Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen en determinanten in andere getalsystemen te bekijken. Bijvoorbeeld de complexe getallen, die we met C aangeven. Alle stellingen en beschouwingen die we tot nu toe gedaan hebben gaan onverminderd op voor de complexe getallen. We kunnen in al onze stellingen R door C vervangen. Maar in plaats van R kunnen we ook Q nemen. Merk op dat alle tot nu toe behandelde voorbeelden in dit diktaat zelfs voorbeelden met coëfficienten in Q zijn! De verzamelingen R, C, Q hebben als gemeenschappelijk kenmerk dat het getalsystemen zijn waarin we kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door nul) met de gebruikelijke eigenschappen. Dergelijke getalsystemen heten lichamen. In het tweede jaars college Algebra wordt dieper ingegaan op het wiskundige begrip lichaam. Hier volstaan we slechts met een aantal voorbeelden. Er bestaan ook eindige lichamen. We noemen er één van, namelijk F 2, het lichaam bestaande uit de elementen, 1 en met de optel- en vermenigvuldigingsregels + =, + 1 = 1, =, =, 1 =, 1 1 = 1. Eigenlijk is rekenen in F 2 hetzelfde als met de gehele getallen modulo 2 rekenen. Ook in F 2 kunnen we lineaire vergelijkingen oplossen. Hier is een voorbeeld. x 1 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 1 + x 4 = 1 De uitgebreide coëfficientenmatrix ziet er uit als

2 9.2. AXIOMA S 11 Standaard Gauss-eliminatie geeft en de oplossing luidt x 3 = x 4, x 2 = 1 x 4, x 1 = 1 x 3 x 4 = 1 + x 4 x 4 = 1, x 4 F 2 en omdat 1 = 1 in F 2, x 3 = x 4, x 2 = 1 + x 4, x 1 = 1, x 4 F 2. Merk op, dat Z, de gehele getallen, geen lichaam vormen. Het quotient van twee gehele getallen hoeft namelijk niet geheel te zijn. Als gevolg daarvan gaan niet alle stellingen uit die we behandeld hebben, voor Z op. Bijvoorbeeld, als een n n-matrix determinant heeft, dan is er een inverse matrix. Dit gaat echter ( niet ) op als we alleen matrices met gehele coëfficienten ( ) toelaten. De matrix heeft determinant 2. De inverse is en deze heeft geen gehele coëfficienten. De verzamelingen R, C, Q, F 2 zullen we in de lineaire algebra lichamen van scalairen noemen. 9.2 Axioma s In de voorgaande hoofdstukken hebben we het voornamelijk over R n gehad. Indien we andere scalairenlichamen toelaten, zouden we ook andere vectorruimten kunnen toelaten zoals C n, Q n, F2, n.... In het algemeen kunnen we F n als vectorruimte over het scalairenlichaam F zien. Matrixvermenigvuldiging en oplossing van lineaire vergelijkingen kunnen we nog steeds uitvoeren als we met een willekeurig lichaam F werken. Ook gaan onze stellingen over rang en dimensie onverminderd door. We maken nu een abstractiestap door het algemene begrip vectorruimte in te voeren. We beginnen met een lichaam F dat het lichaam van scalairen zal heten. Zoals gezegd, voorbeelden zijn F = R, C, Q, F 2, etc. Een vectorruimte over F is een niet-lege verzameling V met daarin een optelling x, y V x + y en een scalaire vermenigvuldiging λ F, x V λx die voldoet aan de volgende eigenschappen. 1. Voor alle x, y V geldt x + y = y + x. 2. Voor alle x, y, z V geldt (x + y) + z = x + (y + z).

