Ter Leering ende Vermaeck

Transcriptie

1 Ter Leering ende Vermaeck 15 december Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel reflexief en transitief. 3. Druk de exclusieve óf uit in de gebruikelijke logische operatoren. 4. Voor welke x R geldt: 2x = 14 x 7? 5. Voor welke x R geldt: x = 2 x = 3? 6. Ontken de volgende uitspraak: x R : y R : z R : x(x y)z = Is de uitspraak x R : y R : z R : x(x y)z = 0 waar? 8. Bewijs met volledige inductie naar n: n Z >1 : n 2 > n. 9. Geef in R een voorbeeld van een niet-rationale Cauchy-rij die naar 0 convergeert. 10. Bewijs: als {a i } i=1 een reële Cauchy-rij is, dat voor iedere λ R de rij {λa i } i=1 ook Cauchy is. 11. Verifieer dat de standaard inbedding van Q in R compatibel is met de optelling en vermenigvuldiging. 12. Bestaat er een niet-lege verzameling van positieve reële getallen zonder infimum in R? Zo ja, geef een voorbeeld. Zo nee, bewijs dat. 13. Maak een equivalentierelatie op Z met oneindig veel eindige equivalentieklassen. 14. Maak een equivalentierelatie op Z met oneindig veel oneindige equivalentieklassen. 1

2 15. Maak voor jezelf of vooral voor een ander aannemelijk (of bewijs!) dat reële Cauchy-rijen in R convergeren. Doe dit door naar de decimale ontwikkelingen van de rij-elementen te kijken. 16. Iemand stelt voor een variant op Cauchyrijtje te definiëren als volgt: ǫ 0 N : i,j > N : a i a j ǫ. Wat voor rijtjes voldoen hieraan? Zijn deze Cauchy? 17. Iemand stelt voor de definitie van convergentie wat aan te passen en een nieuwe eigenschap van rijtjes te omschrijven met: ǫ > 0 N : i > N : a a i > ǫ. Wat voor rijtjes voldoen hieraan? Kunnen die convergent zijn? 18. Een graaf is gericht als alle verbindingen een richting hebben. Als er een tak is tussen knoop A en knoop B en de tak is naar B gericht, dan is A het beginpunt en B het eindpunt van de tak. Zij een gerichte keten in een gerichte graaf een rijtje takken zodanig dat er geen takken dubbel in zitten en het eindpunt van de eerste het beginpunt van de tweede tak is, het eindpunt van de tweede tak het beginpunt van de derde is enz.. Aan welke voorwaarden moet een samenhangende gerichte graaf voldoen om een gerichte eulerse keten te bevatten? 19. In de stelling van Euler (die met n m+r = 2) staat niet als voorwaarde dat de graaf enkelvoudig moet zijn. Is dat eigenlijk wel terecht? 20. Als we nu eens grafen op een torus gaan tekenen (de buitenkant van een fietsband) en we denken na over de stelling van Euler, gebeurt daar iets interessants? 21. Teken een vlakke representatie van een vlakke graaf zonder een knoop met een graad kleiner of gelijk aan Vereenvoudig naar de vorm a+bi, waar a,b R: 2 3i 5+i 1+4i 3+3i + 2 i 5 5i 23. Waarom wordt in de stelling van Cantor (R is niet aftelbaar) eigenlijk afgesproken dat de notatie met repeterende 9 wordt vermeden? 24. Geef alle complexe oplossingen van: (a) z 2 = 27 (b) z 3 = 3+i (c) (z +2i) 4 = 1+i 2

3 25. Het is bekend dat Q aftelbaar is en R overaftelbaar. Maar hoe zit het met de equivalentieklasse van een Cauchy-rij? Hebben die allemaal dezelfde kardinaliteit? Zo ja, welke? Zo nee, welke zijn dan aftelbaar en welke overaftelbaar? 26. (a) Is associatief? (b) Geldt: (A B) = ( A) ( B)? Zo nee, waar is (A B) dan wel gelijk aan? 27. Zij X R met X = [0, ). Heeft de verzameling X een infimum? Een supremum? Een maximum? Een minimum? 2 Lineaire Algebra 1. Geef een voorbeeld van een afbeelding tussen twee vectorruimtes die niét lineair is. 2. Gegeven zijn de lijn l door de oorsprong die een hoek α met de x-as maakt en de lineaire afbeelding f: R 2 R 2 die een willekeurige vector op zijn lijnspiegeling in de lijn l afbeeldt. Vind de matrix A zodanig dat f(x) = Ax voor alle x R Neem willekeurige, inverteerbare matrices A en B. Dan is de inverse van de samenstelling van die matrices, (AB) 1, niet altijd gelijk aan A 1 B 1. (a) Waarom niet? (b) Hoe kan je de inverse van AB wel als een vermenigvuldiging van de inversen van A en B schrijven? (c) Voor welke matrices A en B geldt (AB) 1 = A 1 B 1 wel? 4. Inverteerbare matrices: (a) Geef een voorbeeld van een (vierkante) matrix die niet inverteerbaar is. (b) Kun je zonder rijoperaties toe te passen al zien of een (vierkante) matrix inverteerbaar is of niet? Zo ja, hoe? 5. In het dictaat van lineaire algebra 1 staat een lemma: Stel V is een vectorruimte en deze vectorruimte bevat twee deelverzamelingen S en T. Dan geldt de gelijkheid L(S) + L(T) = L(S T). Met andere woorden, de som van twee deelruimtes wordt voortgebracht door de vereniging van een verzameling van voortbrengers voor een van de ruimtes en een verzameling van voortbrengers van de ander. Vraag: 3

