1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

Transcriptie

1 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift Andere gevallen Rijen met de grafische rekenmachine Rekenkundige, meetkundige en harmonische rij Rekenkundige en meetkundige rij Harmonische rij Oefeningen Limiet van een rij Instap Eindige limieten Instap Algemeen Oneindige limieten Voorbeeld Besluit Stelling Enkele standaardlimieten Rekenregels voor eindige limieten Rekenregels voor oneindige limieten Toepassingen Oefeningen 22

2 2 1 Limiet van een rij 1.1 Het begrip rij In het vierde jaar kwamen getallenrijen reeds aan bod. Jullie bestudeerden de rekenkundige rijen, de meetkundige rijen, de harmonische rijen en enkele bijzondere rijen, waaronder de rij van Fibonacci. We veralgemenen nu het begrip rij en gaan op zoek naar de limiet van een rij. Hierbij staat het begrip convergentie van een rij centraal. Een rij is een afbeelding van N 0 in R Voor een rij f geldt dus: f: N 0 R: n f(n) Met elk natuurlijk getal n, verschillend van nul, komt dus één reëel getal f(n) = un overeen. De natuurlijke orde 1, 2, 3, van N 0 geeft ook een volgorde van de beelden f(n) = un. In het algemeen kunnen we een rij als volgt noteren: (un): u1, u2, u3,.. un,. Elk element heeft dus een volgnummer dat we als index noteren. De elementen van een rij noemen we de termen van een rij. De n-de term (algemene term) van een rij is un. Voorbeelden: rij van de even natuurlijke getallen met un = 2n-2: rij van de priemgetallen: rij met un = 1 n : met un = n : rij van Fibonacci : met un = n = n! : 1.2 Bepaling van een rij Een rij is volledig bepaald als we voor elk volgnummer de bijbehorende term kunnen berekenen. Dit kan gebeuren op verschillende manier: Expliciet voorschrift Bij sommige rijen kunnen we een formule un : f(n) vinden die ons toelaat un te berekenen voor een willekeurig n. We zeggen dan dat de rij bepaald is door een expliciet voorschrift. Met zo n formule kan je elke term van de rij direct berekenen. Voorbeeld: 1, 7 4, 17 9, 31, , (vul aan met het expliciet voorschrift van de rij)

3 Recursief voorschrift Bij sommige rijen kunnen we een formule un+1 = f(un) vinden die ons toelaat een term te berekenen uit één of meer voorgaande termen. We spreken dan van een recursief voorschrift. Met zo n formule bereken je de termen indirect, namelijk door voorgaande termen te gebruiken. Omdat de rij bepaald zou zijn, moet je ook de startwaarde(n) kennen, meestal de eerste term(en) van de rij. Voorbeelden: 2, 4, 8, 16, 32, recursieformule: De rij van de natuurlijke even getallen: 0, 2, 4, 6, 8, recursieformule: De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, recursieformule: 1, 2, 6, 24, 120, recursieformule: Andere gevallen Denk niet dat je bij elke rij zo maar een formule kunt geven. Er zijn rijen waarbij het zelfs onmogelijk is een expliciet of een recursief voorschrift te vinden. Voor bijvoorbeeld de rij van de priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11, ) heeft men tot nu toe geen enkel verband gevonden tussen de opeenvolgende termen Rijen met de grafische rekenmachine De rekenmachine bezit een instelling waarmee je allerlei problemen over getallenrijen snel kunt oplossen. Je kunt zowel expliciete als recursieve formules invoeren. Eerst moet je de instelling van Func (van functies) in het MODE-menu veranderen in SEQ (van sequences = rijen). Laten we even het voorbeeld onderaan pagina 2 hernemen. We controleren of deze rij een grenswaarde heeft.