3 12 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN 3. Bij elke x, y V is er een uniek bepaalde z V zó dat x + z = y. 4. Voor alle λ, µ F en x V geldt λ(µx) = (λµ)x. 5. Voor alle λ F en alle x, y V geldt λ(x + y) = λx + λy. 6. Voor alle λ, µ F en alle x V geldt (λ + µ)x = λx + µx 7. Voor alle x V geldt 1 x = x. De elementen van V noemen we vectoren. Allereerst een aantal belangrijke opmerkingen. 1. We noemen de oplossing z in eigenschap (3) het verschil van de vectoren y en x. Notatie: y x. 2. Er is een uniek bepaald element V zó dat x + = x voor alle x V. Om dit te zien kiezen we v V (dat kan, V is immers niet leeg) en nemen = v v. Dus v + = v. Zij nu x willekeurig en tel aan beide zijden x v op. We vinden (x v) + v + = (x v) + v. Per definitie geldt dat (x v) + v = x. Onze gelijkheid gaat dus over in x + = x. Het element heeft dus de gewenste eigenschap en is bovendien uniek vastgelegd. 3. Voor elke x V geldt x =. Dit zien we uit het feit dat x + x = (1 + )x = 1 x = x. Aangezien de unieke vector is met de eigenschap dat x + = x concluderen we dat x =. 4. Voor elke x, y V geldt y x = y + ( 1) x. Stel z = y + ( 1) x. Dan geldt x + z = x + y + ( 1) x = y + (1 1)x = y + x = y. Hieruit zien we dat ook z = y x. Voortaan noteren we x als x. In het bijzonder geldt x = ( 1) x. Hier zijn een aantal voorbeelden van vectorruimten. Het symbool F staat voor een scalairenlichaam. Denk met name aan F = R, C, Q, F 2. Ga van elk van de voorbeelden na dat ze inderdaad een vectorruimte vormen en geef ook de nulvector aan. 1. De intuïtieve vectoren uit onze inleiding. 2. De verzamelingen F n, F, F over F. Hierin bedoelen we F n de verzameling van oneindige rijen elementen uit F, en met F n de deelverzameling van F n bestaande uit rijen waarvan de elementen vanaf zekere index nul zijn. Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn de coördinaatsgewijze. 3. De verzameling van m n-matrices met elementen uit F en gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging vormen een vectorruimte over F.

4 9.2. AXIOMA S De verzameling van polynomen {a k X k + a k 1 X k a 1 X + a a i F } met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging. Notatie: F [X] 5. Zij I R een interval. De verzameling van continue functies f : I R vormen een vectorruimte over R als we optelling en scalaire vermenigvuldiging als volgt kiezen: Notatie: C (I). (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λf)(x) = λf(x). 6. In plaats van bovenstaand voorbeeld kunnen we natuurlijk ook de verzameling van continu differentieerbare functies, (C 1 (I)) oneindig vaak differentieerbare functies (C (I)), of willekeurige functies nemen. 7. De complexe getallen vormen een vectorruimte over R als we gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging nemen. 8. De reële getallen vormen een vectorruimte over Q als we gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging nemen. 9. Algemener, als we twee lichamen K, L hebben met K L en optelling en vermenigvuldiging in K komen van die van L, dan is L een vectorruimte over K. Zij V een vectorruimte over F en W V een deelverzameling. We noemen W een (lineaire) deelruimte van V als de volgende eigenschappen gelden: 1. W. 2. Als x, y W dan x + y W. 3. Als λ F en x W dan λx W Stelling Een lineaire deelruimte W van een vectorruimte V is zelf ook een vectorruimte als we de optelling en scalaire vermenigvuldiging uit V nemen. Bewijs: Zij W een deelruimte van V. Uit de definitie van deelruimte volgt dat we in W een optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren hebben. Omdat deze optelling en vermenigvuldiging aan de axioma s voor de ruimte V voldoen, voldoen ze zeker ook als we ons beperken tot de vectoren in W. Daarmee is W zelf ook een vectorruimte. Voorbeelden van deelruimten.