4 Wat gebeurt er als een van de twee deelverzamelingen de lege verzameling is? Geldt het lemma dan nog steeds? En als beide deelverzamelingen de lege verzameling zijn? 6. Zijn de volgende uitspraken waar voor alle v 1,v 2,v 3 R n? (a) L(v 1,v 2,v 3 ) = L(v 1 v 2,v 2 v 3,v 3 ) (b) L(v 1,v 2,v 3 ) = L(v 1 v 2,v 2 v 3,v 3 v 1 ) (c) L(v 1,v 2,v 3 ) = L(v 1 v 2,v 2 v 3 2v 1,v 3 +v 1 ) (d) L(v 1,v 2,v 3 ) = L(v 1 v 2,v 2 v 3,2v 3 v 1 ) 7. Is het kwadraat van een een niet-nul matrix ook altijd een niet-nul matrix? 8. Wat is de determinant van de matrix die hoort bij de afbeelding die ieder element x van de R 2 stuurt naar 2x? 3 Analyse 1. Geef een voorbeeld van een functie die niét continu is. 2. In de tussenwaardestelling staat dat de functie continu moet zijn. Is deze voorwaarde nodig? Zo ja, geef een tegenvoorbeeld! 3. Een opgave bij analyse luidt: De stelling van Rolle: Bekijk een f : [a,b] R, continu met f(a) = f(b). Als f differentieerbaar is op (a,b), dan bestaat er een c (a,b) zodat f (c) = 0. (a) Bedenk een voorbeeld waarbij f(a) f(b), maar er wel zo n c bestaat. (b) Is de voorwaarde f(a) = f(b) dan overbodig? Geef een tegenvoorbeeld. 4. Is er een functie f : [0,1] R die discontinu is in ieder punt? Geef een bewijs of tegenvoorbeeld. 5. Is er een continue functie f : [0,1] R die niet differentieerbaaris in ieder punt? Geef een bewijs of tegenvoorbeeld. 6. Volgens de hoofstelling van de integraalrekening moet f : [a,b] R continu zijn. Moet F : [a,b] R ook continu zijn? 7. Beschouw 1 met p > 0. Voor welke p geldt dat deze integraal conver- xp gent is? 1 0 4

5 8. Geef een voorbeeld van een limiet die bepaald kan worden m.b.v. de l Hôpital door 3x te differentieren. 9. Geef een voorbeeld van een functie f: [a,b] R die niet begrensd is. 4 Wiskundige Structuren 1. Is de verzameling der priemgetallen aftelbaar of overaftelbaar? 2. De verzameling V heeft 20 elementen. We maken een deelverzameling A van V en doen 3 van de 20 elementen in A. We maken een deelverzameling B van V en doen 4 van de 20 elementen in B. (De deelverzamelingen A en B worden gelijktijdig gemaakt.) Hoe groot is de kans dat A en B disjunct zijn? 3. Hebben de verzamelingen {a Z : 2a < 1} en {q Q : q 2 < 2} suprema? In Z? In Q? In R? 4. Kan een functie meer dan één inverse hebben? 5. Bij de axioma s voor Z staat het axioma dat Z niet eindig is. Waarom is dit axioma niet aanwezig bij de axioma s voor N? 6. Wat voor elementen zitten in de intervallen [4,4],[6,6),(3,3) in R? 7. Wat zijn de verdichtingspunten van de verzameling R\[0, 1]? 8. Laat D R en f,g: D R uniform continu zijn. We hebben bewezen dat als de functies f en g uniform continu zijn, dat dan f +g ook uniform continu is. Geldt dan ook dat f g uniform continu is? Enjoy!! 5