Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Transcriptie

1 Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

2

3

4 Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en 70pk op de rechterschaal. We zien dat de lijn op de middelste schaal door iets minder dan 25 mm gaat. Omdat de asdiameters tussen de 30 en 40 mm zijn, zijn ze groot genoeg. Opgave 2. Als het vermogen toeneemt en de asdiameter gelijk aan 45 mm blijft, zal de lijn steiler worden omdat een hoger toerental lager op de rechterschaal ligt. Hierdoor zal de lijn op de linkerschaal hoger eindigen en dus ook een hoger toerental opleveren. Opgave 3. Om het toerental te berekenen gebruiken we de formule P D = 79,78 3 R, waarbij D de diameter, P het vermogen en R het toerental is. Uit de grafiek weten we dat D = 60 en P = 400, dus als we dit invullen in de formule krijgen we = 79,78 3 R = 79, R Door middel van kruislings vermenigvuldigen vinden we dat 3 R = 79, ,797. Dit betekent dat het toerental gelijk aan R 9, tpm is. Opgave 4. We gaan wederom uit van de formule P D = 79,78 3 R, waarbij we weten dat D = 30. We moeten nu P uitdrukken in R. Dit doen we door eerst D = 30 in te vullen in de formule: P 30 = 79,78 3 R = 79,78 3 P 3. R Door middel van kruislings vermenigvuldigen zien we dat 79,78 3 P = 30 3 R. Beide kanten van de vergelijking delen door 79,78 geeft 3 P = 30 3 R 79,78 0,376 3 R. We krijgen nu een formule voor P uitgedrukt in R door beide kanten van de vergelijking tot de derde macht te heffen: P = (0,376 3 R) 3 0,053 R. VWO - Wiskunde A - Mei

5 Hooikoorts Opgave 5. We geven het aantal mensen met hooikoorts in de steekproef weer met de toevalsvariabele X. Omdat de steekproef bestaat uit 135 aselect gekozen mensen en 13% van de bevolking last heeft van hooikoorts, heeft X een binomiale verdeling met parameters n = 135 en p = 0,13. Nu is 20% van de ondervraagden gelijk aan 27 mensen, dus we willen de kans weten dat P (X 27 n = 135; p = 0,13). Vanwege de complementregel is dit gelijk aan 1 P (X < 27 n = 135; p = 0,13) = 1 P (X 26 n = 135; p = 0,13), waarbij de laatste gelijkheid geldt omdat X een discrete verdeling heeft: X kan alleen gehele waarden aannemen. Nu kunnen we met de grafische rekenmachine (met de functie binomcdf(135;0,13;26)) berekenen dat P (X 26 n = 135; p = 0,13) 0,985. Dus de kans dat minstens 20% van de ondervraagden hooikoorts heeft is 1 0,985 = 0,015. Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. Opgave 6. Om te berekenen na hoeveel minuten de concentratie werkzame stof maximaal is gaan we de afgeleide van C 1 berekenen, deze gelijkstellen aan 0 en daarna oplossen voor de waarde van t waarvoor geldt C 1(t) = 0. We beginnen met het berekenen van de afgeleide. Omdat C 1 (t) termen van t zowel in de teller als in de noemer heeft staan, moeten we de quotiëntregel gebruiken: C 1(t) = (16) (190t2 + 60) (16t) (2 190t) (190t ) 2 = t t (190t ) 2 = 3040t (190t ) 2. Om het maximum te bepalen stellen we nu C 1(t) gelijk aan 0: C 1(t) = 3040t (190t ) 2 = 0. Wanneer een breuk gelijk aan 0 is, betekent dit dat de teller gelijk aan 0 moet zijn. Dus 3040t = 0. We halen 960 naar de rechterkant en delen daarna door 3040 en vinden t 2 = ,316. VWO - Wiskunde A - Mei