5 14 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN 1. V = R n en W is oplossingsvezameling van een stelsel homogene lineaire vergelijkingen Ax = met x R n. 2. Zij I R een interval en V = C (I). Dan zijn C 1 (I) en C (I) voorbeelden van lineaire deelruimten. 3. Zij V = F [X]. Dan zijn de volgende deelverzamelingen ook deelruimten (a) Kies n N. De polynomen met graad n. Notatie: F [X] n. (b) De verzameling p(x) F [X] met p(1) =. Of algemener, kies a F en neem als W de verzameling polynomen met p(a) =. 4. V = R. Ga na dat de volgende deelverzamelingen lineaire deelruimten zijn: (a) R : de verzameling van alle (x 1, x 2,...) R met x n = als n groot genoeg is. (b) l : de verzameling (x 1, x 2,...) R zó dat lim n x n =. (c) l 2 : de verzameling (x 1, x 2,...) R zó dat x x x een convergente reeks is. Ga tevens na dat we in dit voorbeeld de inclusies R l 2 l R hebben. 5. Gegeven een vectorruimte V over F en een eindige verzameling vectoren v 1,..., v n. Het opspansel van deze vectoren gegeven door Span(v 1,..., v n ) = {λ 1 v λ n v n λ 1,..., λ n F } is een lineaire deelruimte van V. 6. Gegeven een vectorruimte V over F en een willekeurige deelverzameling S V. De verzameling van alle (eindige) lineaire combinaties van elementen uit S noemen we het opspansel van S. Notatie: Span(S). Merk op dat Span(S) ook een lineaire deelruimte van V is. Verder geldt voor elke deelruimte W V met de eigenschap S W, dat alle lineaire combinaties van elementen uit S ook in W bevat moeten zijn. Met andere woorden, Span(S) W. Op deze manier kunnen we Span(S) zien als de kleinste deelruimte die een gegeven verzameling S omvat.

6 9.3. AFHANKELIJKHEID Afhankelijkheid Ook in onze abstracte vertorruimten hanteren we het begrip (on)afhankelijkheid. Stel we hebben een vectorruimte V over het lichaam F en zij v 1, v 2,..., v r een r-tal vectoren in V. Een lineaire combinatie van v 1, v 2,..., v r is een vector van de vorm λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r waarin λ 1,..., λ r F. Onder een (lineaire) relatie tussen v 1, v 2,..., v r verstaan we een lineaire combinatie die de nulvector oplevert. Definitie Zij V een vectorruimte over het lichaam F. Een r-tal vectoren v 1, v 2,..., v r V noemen we (lineair) onafhankelijk als de enige relatie λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r = met λ 1, λ 2,..., λ r F de triviale is, dat wil zeggen λ 1 = λ 2 = = λ r =. We noemen de vectoren (lineair) afhankelijk als er een niet-triviale relatie bestaat. We kunnen ook lineaire onafhankelijkheid voor willekeurige verzamelingen definiëren (dus ook oneindige verzamelingen). Definitie Zij V een vectorruimte over het lichaam F. Een deelverzameling S V heet (lineair) onafhankelijk als elke eindige deelverzameling van S onafhankelijk is. Met dit begrip onafhankelijkheid kunnen we ook het begrip basis van een vectorruimte invoeren. Definitie Zij V een vectorruimte over het lichaam F. Een deelverzameling S van V heet een basis van V als 1. S onafhankelijk is 2. Elke vector in V lineaire combinatie van een eindig aantal vectoren uit S is. Als een vectorruimte V een eindige basis heeft, bestaande uit n vectoren, dan noemen we n de dimensie van V. Het bewijs dat de dimensie onafhankelijk van de basiskeuze, gaat op dezelfde manier als in Stelling De dimensie van de triviale vectorruimte, dat wil zeggen de vectorruimte die alleen uit de nulvector bestaat, definiëren we als nul. Bij abstracte vectorruimten kan het gebeuren dat er helemaal geen eindige basis bestaat. In dat geval bevat de vectorruimte een oneindige onafhankelijke deelverzamneling en we zeggen dat de dimensie van V oneindig is. In dergelijke gevallen