4 4 Taak: Bereken met de TI-84 de 25 ste term van de rij van Fibonacci Bereken de eerste tien termen van de rij 1, 2, 6, 24, 120, op 2 manieren, namelijk door het invoeren van een expliciet voorschrift en een recursief voorschrift. 1.3 Rekenkundige, meetkundige en harmonische rij Rekenkundige en meetkundige rij

5 Harmonische rij De rij 1, 1 2, 1 3,, 1 n, met u n = 1 n is een harmonische rij. Algemeen geldt voor een harmonische rij: = 2 u n 1 u n+1 u n Als a, b en c drie opeenvolgende termen zijn van een harmonische rij, dan is 2 b = 1 a + 1 c en b is het harmonische gemiddelde van a en c Oefeningen

6 6

7 7 1.4 Limiet van een rij Instap Voorbeeld 1: Beschouw de rij ( 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, ) voor sterk toenemende waarden van n. De algemene term van de rij is: u n = n n+1 De grafiek bestaat uit losse punten die horen bij de discrete waarden n = 1, 2, 3, Je kunt zo n grafiek met je GRM maken als je hem in de rij -mode zet. We merken dat un bij stijgende waarden van n steeds dichter tot 1 nadert. Dit wordt ook bevestigd door de onderstaande tabel: De termen van deze rij naderen uiteindelijk een vaste waarde 1. We zeggen dat de rij convergent is en dat ze naar 1 convergeert. De bijbehorende vaste waarde 1 heet de limiet van de rij of lim n + u n = 1

8 8 voorbeeld 2: Beschouw de rij (2, 5, 10, 17, ) voor sterk toenemende waarden van n. De algemene term van de rij is un = n² + 1. We merken dat un, bij stijgende waarden van n onbegrensd toeneemt. Dit wordt ook bevestigd door de onderstaande tabel: De termen van deze rij nemen onbeperkt toe. We zeggen dat de rij divergent is en dat ze naar + divergeert. De limiet van de rij is + of lim n + u n = +. Voorbeeld 3: Beschouw de rij ( 1, 4, 9, 16, ) voor toenemende waarden van n De algemene term van de rij is u n = ( 1)n.n² n+1. We merken dat un bij stijgende waarden van n onbegrensd toeneemt. Dit wordt ook bevestigd in de onderstaande tabel: De termen van deze rij worden in absolute waarde oneindig groot. Hun echte waarde schommelt echter voortdurend en met steeds grotere sprongen. We zeggen dat de rij divergent is en dat er geen limiet bestaat. Hier heeft un geen limiet als n naar + gaat.

9 9 1.5 Eindige limieten Om het begrip limiet precies te kunnen definiëren, moeten we op een wiskundig correcte wijze omschrijven wat naderen tot betekekent Instap Beschouw de rij (2, 1, 4, 3, 6, ). De rij aanvullen is niet zo moeilijk. In de noemer bijtellen, in de teller beurtelings 1 aftrekken of 3 bijtellen. De algemene term bepalen we als volgt: (2, 1 2, 4 3, 3 4, 6 5, ) = (1 + 1, 1 1 2, , 1 1 ( 1)n+1 ) = (1 + ) = u 4 n n We kunnen de grafiek van deze rij door de GRM laten tekenen. Deze rij convergeert naar 1, m.a.w. lim n + u n = 1 Grafisch wil dit zeggen dat de punten (n, un) definitief te vangen zijn in elk strook rond y = 1, hoe smal ook. Neem een strook met breedte 0,4 (0,2 boven en 0,2 onder de rechte y = 1). We beschouwen dus het interval ]0,8 ; 1,2[. Uit deze grafiek blijkt dat vanaf n = 6 de termen in dit interval liggen. We rekenen dit na: als n 6 dan is: u n 1 = ( 1)n+1 = 1 n n 1 6 < 0,2 Dus voor n>5 liggen dus alle termen van de rij in ]0,8 ; 1,2[. Neem een strook met breedte 0,2 (0,1 boven en 0,1 onder de rechte y = 1). We beschouwen dus het interval ]0,9 ; 1,1[. Door in te zoomen of door te grafiekpunten te volgen (TRACE) kun je op de volgende grafiek nagaan dat vanaf n = 11 de punten strikt binnen de strook gevangen zijn.

10 10 We rekenen dit na: als n 11 dan is: u n 1 = ( 1)n+1 = 1 n n 1 11 < 0,1 Dus voor n>10 liggen dus alle termen van de rij in ]0,9 ; 1,1[. Analoog: voor n > 100 liggen alle termen in ]0,09 ; 1,01[ want un-1 < 0,01 voor n > 1000 liggen alle termen in ]0,009 ; 1,001[ want un-1 < 0, Algemeen Opmerkingen: convergeren op 1 punt richten divergeren uiteenwijken ]a-, a+ [ noemt men een basisomgeving van a met straal. In symbolen: Ba = B(a, ) = ]a-, a+ [ = {x x R en a ε < x < a + ε} = {x x R en x a < ε}