6 Dan is t gelijk aan t = 0,316 0,562. (Let op: We kiezen hier voor + 0,316 in plaats van - 0,316, wat ook een oplossing is van t 2 = 0,316, omdat we weten dat het aantal uren positief is.) In minuten is dit gelijk aan 0, minuten. Opgave 7. We gaan wederom de afgeleide van C 2 gelijk aan nul stellen en oplossen voor de waarde van t waarvoor geldt C 2(t) = 0. We krijgen dan C 2(t) = 0,0848 ( 1,92 t + 6 1,92 6t) = 0. Omdat 0,0848 niet 0 kan zijn is dit gelijk aan het oplossen van de vergelijking 1,92 t + 6 1,92 6t = 0. Als we 1,92 t naar de andere kant brengen en aan beide kanten de natuurlijke logaritme nemen krijgen we 6 1,92 6t = 1,92 t log 6 + ( 6t) log(1,92) = ( t) log(1,92), waarbij we de rekenregels voor het nemen van logaritmen van product en exponenten hebben gebruikt. Wanneer we ( 6t) log(1,92) naar de rechterkant brengen krijgen we log 6 = 5t log(1,92). Dit geeft t = log 6 5 log 1,92 0,549. Omdat we in Opgave 6 berekend hebben dat C 1 zijn maximum aanneemt in t 0,562 concluderen we dat het maximum van C 2 eerder optreedt dan het maximum van C 1. Waardepunten Opgave 8. Marieke wil zo min mogelijk euro s bijbetalen. Omdat de eerste 100 punten 1,50 euro waard zijn, levert Marieke in ieder geval per artikel 100 punten in. Er zijn 7 artikelen, dus deze 700 punten leveren 7 1,50 = 10,50 euro op. De resterende = punten zijn 0,50 euro per 100 punten waard. Deze zijn dus 11300/100 0,50 = 56,50 euro waard. Bij elkaar heeft Marieke dus voor 10, ,50 = 67 euro aan waardepunten. Zes gebaksbordjes en een taartplateau samen kosten 6 9, ,50 = 102,30 euro. Marieke moet dus nog 102,30 67,00 = 35,30 euro bijbetalen. Opgave 9. De eerste 100 punten zijn 1,50 euro waard en daarna zijn iedere 100 punten 0,50 euro waard. Als p het aantal punten is en p = 100, dan is de waarde 1,50. Voor iedere 100 punten meer dan p = 100 wordt er vervolgens 0,50 euro bij opgeteld. In formulevorm is dit dan samen W = 1,50 + (p 100)/100 0,5 = 1,50 0,50 + 0,005p = 1 + 0,005p. Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. VWO - Wiskunde A - Mei

7 Opgave 10. Om te laten zien dat er (bij benadering) sprake is van een exponentieel verband moeten de groeifactoren per 1000 punten (ongeveer) aan elkaar gelijk zijn. Daarom berekenen we de verhoudingen tussen opeenvolgende getallen in de tabel: 2,14/1,5 1,427 3,06/2,14 1,430 4,37/3,06 1,428 8,90/4,37 2,037; 8,90/4,37 1,427 18,15/8,90 2,039; 18,15/8,90 1,428 37,01/18,15 2,039; 37,01/18,15 1,428. Van de laatste 3 factoren hebben we ook de wortel berekend omdat we de groeifactor per 1000 punten willen weten: als we de groeifactor per 1000 punten hebben moeten we deze kwadrateren om de groeifactor per 2000 te krijgen; omgekeerd moeten we dus de wortel nemen. We zien dat de groeifactoren per 1000 punten ongeveer aan elkaar gelijk zijn; er is dus sprake van exponentiële groei. De groeifactor per 1000 punten is ongeveer gelijk aan 1,428. Opgave 11. Voor p = 0,65 is het steekproefresultaat niet significant afwijkend, maar voor p = 0,70 wel. We zijn op zoek naar de grootste waarde van p waarvoor geldt dat het steekproefresultaat niet significant afwijkend is. (Deze moet dus uiteraard tussen 0,65 en 0,70 inliggen). We geven het aantal huishoudens dat punten sparen weer met de toevalsvariabele X, waarbij X een binomiale verdeling heeft met parameters n = 640 en p dus onbekend. We zijn nu geïnteresseerd in de grootste waarde van p waarvoor geldt dat P (X 403 n = 640; p =?) > 0,05 omdat het steekproefresultaat dan niet significant afwijkend is. Met behulp van de Grafische Rekenmachine kunnen we dit oplossen: we gebruiken twee formules, y = 0,05 en y = binomcdf(640,x,403), en laten de Grafische Rekenmachine het snijpunt uitrekenen. Dit is ongeveer bij p = 0,661. Omdat we de grootste waarde van p in 2 decimalen willen weten waarvoor het steekproefresultaat nog net niet significant is, berekenen we P (X 403 n = 640; p = 0,66) 0,058 P (X 403 n = 640; p = 0,67) 0,017. We zien dat voor p = 0,66 het steekproefresultaat dus nog net niet significant is. Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. Selectief cijferen Opgave 12. We maken met de Grafische Rekenmachine een lijst, waarbij de variabele de cijfers zijn (1 tot en met 10) en de frequenties het aantal keer dat VWO - Wiskunde A - Mei