7 16 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN kan het gebeuren dat we een oneindige basis kunnen aanwijzen, maar veel vaker gebeurt het dat er helemaal geen basis aangegeven kan worden. Twee mooie voorbeelden worden gegeven door R bestaande uit de oneindige rijen reële getallen, en R, bestaande uit de oneindige rijen reële getallen die vanaf zeker moment nul zijn. De vectoren (1,,,,...) (, 1,,,...) (,, 1,,...) vormen een basis van R. Ga zelf na dat dit zo is. Begrijp je ook waarom bovenstaand stelsel geen basis van R is? Definitie Zij V een vectorruimte en S V een deelverzameling. De rang van S wordt gedefinieerd als de dimensie van het opspansel van S. Notatie rang(s). Hier volgen een aantal voorbeelden van (on)afhankelijke verzamelingen en eventuele bases van vectorruimten.... Voorbeeld Beschouw de vectorruimte over R bestaande uit de reëelwaardige continue functies op ], 1[. We geven deze aan met C (], 1[). De rol van de nulvector in deze ruimte wordt gespeeld door de constante functie. Als voorbeeld laten we zien dat 1/x, 1/x 2, 1/(1 x) onafhankelijk zijn. Stel namelijk a 1 x + b 1 x 2 + c 1 1 x voor zekere a, b, c R. Met het -teken geven we hier nog een keer extra aan dat het om een gelijkheid van functies gaat. Dat wil zeggen dat de gelijkheid geldt voor alle keuzen van x. Om onafhankelijkheid aan te tonen kunnen we een aantal waarden van x kiezen. Neem bijvoorbeeld achtereenvolgens x = 1/3, 1/2, 2/3. We vinden dan, 3a + 9b + 3c/2 = 2a + 4b + 2c = 3a/2 + 9b/4 + 3c = Oplossing van dit stelsel leert dat a = b = c =. Met andere woorden, alleen de triviale relatie geldt, en de functies zijn onafhankelijk. Voorbeeld De ruimte C(R) van continue functies op R. De nulvector in deze ruimte is de triviale functie. Beschouw de functies f, f 1, f 2,... gegeven

8 9.3. AFHANKELIJKHEID 17 door f m (x) = e mx. Wij beweren dat de functies f, f 1,..., f n onafhankelijk zijn voor elke gehele n. Stel dat er a, a 1,..., an R bestaan, zó dat Anders gezegd, a n f n + a n 1 f n a 1 f 1 + a f = a n e nx + a n 1 e (n 1)x + + a 1 e x + a is identiek gelijk nul voor alle keuzen van x. Anders geschreven, P (e x ) = voor alle x, waarin P (X) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a. Anders gezegd, het polynoom P (X) heeft oneindig veel verschillende nulpunten. Als P (X) een niet-triviaal polynoom zou zijn, dan kunnen er hooguit n nulpunten zijn. We moeten dus concluderen dat P (X) het triviale polynoom is. Met andere woorden, a n = a n 1 = = a 1 = a =. In het bijzonder zien we dat het opspansel van f, f 1, f 2,... in C(R) een oneindigdimensionale deelruimte van C(R) is. Voorbeeld De vectorruimte van complexe getallen over R. Elk complex getal kan op unieke manier geschreven worden als a + b 1. Hieruit volgt dat 1, 1 een basis van onze vectorruimte is. De dimensie van C over R is dus twee. De situatie wordt heel anders als we C zien als vectorruimte over Q. We krijgen dan een oneindig dimensionale vectorruimte. In het volgende voorbeeld zullen dit iets nader uitwerken, waarbij we R in plaats van C nemen. Voorbeeld De vectorruimte van reële getallen over Q. Beschouw de reële getallen 1, 2. Wij beweren dat ze lineair onafhankelijk over Q zijn. Stel namelijk dat er a, b Q, niet beide nul, bestaan zó dat a + b 2 =. Er geldt natuurlijk b, want anders zou uit de relatie volgen dat a ook nul is. Dus 2 = a/b, met andere woorden, 2 is een rationaal getal (een breuk). We weten echter dat dit niet zo is. Dus onststaat er een tegenspraak en we moeten concluderen dat 1, 2 onafhankelijk over Q zijn. We zien hier een voorbeeld waarin lineaire onafhankelijk van getallen over Q neerkomt op irrationaliteitseigenschappen van getallen. Het is zelfs mogelijk om oneindige verzamelingen reële getallen aan te geven die lineair onafhankelijk over Q zijn. Het bewijs hiervan is echter bijzonder lastig. Voorbeelden zijn, {1, e, e 2, e 3,...} {1, π, π 2, π 3,...}

9 18 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN {1, 2, 3, 5, 7, 11,...} Het laatste voorbeeld bestaat uit de wortels van alle priemgetallen. Hier is iets wat je wellicht wèl kunt aantonen: 1. Laat zien dat de verzameling { n n Z > } afhankelijk is over Q. 2. Laat zien dat de verzameling {log 2, log 3, log 5, log 7, log 11,...} de logaritmen van de priemgetallen, onafhankelijk over Q is. 9.4 Lineaire afbeeldingen Van bijzonder belang zijn afbeeldingen tussen vectorruimten die de vectorruimtestructuur intact laten. Om wat preciezer te zijn, zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam F. Een lineaire afbeelding A : V W is een afbeelding met de volgende eigenschappen 1. Voor elke x, y V geldt A(x + y) = A(x) + A(y). 2. Voor elke λ F, x V geldt A(λx) = λa(x). Alvorens enige voorbeelden te bespreken, maken we de volgende opmerking. Lemma Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam F en A : V W een lineaire afbeelding. 1. Voor elk tweetal x, y V en λ, µ F geldt A(λx + µy) = λa(x) + µa(y). 2. A() =. Geef zelf een bewijs voor dit Lemma. Een belangrijke ruimte die bij een lineaire afbeelding hoort is de kern indexkern. Zij f : V W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle x V met f(x) =. Notatie: ker(f). Lemma De kern van een lineaire afbeelding f : V W is een lineaire deelruimte van V. Geef ook van dit Lemma zelf een bewijs. Verder geldt,

10 9.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN 19 Stelling Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(a) = {}. Bewijs: Dit is niet lastig in te zien. Stel namelijk dat A injectief is. Dan geldt x ker(a) Ax = = A en wegens injectiviteit van A volgt hieruit dat x =. Dus ker(a) = {}. Stel anderzijds dat ker(a) alleen uit de nulvector bestaat. Dan volgt uit Ax = Ay dat A(x y) = wegens de lineariteit van A. Omdat de kern triviaal is impliceert dit x y = en dus x = y. Met andere woorden, A is injectief. Hier zijn een aantal voorbeelden van lineaire afbeeldingen. Voorbeeld Als vectorruimten V nemen we de intuïtieve vectoren in de ruimte. Meetkundig realiseren we deze ruimte door de punten in de driedimensionale ruimte met gegeven oorsprong O. Beschouw nu de volgende twee voorbeelden. 1. Zij S een vlak door O met normaalvector n. De loodrechte projectie P van V op S is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij namelijk v V. De loodrechte projectie van v op S is dat punt op de lijn x = v + λn met de eigenschap dat x n =. Dus (v +λn) n = waaruit volgt v n+λ n 2. Dus λ = v n/ n 2 en Dat P lineair is volgt uit: P (v) = v v n n. (9.1) n 2 P (x + y) = (x + y) n x + y n n 2 = x + y x n n n y n 2 n n 2 = P (x) + P (y) en P (λx) = λx (λx) n n n 2 = λx λ x n n n 2 = λp (x) De kern bestaat uit alle vectoren die naar geprojecteerd worden, in dit geval alle vectoren die loodrecht op het vlak W staan. 2. Kies een lijn l door O. Draaiïng R van de ruimte rond l om een zekere hoek φ is een lineaire afbeelding van V naar zichzelf. De reden hiervoor is meetkundig. Beschouw het optelparallellogram van een willekeurig tweetal

