9.1 Recursieve en directe formules [1]

Transcriptie

1 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u 4 ) Elke term is 4 groter dan de voorafgaande term. u 0 = 8 u 1 = u (=12) u 2 = u (=16) u 3 = u (=20) u 4 = u (=24) Algemeen: u n = u n met u 0 = 8 (recursieve formule) Met de GR: 8 ENTER ANS + 4 ENTER ENTER. 1

2 9.1 Recursieve en directe formules [2] Bij een recursieve formule kun je een term alleen uitrekenen door eerst alle voorgaande termen te berekenen. Bij een directe formule kan dit rechtstreeks. Voorbeeld 1: 8, 12, 16, 20, 24, Recursieve formule: u n = u n met u 0 = 8 Directe formule: u n = 8 + 4n De negende term (u 8!!!) = = 40 Voorbeeld 2: Bereken de som van de eerste zes termen van de rij met de directe formule u n = 8 + 4n Er wordt nu dus gevraagd: Bereken u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 5 k0 u k = = k0 u k 2

3 9.2 Rekenkundige rijen [1] 8, 12, 16, 20, 24, is een rekenkundige rij (rr), want het verschil tussen twee opeenvolgende termen (v) is constant. u 0 (= 8) u 1 = u 0 + v = (8 + 4 = 12) u 2 = u 1 + v = u 0 + v + v = u 0 + 2v = ( = 16) u 3 = u 2 + v = u 0 + 3v (= = 20) u 4 = u 3 + v = u 0 + 4v (= = 24) Algemeen: u n = u 0 + nv (direct) u n = u n-1 + v met u 0 = getal (recursief) 3

4 9.2 Rekenkundige rijen [1] Voorbeeld 1: 8, 12, 16, 20, 24, De hoeveelste term is 388? Directe formule = 8 + 4n Los op: 8 + 4n = 388 4n = 380 n = 95 Dus u 95 = 388, dus de 96 ste term is 388. Let op: De eerste term is u 0 De tweede term is u 1 De 96-ste term is u 95 4

5 9.2 Rekenkundige rijen [1] Voorbeeld 2: Tel de eerste 29 termen van de rij u n = 8 + 4n op. Som = u 0 + u 1 + u u 27 + u 28 = Som = Som = som = som = Som = 0, = 1856 Let op 1: 29 (= ) = aantal termen dat je optelt Let op 2: 128 (= = u 0 + u 28 ) Algemeen: Som = 0,5 aantal termen (eerste term + laatste term) Som = 0,5 (n + 1) (u 0 + u n ) = 0,5 (n + 1) (u 0 + u n ) 5

6 9.2 Rekenkundige rijen [2] Voorbeeld 1: Gegeven is de rekenkundige rij u n = 6n + 4 Bereken n15 k0 u k Voor het berekenen van de som van de eerste 16 termen gebruiken we de formule: = 0,5 (n + 1) (u 0 + u n ) n15 k0 u k = 0,5 (15 + 1) (u 0 + u 15 ) = 0,5 16 (4 + 94) = 0, =784 Let op: Als gevraagd wordt om de som van de eerste zestien termen te berekenen is dit hetzelfde als n15 k0 u k 6

7 9.3 Meetkundige rijen [1] Gegeven is de rij getallen: 64, 96, 144, 216, 324, Elke term is te vinden door de voorgaande term te vermenigvuldingen met 1,5 Deze rij heet een meetkundige rij (mr), omdat elke term een bepaalde factor [r] groter (of kleiner) is dan de vorige term. u 0 (= 64) u 1 = u 0 r (= 64 1,5 = 96) u 2 = u 1 r = u 0 r r = u 0 r 2 (= 64 1,5 2 = 144) u 3 = u 2 r = u 0 r 3 (= 64 1,5 3 = 216) u 4 = u 3 r = u 0 r 4 (= 64 1,5 4 = 324) De directe formule wordt nu: u n = 64 1,5 n De recursieve formule wordt nu: u n = 1,5 u n-1 met u 0 = 64 Algemeen: u n = u 0 r n (directe formule) u n = r u n-1 met u 0 = getal (recursieve formule) 7

8 9.3 Meetkundige rijen [2] Bereken de som van de eerste n + 1 termen van de meetkundige rij: u n = r u n-1 som u0 u1 u2... un 1 un r som r ( u0 u1 u2... un 1 un ) r som r u0 r u1 r u2... r un 1 r u r som u u u... u u n n1 som u0 u1 u2... un 1 un r som u u u... u u som r som u som(1 r) u0 un 1 u0 u som n1 1r n1 u0u0r som 1r n n1 u0(1 r ) uk 1r k n n un 1 n 8