11 Oneindige limieten Voorbeeld Beschouw de rij (2, 5, 10, 17, ) voor sterk toenemende waarden van n. De algemene term van de rij is un = n² + 1. Uit de grafiek van de rij leid je af dat de termen van deze rij willekeurig groot worden, met andere woorden, ze overstijgen elke getal r op voorwaarde dat we n groot genoeg maken. nemen we r = 100 u9 = 82 en dus kleiner dan r u10 = 101, u11 = 122, u12 = 145 en alle volgende termen zijn groter dan 100 nemen we r = 1000 u31 = 962 en dus kleiner dan r u32 = 1025, u33 = 1090, u34 = 1157 en alle volgende termen zijn groter dan 1000 nemen we r willekeurig in R 0 + u n = n > r n 2 > r 1 n > r 1 r>1 Kies n 0 r 1, dan geldt : n > n 0 n > r 1 u n > r Besluit Hoe groot we het getal ook nemen, steeds kan men een rangnummer vinden zodat alle termen van de rij vanaf dat rangnummer groter zijn dan r. We hebben dus aangetoond dat r R 0 + : n 0 N 0 : n N 0 : n > n 0 u n > r We noteren dit als lim n u n = +

12 12 Analoog hebben we: Voorbeeld: De rij -1, -2, -4, -8, -16, -32, heeft - als limiet. Toon dit aan met behulp van de definitie. Opmerking: We hernemen de rij ( 1, 4, 9, 16, ). Dit is een schommelende of een alternerende rij. De termen van deze rij worden in absolute waarde oneindig groot. Hun echte waarde schommelt echter voortdurend en met steeds grotere sprongen. De limiet van deze rij bestaat niet. Nemen we bijvoorbeeld r = 100. Welk rangnummer n0 we ook kiezen, er zijn altijd termen voorbij n0 die kleiner zijn dan 100, namelijk de negatieve termen. In dat geval zeggen we ook dat de rij divergent is.

13 Stelling Bewijs: Het is mogelijk dat een rij (un) geen limiet heeft. In dit geval is de stelling waar. Als de rij een limiet heeft, dan moeten we bewijzen dat er slechts één getal b als de limiet van un in aanmerking komt.

14 Enkele standaardlimieten 1 ( = klein) groot 1.8 Rekenregels voor eindige limieten Taak: Beschouw de rijen u n = n en v n = 1 1 n Bepaal grafisch lim n + u n en lim n + v n Door de termen met een zelfde volgnummer op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen, bekomen we de somrij (un + vn), de verschilrij (un vn), de productrij (un.vn) en de quotiëntrij ( u n v n ).

15 15 Controleer de juistheid van de volgende beweringen: Toepassingen: Ga zelf na hoe de rekenregels en de standaardlimieten zijn gebruikt.

16 16 Opmerking: In de bovenstaande voorbeelden is de limiet van de breuk telkens gelijk aan de limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen in teller en noemer. Dit is logisch omdat voor grote waarden van n de hoogstegraadstermen sterk gaan overheersen.

17 Rekenregels voor oneindige limieten Beschouw de rijen met voorschrift un = n² + 1 en vn = n² We weten al dat lim n u n = + en lim v n = + n Bereken nu de limiet van de somrij, de verschilrij, de productrij en de quotiëntrij. Bewijs voor de somrij:

18 18 Op een analoge manier kan je een bewijs leveren voor de productrij! Symbolische voorstelling van de stelling: Ook over de volgende uitdrukkingen kunnen we een algemene uitspraak doen. Deze kun je kun bewijzen met behulp van de definities van limieten.

19 19 Opmerking: Is (+ ) (+ ) = 0? We onderzoeken vier limieten van het type (+ ) (+ ) Het besluit is dat een limiet van het type (+ ) (+ ) allerlei waarden kan hebben, afhankelijk van de twee termen. Men zegt dat (+ ) (+ ) een onbepaaldheid is. Je moet in elke concreet geval verder onderzoeken wat de limietwaarde is. Dit is ook het geval met de volgende onbepaaldheden: 0.(+ ) ; 0.(- ) ; + ; + + ; ; Toepassingen

20 20

21 21 Voorbeelden: Bij de vorige toepassingen en voorbeelden steunden we op de volgende eigenschappen: Bewijzen:

22 Oefeningen