Universiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14

Transcriptie

1 Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het Voor reesen zijn meer convergentietesten: absolute convergentie impliceert convergentie, afschatten met absoluut convergente rij, ratiotest, integraaltest, worteltest, enzovoorts Let op bij het verwisselen van oneindige sommen (en integralen)! Als alles absoluut convergeert gaat het eigenlij altijd goed Als je daadwerelij een limiet moet bepalen, reen eerst een aantal termen uit en vorm een vermoeden Beij oo het verschil van de partiële sommen met je vermoeden Dit geldt uiteraard oo voor algemene rijen Het an vaa helpen om breuen te splitsen Soms rijg je een mooie telescooprees Let wel op oo dan de partiële sommen convergeren Vaa is in deze gevallen het verschil van de partiële sommen met de limiet erg mooi! Heren machtreesen geëvalueerd in een specifie punt! De volgende machtreesen moet je echt weten, de rest an je afleiden: in het bijzonder e x = ( + x) α =! voor x R; ( ) α voor x < ; x = voor x < Bijvoorbeeld vinden we door te integreren dat log( x) = = voor x < Je mag natuurlij niet alles invullen op een machtrees Stel bijvoorbeeld dat een formele machtrees a absoluut convergeert voor x < r, dan geeft dit een continue functie f(x) op ( r, r) We unnen niet zomaar ±r invullen Geluig is er de volgende stelling: Stelling (Stelling van Abel) In de situatie als hierboven: als de formele machtrees convergeert voor x = r met limiet l, dan geldt l = lim x r f(x) Oftewel, als de machtrees convergeert op de rand, dan is de limiet wat je verwacht Beden dat een vooromen van de extra index in de teller of nummer an wijzen op het differentiëren of integreren van een beende machtreesontwieling

2 Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Zijn de termen van je rees precies de s-de termen met s a mod m van een beende machtrees, gebrui complexe m-de-machtseenheidswortels Ga wel na of de machtrees convergeert op de eenheidscirel Beijen deze strategie op de volgende opgaven, die we op meerdere manieren zullen oplossen Voorbeeldopgave Bepaal n= n(n + ) Mer op dat de rees enel positieve termen heeft en begrensd is door bijvoorbeeld n= voor α = Aangezien we weten dat zule reesen convergeren voor α > (ies je favoriete convergentietest) convergeert de rees in de opgave oo Nu gaan we eerst maar eens wat termen uitreenen Daartoe definiëren we en beijen we de volgende tabel: s = n= n α n(n + ) (+) s Nu rijgen we het vermoeden dat s = +, wat we natuurlij testen voor = en vervolgens met inductie unnen bewijzen Het volgt nu eenvoudig dat s voor Stel nu dat we de regelmaat in s niet zagen, dan is een nuttige volgende stap om in ieder geval te bedenen wat de limiet zou moeten worden Die lijt in de tabel wel te zijn en dan unnen we nu ijen naar het verschil van s met 6 0 s Nu zien we dat s = + en zien we dat de s inderdaad naar convergeren Hoe we dit oo hadden unnen zien is door breuen te splitsen: er bestaan A en B zo dat voor alle n geldt n(n + ) = A n + B n + Hieruit volgt dat A = en B = en dus ( s = ) ( + ) + ( ) ( + + ) = + + Er is echter nog een manier, die hier zeer niet de meest directe is We unnen de som namelij zien als de machtrees x n n(n + ) = x + x 6 + x + n=

3 Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee geëvalueerd in x = Nu lijt x n+ n(n+) heel erg op een tweemaal geïntegreerde vorm van xn dus we verschuiven de machten naar f(x) = n= Dit is dus de machtrees verregen door x tweemaal te integeren Dat is dus een integraal van en dat levert x n+ n(n + ) = x + x 6 + x + log( x) + C ( x) log( x) ( x) + Cx + D Nu moeten we C en D bepalen, maar we weten f(0) = D en f (0) = C Dus C = 0 en D = en we vinden dat f(x) = ( x) log( x) + x voor x < aangezien dat oo het convergentiegebied voor x is We weten geluig al dat de rees convergeert voor x = en dus volgt met de stelling van Abel dat de limiet van de rees gelij is aan f() = Opgaven Opgave Bepaal Opgave Bereen Opgave Wat is de limiet van 0! +! +! ? Opgave Vind een rationale functie f(x) zo dat voor alle reële x met x < geldt dat convergeert naar f(x) x x + + x (x + )(x + ) + x (x + )(x + )(x + ) + In de volgende opgave zijn F i de Fibonacci-getallen gegeven door F 0 = = F Opgave Bepaal a) b) n= n= F n F n F n+ ; F n F n+

4 Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Opgave 6 Dru uit als rationaal getal = 6 ( + + )( ) Opgave 7 Bereen het oneindige product n= n n + Opgave 8 Bepaal Opgave 9 Bepaal Opgave 0 Bereen Opgave Bepaal n= n= n n n(n + ) n n + n + ( lim n n + n ) n Opgave Definieer een rij a 0, a, door a 0 =, a = en a n+ = na n + (n + )a n voor n Laat zien dat de rees Opgave Bepaal a + a convergeert en bepaal de limiet Opgave Vind alle reële getallen α > 0 waarvoor geldt dat n= 0 (n + α)(6n + 0) = Opgave Bereen ( ) n n + Opgave 6 Bereen ( + )( + )( + )( + ) =

5 Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Opgave 7 Bereen het rationale getal Opgave 8 Bepaal de waarde van n= m= n= m= m n + mn + mn m n m (n m + m n ) Opgave 9 Bereen de limiet n= n(9n ) Opgave 0 Zij een positief geheel getal Bereen Opgave Bereen n = n = n = n n n (n + n + + n + ) arccot(n + n + ) waar arccot t voor t 0 gedefinieerd is als de uniee θ (0, π ] met cot θ = t Opgave Bepaal de waarde van n= ( ln + ) ( ln + ) ( ln + ) n n n +