9 9.3 Meetkundige rijen [2] De som van een meetkundige rij u n met factor r is te berekenen met de volgende formule: aantal termen eerste term(1 factor ) som 1 factor n n1 u0(1 r ) uk 1r k0 Voorbeeld 1: Gegeven is de meetkundige rij u n = 20 1,2 n Bereken de n k0 u k n k0 u k (1 1,2 ) 20(1 1,2 ) 198,60 11,2 11,2 Let op: Als gevraagd wordt om de som van de eerste zes termen te berekenen is dit hetzelfde als n k0 u k 9

10 9.3 Meetkundige rijen [2] De som van een meetkundige rij u n met factor r is te berekenen met de volgende formule: aantal termen eerste term(1 factor ) som 1 factor n n1 u0(1 r ) uk 1r k0 Voorbeeld 2: Gegeven is de meetkundige rij u n = 20 1,2 n Bereken de n k0 u k n k0 u u k 0 n1 n1 (1 r ) 20(1 1,2 ) 1r 11,2 n1 20(1 1,2 ) 0,2 n ,2 n ,2 1,2 n ,2 n1 100(1 1,2 ) 10

11 9.4 Periodieke verschijnselen [1] De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = ( )/2 = 100 Amplitude = max evenw. stand = = 200 Periode = 6 11

12 9.4 Periodieke verschijnselen [2] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ y p sin y p OP 1 aanliggende rechthoekzijde cos schuine zijde OQ xp cos xp OP 1 overstaande rechthoekzijde tan schuine rechthoekzijde PQ y p tan OQ xp Dus P heeft coördinaten P(cos α, sin α) 12

13 9.4 Periodieke verschijnselen [2] In de eenheidscirkel is de booglengte van het groene stuk precies 1. In dit geval is de middelpuntshoek 1 radiaal. Een hoek van 1 radiaal is de middelpuntshoek in de eenheidscirkel die hoort bij een cirkelboog met lengte 1. Radiaal is een andere manier om de grootte van de middelpuntshoek weer te geven. De cirkelboog van de volledige cirkel is 2π. Bij deze booglengte hoort een middelpuntshoek van 2π rad. 13

14 9.4 Periodieke verschijnselen [2] In het plaatje is de functie f(x) = sin(x) getekend Deze functie voegt aan elk getal x de sinus van x radialen toe. De x-as wordt in radialen aangegeven. De periode is 2π. De evenwichtsstand is 0. De maximale afwijking van de evenwichtsstand (amplitude) is 1 De nulpunten zijn, -2π, -π, 0, π, 2π De hoogste punten zijn, (0.5π, 1); (2.5π, 1); De laagste punten zijn, (-0.5π, -1); (1.5π, -1); 14

15 9.4 Periodieke verschijnselen [3] De zwarte grafiek is f(x) = sin(x) De rode grafiek is g(x) = sin(x) + 3 De nieuwe evenwichtsstand wordt 3 Amplitude en periode blijven gelijk De zwarte grafiek wordt 3 omhoog geschoven. 15

16 9.4 Periodieke verschijnselen [3] De zwarte grafiek is f(x) = sin(x) De rode grafiek is g(x) = sin(x + 1) Periode, amplitude en evenwichtsstand blijven gelijk. De zwarte grafiek wordt 1 naar links geschoven. 16

17 9.4 Periodieke verschijnselen [3] De zwarte grafiek is f(x) = sin(x) De rode grafiek is g(x) = 3sin(x) De nieuwe amplitude wordt 3 Periode en evenwichtsstand blijven gelijk De zwarte grafiek wordt ten opzichte van de x-as met 3 vermenigvuldigd. 17

18 9.4 Periodieke verschijnselen [3] De zwarte grafiek is f(x) = sin(x) De rode grafiek is g(x) = sin(3x) De nieuwe periode wordt 2/3π Amplitude en evenwichtsstand blijven gelijk De zwarte grafiek wordt ten opzichte van de y-as met 1/3 vermenigvuldigd. 18

19 9.4 Periodieke verschijnselen [4] Teken de grafiek van f(x) = 11 1 sin(2 x 2 ) 2 3 Stap 1: Schrijf de formule in de vorm y = a + b sin(c(x-d)) f( x) 11 1 sin(2 x 2 ) sin(2( x )) 2 3 Stap 2: Schrijf de vier kenmerken van de formule op: a = evenwichtsstand [= -1] b = amplitude [= 1,5] periode = 2π/c [= 2π/2 = π] d = x-coördinaat beginpunt [= 1/3π] Let op: b > 0 dus de grafiek gaat stijgend door het beginpunt; Bij b < 0 gaat de grafiek dalend door het beginpunt; De y-coördinaat van het beginpunt Willem-Jan is van de der evenwichtsstand Zanden [-1]. 19