11 11 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN vectoren x, y. Na rotatie om R gaat deze figuur over in het optelparallellogram voor R(x) en R(y). Dus R(x+y) = R(x)+R(y). Voor elke x V en λ R > geldt dat x en λx in dezelfde richting wijzen en lengteverhouding λ hebben. Na rotatie zal dit nog steeds zo zijn. Dus R(λx) = λr(x). De enige vector die na rotatie overgaat in de nulvector is de nulvector zelf. Dit is dus de kern. Voorbeeld Zij V = F [X], de ruimte van polynomen. Dan is differentiatie naar X een lineaire afbeelding van V naar V. Immers, en d dx (λf(x)) = λ d dx f(x). d (f(x) + g(x)) = d dx dx f(x) + d dx g(x). De enige polynomen die na differentiatie nul worden, zijn de constante polynomen. Deze constante polynomen vormen dus de kern. Voorbeeld Zij V = C(R) de ruimte van continue functies op R. Integratie van een continue functie over het interval [, 1] (of een ander interval) geeft een lineaire afbeelding van V naar R. Immers, 1 (f(x) + g(x))dx = 1 en 1 λf(x)dx = λ f(x)dx + 1 f(x)dx. 1 g(x)dx De kern wordt gegeven door alle functies waarvan de integraal nul is. Voorbeeld Zij M een m n-matrix met reële coëfficienten. De afbeelding R n R m die aan x R n de vector Mx toekent is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers dat en M(x + y) = Mx + My M(λx) = λmx. In het volgende hoofdstuk zal blijken dat lineaire afbeeldingen tussen eindigdimensionale vectorruimten allemaal kunnen worden teruggebracht tot matrixvermenigvuldiging met een matrix M waarvan de coëfficienten in het scalairen

12 9.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN 111 lichaam F zitten. Voorbeeld Zij M 2,2 de ruimte van 2 2-matrices met elementen in R. De afbeelding M 2,2 R 4 gegeven door ( ) a b (a, b, c, d) t c d is lineair. Ga dit na! We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V W bestaat. Er geldt: Stelling Zij A : V W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W. Dan is de inverse afbeelding A 1 : W V ook lineair. Bewijs: Zij x, y W. Kies u, v V zó dat A(u) = x en A(v) = y. Dan geldt, wegens lineariteit van A, dat A(u + v) = A(u) + A(v) = x + y. Gevolg: A 1 (x + y) = u + v = A 1 (x) + A 1 (y). Hiermee is het eerste kenmerk van lineariteit aangetoond. Kies nu x W en λ F. Stel v zó dat x = A(v). Dan geldt dat A(λv) = λa(v) = λx. Dus A 1 (λx) = λv = λa 1 (x). We kunnen isomorfe vectorruimten zien als twee incarnaties van dezelfde vectorruimte structuur. De 1-1-duidige correspondentie tussen de twee wordt gegeven door de bijectie A. Hier zijn een paar voorbeelden. Voorbeeld Zij M 2,2 de ruimte van 2 2-matrices met elementen in R. De afbeelding M 2,2 R 4 gegeven door ( ) a b (a, b, c, d) t c d is een bijectieve lineaire afbeelding tussen M 2,2 en R 4. Goed beschouwd maakt het ook niet uit of we de vier componenten van vectoren uit R 4 in een rij, kolom of vierkantsvorm opschrijven. Voorbeeld De ruimten F [X] van polynomen en F lineaire bijectie zijn isomorf via de a + a 1 X + a 2 X a n X n (a, a 1, a 2,..., a n,,,,,...). Hier is nog een algemene opmerking.

13 112 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN Lemma Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V W een lineaire afbeelding. Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W. Opgave Geef zelf een bewijs van dit Lemma. Tenslotte wijzen we erop dat een eindigdimensionale vectorruimte over F altijd isomorf is met F n. Dit gaat als volgt Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over F en B = {b 1,..., b n } een geordende basis. Elke vector x V kan op unieke manier geschreven worden als x = x 1 b 1 + x 2 b x n b n met x i F. We noemen x 1, x 2,..., x n de coördinaten van x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze coördinaten noemen we de coördinatenkolom. We geven deze aan met x B. Opgave Laat zien dat de toekenning x x B een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en F n geeft. We zien hieruit dat alle eindigdimensionale vectorruimten over F isomorf zijn met F n voor zekere n. Men zou dus kunnen zeggen dat, wat betreft eindigdimensionale vectorruimten, alles weer bij het oude is. In de praktijk blijkt het echter vaak onhandig of omslachtig een basis te kiezen. Vaak is zo n keuze helemaal niet voor de hand liggend. In zulke gevallen is het veel eleganter om coördinaatvrij te werken. Dit is de kracht van een axiomatische opzet van vectorruimten. 9.5 Lineaire afbeeldingen in eindige dimensie In deze paragraaf geven we aan wat het verband is tussen lineaire afbeeldingen en matrices. Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam F en A : V W een lineaire afbeelding. We nemen aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m. Zij B = {b 1, b 2,..., b n } een geordende basis van V en C = {c 1, c 2,..., c m } een geordende basis van W. Net zoals aan het eind van de vorige paragraaf geven we de coördinatenkolom van x V tenopzichte van B aan met x B. En evenzo is y C de coördinatenkolom van y W ten opzichte van C. Stelling Zij V, W, hun geordende bases B, C, en A : V W als daarnet. Stel x V, y W zó dat y = A(x). Zij A B C de m n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(b i ) ten opzichte van C te nemen. Dan geldt: y C = A B Cx B.

14 9.5. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE 113 Bewijs: De volgende stappen spreken hopelijk voor zich, y C = (A(x)) C n = ( x i A(b i )) C = i=1 n x i A(b i ) C i=1 = A B Cx B Hier is een tweetal voorbeelden. Voorbeeld Zij R[X] 3 de vectorruimte van polynomen van graad 3 en beschouw de lineaire afbeelding D : R[X] 3 R[X] 3 gegeven door D : p(x) p (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X] 3 nemen. We kiezen B = {1, X, X 2, X 3 }. De afbeelding D losgeleten op deze elementen geeft achtereenvolgens, 1, 2X, 3X 2. Schrijven we deze vectoren uit ten opzichte van C = B, dan vinden we de coördinaten kolommen 1,, 2, De matrix van D ten opzichte van B wordt dus 1 DB B = Voorbeeld Zij C de vectorruimte van complexe getallen over R. De afbeelding µ : C C geven door µ(z) (1 + i)z is linear. We kiezen de natuurlijke basis B = {1, i} van C. Deze basisvectoren gaan onder µ over in 1 + i, 1 + i. De coördinaatkolommen van deze vectoren ten opzichte van C = B zijn, ( ) ( ) 1 1,. 1 1 De matrix van µ ten opzichte van B wordt dus ( )

15 114 HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN Het zal duidelijk zijn dat de matrix van een lineaire afbeelding sterk afhangt van de bases ten opzichte waarvan deze wordt uitgeschreven. Zij V, W en A : V W als aan het begin van deze paragraaf. In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases B, C van V respectievelijk W. Het verband tussen A B C en A B C zullen we in Hoofdstuk 1 aangeven. 9.6 Vectorruimteconstructies (optioneel) Gegeven een aantal vectorruimten is het mogelijk om daaruit op abstracte wijze nieuwe vectorruimten te creëren. Met deze constructies zullen we als beginners in de lineaire algebra niet veel in aanraking komen. Later zullen ze evenwel van steeds groter belang worden in de algebra, meetkunde en analyse. 1. Zij V, W een tweetal vectorruimten over F. De directe som van V en W is de vectorruimte bestaande uit alle geordende paren (v, w), v V, w W met als optelling (v 1, w 1 ) + (v 2, w 2 ) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) en scalaire vermenigvuldiging λ(v, w) = (λv, λw). Notatie V W. 2. Zij V een vectorruimte en W een deelruimte. We zeggen dat twee vectoren v 1, v 2 V equivalent zijn modulo W als v 1 v 2 W. De verzameling van vectoren die equivalent modulo W zijn met een gegeven vector v noemen we de equivalentieklasse van v. Notatie: v (mod W ). Merk op, als v 1 V en v 2 V niet equivalent zijn modulo W dan zijn de klassen v 1 (mod W ) en v 2 (mod W ) disjunct. Als ze namelijk een element W gemeenschappelijk zouden hebben, dan v 1 w W en v 2 w W. Na verschil nemen, v 1 v 2 W en we hebben een tegenspraak. De ruimte V kan dus opgedeeld worden in een disjuncte vereniging van equivalentieklassen modulo W. Zij v 1 (mod W ) en v 2 (mod W ) een tweetal klassen modulo W en w 1, w 2 een tweetal elementen in de respectievelijke klassen. Dan geldt w 1 v 1 W en w 2 v 2 W. Na optelling, (w 1 + w 2 ) (v 1 + v 2 ) W. Met andere woorden, kiezen we twee elementen uit v 1 (mod W ) respectievelijk v 2 (mod W ) dan zal hun som altijd in de klasse v 1 + v 2 (mod W ) liggen. Hiermee hebben we een optelling gedefinieerd op de equivalentieklassen modulo W. Op dezelfde manier kunnen we een scalaire vermenigvuldiging invoeren, en daarmee krijgen de klassen modulo W een vectorruimte structuur die we de quotientruimte zullen noemen. Notatie: V/W. 3. Zij V, W een tweetal vectorruimten over F. De verzameling lineaire afbeeldingen A : V W vormen een vectorruimte als we optelling en scalaire