8 het cijfer gehaald is (dit kunnen we aflezen van de grafiek). Een lijst maken kan met de optie Edit in het menu stat-edit (van de TI-84), daarna kan je met 1-Var Stats in het menu stat-calc het gemiddelde en standaardafwijking laten uitrekenen. We vinden dat gemiddelde gelijk aan 5,37 is en de standaardafwijking is 1,93. Opgave 13. Het cijfer 5 wordt gegeven wanneer het onafgeronde cijfer valt in het interval [4,5; 5,5). Als tentamencijfers normaal verdeeld zijn met verwachting 5,4 en standaardafwijking 1,9 dan is de kans op een 5 gelijk aan: P (4,5 X < 5,5 µ = 5,4; σ = 1,9). Met de Grafische Rekenmachine (optie normalcdf op de TI-84) kunnen we uitrekenen dat P (4,5 X < 5,5 µ = 5,4; σ = 0,203. Dit betekent dat de kans op een 5 ongeveer 0,203 is. Het total aantal vijven zou dan naar verwachting 764 0, zijn. Opgave 14. Als 10 studenten een 6 in plaats van een 5 hebben gekregen en 80 studenten een 4 ipv een 5, dan zijn de nieuwe frequenties voor de cijfers 4, 5 en 6 gelijk aan respectievelijk 93, 138 en 152. Een cumulatieve frequentietabel ziet er dan als volgt uit: Cijfer Cum. Freq. 2,4 7,5 17,0 29,2 47,3 67,1 86,1 97,4 99,7 100 Wanneer we deze tabel invullen op de uitwerkbijlage, zien we dat de punten ongeveer op een rechte lijn liggen. De cijfers zijn daarom bij benadering normaal verdeeld. Opgave 15. Grafiek B kan niet horen bij de cijfers van niet-werkers omdat uit de figuur blijkt dat B hetzelfde gemiddelde heeft als A, terwijl gegeven is dat het gemiddelde cijfer van de niet-werkers lager is dan het cijfer van de werkers. Grafiek C kan niet horen niet bij de niet-werkers omdat uit de figuur blijkt dat de spreiding van C net zo groot is als de spreiding van A (ze zijn allebei even breed), terwijl gegeven is dat de standaardafwijking van de niet-werkers kleiner is dan de standaardafwijking van de werkers. Dit zou betekenen dat de spreiding kleiner moet zijn en de grafiek dus smaller en hoger moet zijn dan A. Behendigheid Opgave Omdat + > 0 en 0 volgt dat ook de breuk /( + ) nooit negatief is, dus B = Omdat 0 volgt dat + en dus B = = 1. VWO - Wiskunde A - Mei

9 3. Als voor spelen a en b geldt dat het toevalseffect van spel a kleiner is dan dat van b, dus a < b, dan geldt + a < + b. Hieruit volgt dat 1 1 >. + a + b En dus /( + a ) > /( + b ), waaruit we concluderen dat bij een gelijk leereffect het spel met een lager toevalseffect (we hebben a < b ) een hoger behendigheidsniveau heeft. Alternatief. Je kan de bewering ook laten zien doordat bij een lager toevalseffect de breuk /( + ) groter wordt en het behendigheidsniveau dus ook groter wordt. Opgave 17. We hebben B = +. In de noemer staat + terwijl we in de teller hebben staan: we kunnen optellen bij in de teller, zodat we ook + in de teller hebben staan, maar dan moeten we meteen weer aftrekken, om de formule gelijk te houden: B = + = +. + Deze breuk kunnen we nu splitsen: Dus B = 1 B = = = 1 +. Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. Opgave 18. Dit kunnen we op dezelfde manier doen als waarop we bewering 3. van Opgave 16 hebben bewezen. Als a > b dan a + < b +. Als we vermenigvuldigen met -1 klapt het ongelijkteken om en dus a + > b +. We zien dan dat 1 a + > 1 b +. Dus als een spel een groter leereffect is het behendigheidsniveau van dat spel hoger, bij een gelijk toevalseffect. Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. Opgave 19. Als B = 0,20 dan is dat gelijk aan + = 0,20. Door kruislings vermenigvuldigen zien we dat = 0,20 + 0,20. VWO - Wiskunde A - Mei

10 Dit geeft 0,80 = 0,20. Oftewel = 0,20 0,80 = 1 4. Dus de verhouding : is gelijk aan 1 : 4. Opgave 20. Het verschil tussen de ervaren speler en de fictieve speler zit in het feit dat de fictieve speler informatie heeft over kaarten van andere spelers en toekomstige kaarten op tafel. Als toeval een grotere rol speelt bij poker dan heb je meer aan deze informatie omdat deze informatie alleen door toeval bepaald wordt. Op die manier zal de fictieve speler, die deze informatie dus wel heeft, meer winnen en daardoor zal groter worden. Opgave 21. We moeten en berekenen met behulp van de totale winsten van de beginner, ervaren speler en fictieve speler. De totale winst van de beginner is = 30. De totale winst van de ervaren speler is = 80. De totale winst van de fictieve speler is = 390. Op basis van de gegeven formules volgt nu dat = = 310 en = 80 ( 30) = 110. Dus het behendigheidsniveau is B = + = = ,262. Het behendigheidsniveau is groter dan 0,2 dus poker is geen kansspel. VWO - Wiskunde A - Mei

11 Alternatieve oplossingen Opgave 5. In plaats van het gebruiken van binomcdf kunnen we ook een normale benadering toepassen. Uit het formule-overzicht dat bij het examen zit volgt dat de verwachtingswaarde van X gelijk aan 0, is en de standaardafwijking is 135 0,13 0,87. Wanneer we X standaardiseren krijgen we ( ) X 0, , P (X 26) = P ,13 0, ,13 0,87 Nu heeft Z = X 0, ,13 0,87 een standaardnormale verdeling en vinden we met de grafische rekenmachine (met de functie normalcdf) dat ( ) 26 0, P (X 26) = P Z 0, ,13 0,87 Dit geeft hetzelfde eindantwoord. Opgave 9. Omdat iedere 100 punten 0,50 euro waard zijn is 1 punt 0,005 euro waard. Dat betekent dat de helling van de lijn gelijk is aan 0,005. Maar omdat de eerste 100 punten 1,50 euro opleveren krijg je 1,50 0, = 1 euro extra voor de eerste 100 punten. Dus de formule is W = 1 + 0,005p. Opgave 11. In plaats van het expliciet uitrekenen van de kansen P (X 403 n = 640; p = 0,66) en P (X 403 n = 640; p = 0,67) merken we op dat de kans P (X 403 n = 640; p =?) dalend is in p omdat X grotere waarden aanneemt voor grotere waarden van p. Daarom zal P (X 403 n = 640; p = 0,66) groter dan 0,05 zijn en P (X 403 n = 640; p = 0,67) juist kleiner. Dus volgt dat voor p = 0,66 het steekproefresultaat nog net niet significant is. Opgave 17. We beginnen met B = 1 +. Door de breuken gelijknamig te maken krijgen we B = 1 + = = + + = +. Opgave 18. Je kan de bewering ook laten zien doordat bij een hoger leereffect de breuk /( + ) kleiner wordt en dus het behendigheidsniveau 1 /( + ) groter wordt. VWO - Wiskunde A - Mei