Lineaire Algebra C 2WF09

Transcriptie

1 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, h.a.wilbrink@tue.nl 1

2 Dimensie van L(V, W ) Lemma: Zij V en W vectorruimten over F, met dim(v ) = n. Zij x 1,..., x n een basis van V, en w 1,..., w n vectoren in W. Dan bestaat er een unieke lineaire afbeelding T : V W zó dat T x i = w i, voor i = 1,..., n. Stelling: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn, dan is ook L(V, W ) eindig-dimensionaal, en er geldt dim L(V, W ) = (dim V ) (dim W ). 2

3 Gevolg: Zij V en W vectorruimten, en veronderstel dat V eindig-dimensionaal is. Zij M een lineaire deelruimte van V, en T 0 : M W een lineaire afbeelding van M naar W. Dan kan T 0 uitgebreid worden tot een lineaire afbeelding T : V W zó dat x M : T x = T 0 x. Gevolg: Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte, en S L(V ). Veronderstel dat alle lineaire afbeeldingen T L(V ) commuteren met S, d.w.z. ST = T S voor alle T L(V ). Dan is er een c F zó dat S = c I. 3

4 Duale ruimte Definitie: Voor een vectorruimte V over het lichaam F wordt de ruimte L(V, F) van lineaire functionalen op V de duale ruimte van V genoemd. Notatie: V. Lemma: Als V een eindig-dimensionale ruimte is, dan is ook de duale ruimte V eindig-dimensionaal, en er geldt dim V = dim V. 4

5 Duale basis Zij V een n-dimensionale vectorruimte over F met als basis x 1,..., x n. Dan bestaan er functionalen f 1,..., f n V zó dat f i (x j ) = δ ij, (i, j = 1,..., n). De functionalen f 1,..., f n vormen een basis van de duale ruimte V. Deze basis heet de duale basis t.o.v. de basis x 1,..., x n van V. 5

6 Duale afbeelding Als T : V W een lineaire afbeelding is, dan is voor elke functionaal g op W, de samenstelling g T een lineaire functionaal op V. De afbeelding T : W V gedefinieerd door T (g) = g T, is lineair en heet de duale afbeelding of getransponeerde van T. Lemma: Als T : V W een lineaire afbeelding is, dan geldt ker(t ) = {g W w im(t ) : g(w) = 0}. (in woorden: g is 0 op im(t )). 6

7 Annihilator Definitie: Als M een lineaire deelruimte is van de vectorruimte V, dan is de annihilator van M de deelverzameling van V, bestaande uit alle lineaire functionalen f met de eigenschap dat f(x) = 0 voor alle x M. Oftewel: M = {f V x M : f(x) = 0}. M is een lineaire deelruimte van V, ker(t ) = (im T ). Stelling: Als V een eindig-dimensionale vectorruimte is, en M is een lineaire deelruimte van V, met annihilator M, dan geldt dim M = dim V dim M. 7

8 Stelling: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn, en T : V W is een lineaire afbeelding, dan hebben T en T dezelfde rang. N.B. De nulliteiten van T en T zijn niet noodzakelijkerwijs aan elkaar gelijk. Gevolg: Voor een lineaire afbeelding T : V W tussen twee eindig-dimensionale vectorruimten V en W geldt (i) T is surjectief T is injectief, (ii) T is injectief T is surjectief. 8

9 Matrices V : n-dimensionale vectorruimte over F, met basis {x 1,..., x n }, W : m-dimensionale vectorruimte over F, met basis {y 1,..., y m }, T : V W lineaire afbeelding. Voor alle j {1,..., n} zijn er getallen α ij F, (i = 1,..., m), zó dat T x j = m α ij y i. i=1 9

10 Coëfficiënten α ij, (i {1,..., m}, j {1,..., n}) representeren de afbeelding T t.o.v. de gekozen bases in V en W. α 11 α 1n A = (α ij ) =.. α m1 α mn heet de matrix van T t.o.v. de bases {x 1,..., x n } van V, en {y 1,..., y m } van W. 10

11 Alternatieve definitie: Zij F een lichaam. Een m n matrix over F is een afbeelding A van de verzameling {1,..., m} {1,..., n} naar F: A : (i, j) α ij F, i = 1,..., m; j = 1,..., n De volgende (suggestieve) schrijfwijze wordt veel meer gebruikt: α 11 α 1n A = (α ij ) =.. α m1 α mn 11

12 De α ij F heten de elementen van de matrix A. Hierbij is i de rij-index, en j de kolom-index. ) (α i1 α in F n, i = 1,..., m is de i-de rij van A. α 1j. α mj F m, j = 1,..., n is de j-de kolom van A. Een 1 n matrix heet ook wel een rij-vector en een m 1 matrix heet ook wel een kolom-vector. 12

13 De verzameling m n matrices geven we aan met M m,n (F). Als m = n schrijven we M n (F) M m,n (F) heeft een vectorruimte-structuur (over F): Voor A, B M m,n (F) en α, β F is αa + βb M m,n (F) gedefinieerd door (αa + βb)(i, j) = αa(i, j) + βb(i, j) De nulvector in M m,n (F) is de nulvector O gedefinieerd door: O(i, j) = 0, i = 1,..., m; j = 1,..., n 13

14 Zij T : V W een lineaire afbeelding van de n-dimensionale vectorruimte V naar de m-dimensionale vectorruimte W. Zij x 1,..., x n een basis van V en y 1,..., y m en basis voor W. Voor iedere j {1,..., n} zijn er getallen α ij F, (i = 1,..., m), zó dat T x j = m α ij y i. i=1 De m n matrix (α ij ) heet de matrix van T t.o.v. de bases x 1,..., x n en y 1,..., y m. Matrix afhankelijk van basis en volgorde basisvectoren, Speciaal geval: W = V met basis x 1,..., x n. 14

15 Identiteitsafbeelding I : V V. Zij x 1,..., x n een basis van V. Dan geldt Ix j = n δ ij x i. i=1 Dus t.o.v. iedere basis van V is de matrix van de identiteitsafbeelding I(i, j) = δ ij, i, j = 1,..., n. 15

16 Stelling: Zij A = (α ij ) een m n matrix over F, en zij V een n-dimensionale- en W een m-dimensionale vectorruimte over F. Dan bestaat er voor iedere keuze van bases in V en W een unieke lineaire afbeelding T : V W, zó dat de matrix van T ten opzichte van de gekozen bases gelijk is aan A. 16

17 Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten over F, en veronderstel dat voor zowel V als W een vaste basiskeuze is gedaan. Voor elke lineaire afbeelding T : V W, wordt met M T de matrix van T aangeduid, t.o.v. de gekozen bases. Dan is de afbeelding T M T een bijectieve lineaire afbeelding van L(V, W ) naar M m,n (F) met m = dim W en n = dim V. 17

18 Matrixproduct: Laat A M m,k (F) en B M k,n (F). Dan is AB M m,n (F) gedefinieerd door: (AB)(i, j) = k A(i, l)b(l, j) l=1 18

19 Stelling: Zij U, V, W eindig-dimensionale vectorruimten over F, en zij T : U V en S : V W lineaire afbeeldingen, met samengestelde afbeelding S T : U W. Kies bases in elk van de ruimten U, V, W, en zij M T, M S, en M S T de matrices van de afbeeldingen S, T, en S T ten opzichte van deze bases. Dan geldt: M S T = M S M T. 19

20 Eigenschappen matrixproduct: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC, (AB)C = A(BC), AI = A en IA = A, A0 = 0 en 0A = 0. 20

21 Stelling: M n (F) is een algebra met eenheidselement I. Zij V een n-dimensionale vectorruimte over F met basis x 1,..., x n. Dan is de afbeelding T M T een bijectief algebra isomorfisme van L(V ) naar M n (F) M T 1 = M 1 T, M T n = (M T ) n. 21

22 Zij p : F F een polynoom, p(t) = α 0 + α 1 t + + α n t n, t F Dan is voor iedere A M n (F), p(a) M n (F) gedefinieerd door: p(a) = α 0 I + α 1 A + + α n A n Opmerking: als p = q + r dan geldt p(a) = q(a) + r(a) en als p = qr dan geldt p(a) = q(a)r(a). 22