16 9.7. OPGAVEN 115 vermenigvuldiging als volgt definiëren: (A + B)x = Ax + Bx voor alle x V en (λa)x = λ(ax) voor alle λ F, x V. Notatie Hom(V, W ). 4. Nemen we in het bijzonder in voorgaand voorbeeld W = F, dan krijgen we de vectorruimte Hom(V, F ), die we de duale vectorruimte noemen. Notatie: V d. Een lineaire afbeelding V F noemen we ook wel een lineaire vorm op V. De duale vectorruimte is dus de ruimte van lineaire vormen op V. 5. Zij V, W een tweetal vectorruimten over F. Het tensorproduct van V, W bestaat uit alle (eindige) lineaire combinaties van symbolen v w met v V, w W die voldoen aan de volgende rekenregels (a) λ(v w) = (λv) w = v (λw) voor alle v V, w W, λ F. (b) (v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w voor alle v 1, v 2 V, w W. (c) v (w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w 2 voor alle v V, w 1, w 2 W. Notatie: V W. 9.7 Opgaven 1. Zij W 1, W 2 een tweetal deelruimten van een vectorruimte V. Laat zien dat W 1 W 2 een deelruimte van V is. 2. Zij W 1, W 2 een tweetal deelruimten van de vectorruimte V. Laat zien dat W 1 W 2 een deelruimte is precies dan als W 1 W 2 of W 2 W Als S 1, S 2 niet-lege deelverzamelingen van een vectorruimte V zijn, dan geven we met S 1 + S 2 de verzameling {x + y x S 1, y S 2 } aan. Stel dat W 1, W 2 deelruimten van V zijn. Laat zien dat W 1 + W 2 een deelruimte van V is die W 1, W 2 omvat. Laat ook zien dat W 1 + W 2 de kleinste deelruimte van V is die W 1 en W 2 omvat. 4. Een vectorruimte V is een directe som van twee deelruimten W 1, W 2 als V = W 1 + W 2 en W 1 W 2 = {}. Notatie: V = W 1 W 2. (a) Laat zien dat F n de directe som is van de deelruimten W 1 = {(a 1, a 2,..., a n ) F n a n = } en W 2 = {(a 1, a 2,..., a n ) F n a 1 = a 2 = = a n 1 = }. (b) Beschouw de ruimte van polynomen R[X] en de deelruimten W 1 = {P (X) P (x) = P ( X)} (even polynomen) en W 2 = {P (X) P (X) = P (X)} (oneven polynomen. Laat zien dat R[X] = W 1 W 2.

Lineaire Algebra SUPPLEMENT I

Lineaire Algebra SUPPLEMENT I Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Het karakteristieke polynoom

Het karakteristieke polynoom Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie