 35
11 Basis Definitie Als V een vectorruimte is en S = v, v 2,..., v k een verzameling vectoren in V vormen, dan heet S een basis voor V als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan. S spant V op S is lineair onafhankelijk. Voorbeeld De vectoren i =, j =, en k = vormen een basis van R 3, de zogenaamde natuurlijke basis of standaardbasis voor R 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 35
12 De standaardbasis voor R n is {e, e 2,..., e n } met e i de n-vector met een in de i-de rij en verder nullen. Dus {e, e 2, e 3 } = {i, j, k} De standaardbasis voor P n is {t n, t n,..., t, }. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35
13 Voorbeeld v = 2, v 2 = 2, v 3 =, en v 4 = spannen R 3 op, want het stelsel met uitgebreide matrix a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3 3 is consistent (heeft zelfs voor elke a, b, c oneindig veel oplossingen). Dus elke v V is (op meerdere manieren) een lineaire combinatie van v, v 2, v 3, v 4. NB: de kolommen van een m n matrix spannen de R m op elk van de m rijen heeft na vegen een spil.. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35
14 Voorbeeld De vectoren v = 2 zijn lineair onafhankelijk, want uit, en v 2 = 2 volgt: a v + a 2 v 2 = 2 2 a =, a 2 =. NB: de kolommen van een matrix zijn lineair onafhankelijk elke kolom heeft na vegen een spil (er zijn geen vrije variabelen). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 4 / 35
15 Voorbeeld De vectoren vormen een basis van R 3, want het stelsel heeft alleen de triviale oplossing en het stelsel a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3, 2 heeft een oplossing voor elke a, b, c R., J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 5 / 35
16 Voorbeeld Anders gezegd: De kolommen van 2 2 vormen een basis van R 3 want deze matrix heeft na vegen een spil in elke rij en in elke kolom. 2 (Gauss-Jordan reductie) 2 NB: de kolommen van een matrix vormen een basis van R m de matrix is vierkant en inverteerbaar. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 6 / 35
17 Voorbeeld De vectoren (polynomen) in P 2 v = t 2 + 2t +, v 2 = t 2 + 2, en v 3 = t 2 + t vormen een basis van de vectorruimte P 2, want het stelsel 2 2 heeft alleen de triviale oplossing en het stelsel a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3 heeft een oplossing voor elke a, b, c R. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 7 / 35
18 Definitie Een vectorruimte V is eindig-dimensionaal als er een eindige verzameling vectoren uit V bestaat die een basis vormt van V. Als er geen eindige basis bestaat heet V oneindig-dimensionaal. Stelling Als S = {v, v 2,..., v n } een basis is van de vectorruimte V, dan kan elke vector in V op eenduidige wijze geschreven worden als lineaire combinatie van vectoren in S. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 8 / 35
19 Basis opspansel bepalen Door herhaaldelijk een opgespannen vector weg te laten: Stelling Laat S = {v, v 2,..., v n } een verzameling niet-nul vectoren zijn in de vectorruimte V en laat W = span S. Dan is er een deelverzameling van S die een basis vormt van W. NB: Omslachtig! Voor elke vector die je weglaat los je opnieuw een homogeen stelsel op (om te zien of overgebleven vectoren lineair onafhankelijk zijn). Maar het kan handiger. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 9 / 35
20 Voorbeeld Een basis van W =span {v, v 2, v 3, v 4, v 5 } en v =, v 2 =, v 3 = 2, v 4 = vinden we als volgt. Bepaal de uitgebreide matrix van 2 a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 + a 5 v 5 = en breng deze in gereduceerde trapvorm:, v 5 = 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35
21 Voorbeeld De leidende enen staan in kolommen,2,4 en daarom kunnen we voor a 3, a 5 willekeurige reële getallen invullen, en a, a 2 en a 4 oplossen in termen van a 3, a 5 : a = a 3 + 2a 5, a 2 = a 3 + a 5, a 4 = a 5 Daarom zijn v 3 en v 5 lineaire combinaties van v, v 2 en v 4 : nemen we a 3 =, a 5 = dan geeft dit a =, a 2 =, a 4 = dus ofwel v v 2 + v 3 = v 3 = v + v 2 en met a 3 =, a 5 = krijgen we v 5 = 2v v 2 + v 4. Dus v, v 2 en v 4 spannen W op. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35
22 Voorbeeld Ook zijn v, v 2 en v 4 lineair onafhankelijk want de matrix van het stelsel a v + a 2 v 2 + a 4 v 4 = bestaat uit de kolommen,2 en 4 (en de laatste) van de matrix maar dan is dit stelsel dus equivalent met het stelsel en dat stelsel heeft alleen de triviale oplossing: a = a 2 = a 4 =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 22 / 35
23 Efficiënte procedure voor het bepalen van een basis voor W = span S bestaande uit vectoren van S = {v, v 2,..., v n }:. Construeer de uitgebreide matrix behorend bij het homogene stelsel a v + a 2 v a n v n = 2. Breng deze uitgebreide matrix in (gereduceerde) trapvorm 3. De vectoren die corresponderen met de kolommen waarin de leidende enen staan vormen een basis T van W. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 23 / 35
24 Stelling Als S = {v, v 2,..., v n } een basis is van de vectorruimte V, en T = {w, w 2,..., w r } is een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in V, dan geldt r n. Stelling Als S = {v, v 2,..., v n } en T = {w, w 2,..., w m } twee bases zijn van een vectorruimte V, dan geldt n = m. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 24 / 35
25 Nu kunnen we definiëren: Definitie De dimensie van een eindig-dimensionale vectorruimte V is het aantal vectoren in een basis van V. Notatie: dim V We spreken af dat de dimensie van de triviale vectorruimte {} nul is. Voorbeeld Een basis voor P 2 is {t 2, t, } dus dim P 2 = 3. NB: als dim V = n, dan is elke verzameling van m > n vectoren uit V lineair afhankelijk. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 25 / 35
26 NB: als dim V = n, dan is een verzameling van m < n vectoren uit V niet opspannend. Stelling Als S een lineair onafhankelijke verzameling vectoren is in een eindig-dimensionale vectorruimte V, dan kan S uitgebreid worden naar een basis T van V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 26 / 35
27 Voorbeeld Vind een basis van R 4 die de vectoren v =, en v 2 = bevat (ze zijn lineair onafhankelijk want geen veelvoud van elkaar). Oplossing: voeg de vier standaard-basisvectoren van R 4 toe, en bepaal een basis van span {v, v 2, e, e 2, e 3, e 4 }. Het homogene systeem heeft leidende enen in de kolommen corresponderend met v, v 2, e, e 4 dus {v, v 2, e, e 4 } is een basis van R 4. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 27 / 35
28 Stelling Als V een vectorruimte is van dimensie n dan geldt (a) Als S = {v, v 2,..., v n } lineair onafhankelijk is, dan is S een basis van V. (b) Als S = {v, v 2,..., v n } V opspant, dan is S een basis van V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 28 / 35
29 Basis en dimensie nulruimte bepalen Voorbeeld Bepaal een basis voor de nulruimte van de matrix A = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 29 / 35
30 Voorbeeld Los op Ax = in gereduceerde trapvorm gebracht: Leidende enen in kolommen,3,4. Vrije variabelen x 2 = s en x 5 = t met s, t R: x = s t, x 2 = s, x 3 = t, x 4 =, x 5 = t. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35
31 Voorbeeld Algemene oplossing x = s t, x 2 = s, x 3 = t, x 4 =, x 5 = t met s, t R. Dus met x = x x 2 x 3 x 4 x 5 = s t s t t v = = s en v 2 = + t = sv + tv 2 {v, v 2 } is een basis van de nulruimte; de nulruimte heeft dus dimensie 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35
32 Stelling De dimensie van de nulruimte van een m n matrix A is gelijk aan n r, waarbij r het aantal leidende enen is van de matrix [B ] in gereduceerde trapvorm die rij-equivalent is met [A ]. Gauss-Jordan reductie geeft je een basis voor de nulruimte. Basis vinden voor de oplossingsruimte van Ax = : Los [A ] op met Gauss-Jordan reductie. Als de algemene oplossing geen willekeurige constanten heeft, dan is de oplossingsruimte gelijk aan {}, en heeft dimensie = n n. Als de algemene oplossing x wel p > willekeurige constanten s, s 2,..., s p heeft, schrijf de oplossing dan als x = s v + s 2 v s p v p Voor elke kolom in de matrix [B ] zonder leidende wordt een willekeurige constante ingevoerd, dus p = n r. {v, v 2,..., v p } is een basis voor de oplossingsruimte van Ax =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 32 / 35
33 Verband inhomogeen en homogeen stelsel Als het stelsel Ax = b, met b een consistent stelsel is, en x p is een particuliere oplossing, dan is de algemene oplossing x van dit inhomogene stelsel Ax = b van de vorm x = x p + x h waar x h de algemene oplossing is van het homogene stelsel. Ax = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 33 / 35
34 Voorbeeld Bepaal de algemene oplossing van het stelsel met Ax = b A = en b = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 34 / 35
35 Voorbeeld Een (particuliere) oplossing van Ax = b is snel gevonden: x p = We kennen al een basis van de oplossingsruimte van Ax =. De algemene oplossing van Ax = b is dus x = x p + x h = + s + t s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 35 / 35
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieToepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieDe dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieStudiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009
Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 1 Algemeen 1.1 Docenten De cursus wordt gegeven door Judith Keijsper (Dr. J.C.M. Keijsper, HG 9.31, tel 5583, email J.C.M.Keijsper(AT)tue(DOT)nl).
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieLineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016
Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatie