Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Transcriptie

1 Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

2 Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm van de aangevulde matrix

3 Twee belangrijke begrippen Nulrij: een rij met alleen maar nullen Leidend element: eerste niet nul element in een rij gerekend vanaf links Leidend element Nulrij

4 Speciale vormen van een matrix Echelon vorm: (eindpunt van voorwaartse fase of Gauss elimina1e) Eigenschappen: 1. Alle nulrijen verzameld onderaan de matrix 2. Leidend element in elke rij rechts van leidend element in rij(en) erboven 3. Kolom onder leidend element leeg

5 Speciale vormen van een matrix Gereduceerde echelon vorm: (eindpunt van de achterwaartse fase of Gauss- Jordan elimina1e) Eigenschappen: (1+2+3) en ook: 4. Kolom boven leidend element nu ook leeg 5. Leidende elementen hebben waarde 1 gekregen door schalen

6 Speciale vormen van een matrix Echelon vorm: 1. Alle nul rijen onderaan de matrix 2. Leidend element/pivot in elke rij rechts van leidend element in rij(en) erboven 3. Kolom onder leidend element leeg Gereduceerde Echelonvorm heeq eigenschappen (1+2+3) en ook: 4. Kolom boven leidend element leeg 5. Leidende elementen hebben waarde 1

7 Het hele oplosproces Voorwaartse fase Achterwaartse fase Case 1: x 1 + 5x 2 + 3x 3 =1 2x 1 + x 2 +15x 3 = 8 x 1 + x 2 + 3x 3 =1

8 Bijzondere gevallen van de aangevulde matrix (3) Aangevulde matrix: Hieruit volgt direct het gereduceerde stelsel: x 1 = 2 + x 3 x 2 = 4 + x 3 Er zijn maar 2 vergelijkingen en 3 onbekenden: we mogen een van de variabelen vrij kiezen.

9 De pivots van een matrix n De Pivots (deze getalletjes zelf) De Pivot posi1es (waar ze staan in de matrix) De Pivot kolommen (kolommen waar ze in staan)

10 Basis en vrije variabelen x 1, x 2 : basis x 3 : vrij n De Pivots x 2, x 4,x 5,x 6,x 9 : basis x 1,x 3, x 7,x 8 : vrij De basis variabelen De vrije variabelen

11 Een stelsel met oneindig veel oplossingen x 1 = 8x x 1, x 2 : basis variabelen x 3 : vrije variabele x 2 = x x 3 = vrij De basis variabelen worden uitgedrukt in de vrije variabele(n)! Basis variabelen hangen niet af van andere basis variabelen, alleen van de vrije variabelen.

12 Speciale vormen van een matrix Echelon vorm: GeeQ weer hoe de structuur van de oplossing eruit ziet: Is er überhaupt een oplossing? Is die oplossing uniek of zijn er oneindig veel verschillende? Gereduceerde Echelonvorm: GeeQ de daadwerkelijke oplossing Wil je alleen weten of er een (unieke) oplossing is: Echelon vorm bepalen is dan voldoende!

13 Speciale vormen van een matrix Belangrijk: Echelon vorm is niet uniek! Gereduceerde Echelon vorm is wèl uniek!

14 Speciale vormen van een matrix Belangrijk: De pivotposiaes zijn ook uniek voor een matrix. De gereduceerde echelon vorm is uniek De pivot posiaes veranderen niet wanneer je van de echelon vorm naar de gereduceerde echelon vorm gaat. De pivotposiaes zijn uniek

15 Wat vertelt de echelon vorm? (1) Voorbeeld 1: Wat weet je van de oplossing van het lineaire stelsel dat hoort bij deze aangevulde matrix?

16 Wat vertelt de echelon vorm? (2) Voorbeeld 1: Wat weet je van de oplossing van het lineaire stelsel dat hoort bij deze aangevulde matrix? Pivot in de laatste kolom van de aangevulde matrix? Geen oplossing! (stelsel is inconsistent)

17 Wat vertelt de echelon vorm? (3) Voorbeeld 2: Wat weet je van de oplossing van het lineaire stelsel dat hoort bij deze aangevulde matrix? Is er een oplossing? Is die uniek en zonee, hoeveel parameters bevat de oplossing dan?

18 Wat vertelt de echelon vorm? (4) Voorbeeld 2: Wat weet je van de oplossing van het lineaire stelsel dat hoort bij deze aangevulde matrix? Is er een oplossing? Is die uniek en zonee, hoeveel parameters bevat de oplossing dan? x 1, x 2, x 3, x 4 : basis variabelen x 5, x 6 : vrije variabelen Vrije variabelen?: Geen unieke oplossing! aantal parameters in oplossing = aantal vrije variabelen. Twee dus hier

19 Als het rechter lid 0 is: homogene lineaire systemen x 1 +2x 2 +7x 4 +3x 5 x 6 = 0 +5x 2 +4x 3 +10x 4 +2x 6 = 0 +4x 3 +4x 4 2x 5 +9x 6 = 0 3x 3 = Homogene systemen hebben alajd tenminste 1 oplossing: De triviale oplossing x i =0. Zo n stelsel is dus nooit inconsistent. Als de triviale oplossing de enige oplossing is, dan is er een pivot in elke kolom van de coëfficiënten matrix. Waarom?

20 Resumé oplossen lineaire stelsels Bepaal aangevulde matrix Bepaal echelon vorm Consistent? nee Stop ja Bepaal gereduceerde echelon vorm Stel gereduceerde stelsel op Geef oplossing

21 Het hele oplosproces Case 2: x 1 + 5x 2 + 3x 3 =1 2x 1 + x 2 +15x 3 = 8 x 1 + x 2 9x 3 =1 Case 3: x 1 + 5x 2 + 3x 3 =1 2x 1 + x 2 +15x 3 = 8 x 1 + x 2 9x 3 = 5

22 Bijzondere gevallen van de aangevulde matrix (3) Hieruit volgt de algemene oplossing, die nu 1 parameter bevat: We kiezen ervoor om x 3 aan te wijzen als de vrije variabele: x 1 = 2 + x 3 x 2 = 4 + x 3 x 3 = free x = 2 + x x 3 x 3 = x 3 x 3 x 3 = x = t 1 1 1, t R Dit is de geparametriseerde vector vorm van de oplossing

23 Lineair voor CT College 2b Vectoren 1.3 Duncan van der Heul

24 Vectoren in R n Vectoren in R n zijn kolommen met n getallen (n componenten):! u = u 1 u 2 u n Vectoren met 2 of 3 componten kun je tekenen!

25 Vectoren(1) Vectoren zijn bedoeld om grootheden met een groo;e en een rich<ng te representeren. AB a

26 De componenten van een vector x 2! a b b (a, b) 0 a x 1

27 Vectoren(2) Vectoren kun je optellen volgens de driehoeksregel. b a a + b a b

28 Vectoren(2) Vectoren kun je vermenigvuldigen met een reëel getal c. ca, c >1 a ca, 0 < c <1 ca, c < 1 ca, 1< c < 0

29 De lengte van een vector Met de stelling van Pythagoras: b 2D c 3D b! a = a b! a = a = a 2 + b 2 a = a 2 + b 2 + c 2 a a a b c

30 Rekenregels voor vectoren in R n Nulvector:! 0 = 0 0 0

31 Een lineaire combinaae van vectoren in R m Een Lineaire combina<e is een uitdrukkking van de vorm c 1 v + c v c n v n waarin v 1,,v n vectoren zijn in R m en c 1,,c n de gewichten van de lineaire combinaae.

32 Een lineaire combinaae van vectoren in R m

33 Een vectorvergelijking De vectorvergelijking! 1 x 1 2! 2 + x 2 3! = 1 8 is een vergelijking van de vorm x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b x, x, 2, De onbekenden zijn de gewichten in de lineaire combinaae met gegeven vectoren a 1,, a n 1 x n

34 Een vectorvergelijking en een aangevulde matrix Samengevat: de vectorvergelijking x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b is equivalent met het stelsel vergelijkingen waarvan de aangevulde matrix gelijk is aan! a 1 a 2 a n b

35 Het opspansel van een verzameling vectoren(1) Het opspansel van vectoren a 1,, a n is de verzameling van alle lineaire combinaaes van a 1,, a n : Span {a 1,, a n } = verzameling van alle vectoren van de vorm c 1 a c n a n

36 Het opspansel van een verzameling vectoren(2) Neem aan dat u, v vectoren zijn in R 3 Wat moet je je voorstellen bij Span {u}? En wat bij Span {u,v}?

37 Verzamelingen van vectoren, met speciale eigenschappen (1) V is een deelruimte van R n als V een verzameling van vectoren in R n is, met de volgende eigenschappen: De nulvector 0 zit in V Voor elke u en v uit V geldt dat de som van u en v óók in V zit. Voor elke v uit V en elk reëel getal c geldt dat cv óók in V zit.

38 Voorbeeld van een deelruimte (1) V is een lijn door de oorsprong x 2 + = V 0 x 1

39 Voorbeeld van een deelruimte (2) V is een lijn door de oorsprong x 2 c = d = V 0 x 1

40 Voorbeeld van een deelruimte (3) V is een vlak door de oorsprong + = x 3 V x 2 x 1 0

41 Voorbeeld van een deelruimte (4) V is een vlak door de oorsprong x 3 c = V x 2 x 1 0

42 Voorbeeld van geen deelruimte W is een lijn NIET door de oorsprong x 2 + = W 0 x 1