1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks

Transcriptie

1 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering zo helder mogelijk. 1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks a n (waar de a n reelle getallen zijn). (b) Zij {a n } n 1, {b n } n 1 rijen van reelle getallen. Voor N N definieer de partielle som B N = N b n. Bewijs dat voor alle M N geldt: a n b n = a N B N a M B M 1 (a n+1 a n )B n. (c) Gebruik (a) om te bewijzen: Als de rij {B k } k 1 begrensd is en de a n positive getallen zijn die monotoon naar nul dalen, dan convergeert de reeks a nb n. (d) BONUS: Redeneer dat (b) ook geldt als de a n complexe getallen zijn, en gebruik dit om te laten zien dat e iαn n β convergeert als β > 0 en α 2πZ. 2. (a) Formuleer de tussenwaardestelling. (b) Bewijs de tussenwaardestelling. (c) Geef voorbeelden voor een niet-continue functies waarvoor de conclusie van (a) (i) niet geldt, (ii) wel geldt. 3. Een functie f : (a, b) R heet convex als tf(c) + (1 t)f(d) f(tc + (1 t)d) geldt voor alle c, d met a < c d < b en t (0, 1). (a) Maak een schets ter illustratie van deze conditie. (b) Bewijs: f : (a, b) R is convex d.e.s.d.a. voor alle c, d, x met a < c < x < d < b. f(d) f(x) d x (c) Bewijs: Als f differentieerbaar is op (a, b) dan is f convex de afgeleide f is zwak monotoon stijgend (=niet-dalend) op [a, b]. Z.O.Z.

2 Tentamen Analyse 1 WP001B 2 4. Zij I R een begrensd interval is (dus (a, b), (a, b], [a, b) of [a, b]) en f : I R een functie. (a) Geef een volledige definitie van Riemann integreerbaarheid van f. (b) Geef de definitie van uniforme continuiteit van f. (c) Bewijs: Als f uniform continu is dan is f Riemann integreerbaar. 5. Zij f : [a, b] R continu. Bewijs dat er een c (a, b) is zodat f = (b a)f(c). [a,b] Normering Opgave Gratis Totaal Punten Het onafgeronde tentamencijfer T is het totaal aantal behaalde punten gedeeld door 5.

3 Tentamen Analyse 1 WP001B 3 Uitwerking (summier) 1. (a) Voor elk ε > 0 is er een N N zodat N n m m k=n a k < ε. (b) Als we definieren B 0 = 0 dan geldt voor alle M N: a n b n = a n (B n B n 1 ) = a n B n a n B n 1 = = a N B N a M B M 1 + a n B n 1 a n+1 B n B n (a n a n+1 ), (1) soals beweerd. (Bewijs met inductie kan natuurlijk ook, maar is onnodig ingewikkeld!) (c) Zij C > 0 zodanig dat B n C voor alle n. Met a + b a + b volgt uit (1) dat a n b n a N B N + a M B M 1 + B n (a n a n+1 ) ( ) C a N + a M + a n a n+1 (2) Gezien de rij {a n } monotoon dalend is geldt a n a n+1 0 voor alle n. Verder geldt a n 0 voor alle n. We mogen dus alle absolute waarde tekens aan de rechterkant van (2) weglaten. Maar a n a n+1 = (a M a M+1 ) + (a M+1 a M ) + + (a a N ) = a M a N. Hiermee wordt (2) a n b n C(a N + a M + a M a N ) = 2Ca M. Gezien {a n } naar nul konvergeert volgt dat de reeks n a nb n aan het Cauchy criterium voldoet en dus convergeert. (d) De bewering in (b) is puur algebraisch en geldt duidelijk ook als de b n complex mogen zijn. Om te zien dat de conclusie van (c) ook geldig blijft hebben wij alleen nodig dat a + b a + b ook voor complexe getallen geldt. Bekijk nu a n = 1/n β en b n = e iαn. Voor β > 0 is het duidelijk dat de rij {a n } monotoon dalend naar nul convergeert. Met de formule voor eindige meetkundige sommen geldt B N = b n = e iαn = (e iα ) n = 1 (eiα ) N e iα De aanname α 2πZ implicieert e iα 1, de noemer is dus niet nul. Het complex getal e iα heeft absolute waarde 1, hetzelfde geldt dus voor (e iα ) N+1. Hiermee volgt dat de rij B N begrensd is. Nu kunnen wij (c) toepassen en concluderen dat n a nb n convergeert.