20 9.4 Periodieke verschijnselen [4] Teken de grafiek van f(x) = 11 1 sin(2 x 2 ) 2 3 Stap 3: Stippel in een assenstelsel de lijn van de evenwichtsstand en de lijnen waarop de toppen liggen. 20

21 9.4 Periodieke verschijnselen [4] Teken de grafiek van f(x) = 11 1 sin(2 x 2 ) 2 3 Stap 4: Teken het beginpunt en het punt dat één periode verder ligt. Het beginpunt is (1/3π, -1) Het punt één periode verder is (1/3π + π, -1) = (1 1/3π, -1) 21

22 9.4 Periodieke verschijnselen [4] Teken de grafiek van f(x) = 11 1 sin(2 x 2 ) 2 3 Stap 5: Bij een sinusfunctie is er een maximum na ¼ periode, na ½ periode gaat De functie weer door de evenwichtsstand en na ¾ periode is er een minimum. Maximum = (1/3π + 1/4π, ,5) = (7/12π, 0,5) Evenwichtsperiode = (1/3π + 1/2π, -1) = (5/6π, -1) Minimum = (1/3π + 3/4π, -1 Willem-Jan 1,5) = (1 van 1/12π, der Zanden -2,5) 22

23 9.4 Periodieke verschijnselen [4] Teken de grafiek van f(x) = 11 1 sin( 2x 2 ) 2 3 Stap 6: Teken de grafiek door de getekende punten. 23

24 9.5 Toepassingen van sinusoïden [1] Stel de formule op van de hier getekende sinusoïde: a = evenwichtsstand = (min + max)/2 = ( )/2 = 100 b = amplitude = max evenw. stand = = 200 c = 2π/periode = 2π/6 d = x-coördinaat beginpunt = 1 y = a + b sin(c(x - d)) = sin(2π/6(x 1)) 24

25 9.5 Toepassingen van sinusoiden [2] In het plaatje is de functie f(x) = sin(x) getekend De periode is 2π; De evenwichtsstand is 0; De maximale afwijking van de evenwichtsstand (amplitude) is 1; De nulpunten op het interval [0, 2π] zijn: 0, π, 2π; De nulpunten liggen op 0, ½ en 1 periode; Het hoogste punt op het interval [0, 2π] is (0.5π, 1); Het hoogste punt ligt op ¼ periode; Het laagste punt op het interval [0, 2π] is (1.5π, -1); Het laagste punt ligt op ¾ periode. 25

26 9.5 Toepassingen van sinusoiden [2] Voorbeeld: Gegeven is de formule y = sin(¼ π(x 1,5)) 1) y max = evenwichtsstand + amplitude = = 5; 2) Het max. ligt op ¼ periode na het stijgend passeren van ev. stand in 1,5. De periode van deze formule is 2π/¼ π = 8 x max = 1,5 + ¼ * 8 = 3,5 3) y min = evenwichtsstand amplitude = 3 2 = 1 4) Het min. ligt op ¾ periode na het stijgend passeren van ev. stand in 1,5. x min = 1,5 + ¾ * 8 = 7,5 5) Bereken y voor x = 4,7 Vul op de GR in: Y 1 = sin(¼ π(x 1,5)) en gebruik VALUE. 6) Voor welke x is y gelijk aan 4,6? Vul op de GR in: Y 1 = sin(¼ π(x 1,5)) Y 2 = 4,6 INTERSECT geeft de oplossing. 26

27 9 Samenvatting Bij een rekenkundige rij (rr) is het verschil tussen twee opeenvolgende termen (v) is constant. u n = u 0 + nv (direct) u n = u n-1 + v met u 0 = getal (recursief) Σ = 0,5 aantal termen (eerste term + laatste term) = 0,5 (n + 1) (u 0 + u n ) Bij een meetkundige rij (mr) is elke term een bepaalde factor [r] groter (of kleiner) is dan de vorige term. u n = u 0 r n (directe formule) u n = r u n-1 met u 0 = getal (recursieve formule) aantal termen eerste term(1 factor ) som 1 factor n n1 u0(1 r ) uk 1r k0 27

28 Een periodieke functie herhaalt zichzelf. Evenwichtsstand = (min + max)/2 Amplitude = max evenw. Stand 9 Samenvatting f(x) = sin(x) De periode is 2π. De evenwichtsstand is 0. De maximale afwijking van de evenwichtsstand (amplitude) is 1 De nulpunten zijn, -2π, -π, 0, π, 2π De hoogste punten zijn, (0.5π, 1); (2.5π, 1); De laagste punten zijn, (-0.5π, -1); (1.5π, -1); y = a + b sin(c(x - d)) a = evenwichtsstand periode = 2π/c b = amplitude d = x-coördinaat beginpunt b > 0 dus de grafiek gaat stijgend door het beginpunt; Bij b < 0 gaat de grafiek dalend door het beginpunt. 28