4 Tentamen Analyse 1 WP001B 4 2. (a) Zij f : [a, b] R continu en y tussen f(a) en f(b). (D.w.z. f(a) y f(b) of f(b) y f(a).) Dan is er een x [a, b] zodat f(x) = y. (b) Zie Tao Theorem (c) Zij [a, b] = [0, 2]. (i) De functie f(x) = 0 voor x [0, 1] en f(x) = 1 voor x (1, 2] neemt duidelijk geen waarde tussen 0 en 1 aan. (ii) De functie f(x) = x voor x [0, 1] en f(x) = x 1 voor x (1, 2] is niet continu. Maar toch neemt f elke waarde tussen f(0) = 0 en f(1) = 1 aan. 3. (a) De functie t tf(c) + (1 t)f(d) is de lineaire functie door de punten (c, f(c)) en (d, f(d)). Convexiteit van f betekent dus dat in alle intervallen (c, d) (a, b) de grafiek van f onder de genoemde lineaire functie ligt. (b) Als c < d en t (0, 1) dan geldt voor x = tc + (1 t)d dat x (c, d). Omgekeerd is er voor elk x (c, d) een uniek t (0, 1) zodat x = tc + (1 t)d, namelijk t = d x. d c Met dit t geldt tf(c) + (1 c)f(d) = d x ( d c f(c) + 1 d x ) f(d) d c = d x d c f(c) + d c f(d) Convexiteit van f is dus equivalent aan (d x)f(c) + ()f(d) (d c)f(x) x (c, d). Met (d c)f(x) = (d x)f(x) + ()f(x) wordt dit wat duidelijk equivalent is aan dus aan (d x)f(c) + ()f(d) (d x)f(x) + ()f(x), ()f(d) ()f(x) (d x)f(x) (d x)f(c), ()(f(d) f(x)) (d x)(), en delen door de (positive!) factor ()(d x) geeft de bewering. Alle stappen werken ook andersom, we hebben dus een equivalentie. (c) Zij f convex en a < c < x < x < d < b. Met de in (b) bewezen equivalentie hebben wij Gezien f differentieerbaar is geldt lim c x en dus f (x) f (x ), en f is niet-dalend. f(d) f(x ) d x. (3) = f f(d) f(x ) (x), lim = f (x ), d x d x

5 Tentamen Analyse 1 WP001B 5 Stel f is niet dalend en zij a < c < x < x < d < b. Met de middenwaardestelling zijn er y (c, x) en y (x, d) zodat f (y) =, f (y ) = f(d) f(x ) (4) d x Uit c < y < x < x < y < d volgt natuurlijk y < y, dus f (y) f (y ) en als wij dit met (4) combineren volgt (3), dus convexiteit van f. 4. Staat alles in Tao, Analysis I: (a) Definition , maar het is handig om voor f, f de beschrijving door U(f, P ), L(f, P ) te gebruiken, zie Proposition (b) Tao Definition (c) Tao Theorem Definieer F (x) = f. Gezien f continu is volgt met de eerste hoofdstelling van [a,x] de analyse dat F overal differentieerbaar is met F (x) = f(x). Verder geldt F (a) = 0, F (b) = f. Toepassing van de middenwaardestelling op F geeft dat er een [a,b] c (a, b) is zodat f [a,b] b a = F (b) F (a) b a = F (c) = f(c).