= cos245 en y P = sin245.

Transcriptie

1 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos = = OQ = cos 0,. schuine zijde OP P (0, ; 0,9 (zie hierboven) a POQ = 80 = ; weer is PQ 0,9 en OQ 0, (zie a) P ( 0, ; 0,9 ( P in figuur 8.a is het spiegelbeeld van P in figuur 8. ten opzichte van de y -as) b De GR geeft cos 0, en sin 0, 9. Dus xp = cos en yp = sin. c POQ = 80 = ; weer is PQ 0, 9 en OQ 0, P ( 0, ; 0, 9 ( P in figuur 8.b is het spiegelbeeld van P in figuur 8.a ten opzichte van de x -as) De GR geeft cos 0, en sin 0, 9. Dus xp = cos en y P = sin. h α = 0 P (, 0) cos0 = x P =. a α = 0 P (, 0) sin 0 = y P = 0. i α = 0 P (0, ) sin 0 = y P =. b α = 0 P (, 0) cos 0 = x P =. j α = 90 P (0, ) cos( 90 ) = x P = 0. c α = 90 P (0, ) sin 90 = y P =. k α = 0 P (, 0) sin( 0 ) = y P = 0. d α = 90 P (0, ) cos 90 = x P = 0. l α = 080 P (, 0) cos( 080 ) = x P =. e α = 70 P (0, ) sin70 = y P =. m α = 980 P (, 0) sin(980 ) = y P = 0. f α = 70 P (0, ) cos70 = x P = 0. n α = 80 P (, 0) cos( 80 ) = x P =. g α = 0 P (, 0) sin0 = y P = 0. o α = 990 P (0, ) sin(990 ) = y P =. P (cos0 ; sin0 ) P ( 0,; 0,9 Q(cos00 ; sin00 ) Q( 0,9; 0, R(cos( 0 ); sin( 0 )) R( 0,; 0,98 S(cos( 0 ); sin( 0 )) S(0,; 0,77 De cirkel is een vergroting van de eenheidscirkel met factor. B( cos7 ; sin7 ) B(0,;,90 C ( cos ; sin ) C (,;,8 D( cos ; sin ) D(,;,8 E ( cos88 ; sin88 ) E (0,;,90 a t = α = 0 = P (cos, sin ) P (0,7; 0,7 8 b t = α = = 90 P (0, c t = α = = 7, P (cos7, ; sin7, ) P ( 0,9; 0,8 d Bereken de y -waarden met de GR (bijvoorbeeld met TABLE) en vul vervolgens de tabel in (rond waar nodig af op decimaal). e yp t = sin( t ) 0 0,7 0,7 0-0,7 - -0,7 0 0,7 0,7 0 Zie de schets hieronder (vergelijk de schets met de plot op de GR).

2 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / 7a 7b 7c 7d 8 xp = cosα = 0, 8. De GR geeft cos (0, 8) (zie figuur 8.a) α. yp = sinα = 0, 9. De GR geeft sin (0, 9) 70 (zie figuur 8.b) α = 0. xp = cosα = 0,. De GR geeft cos (0,) 7 (zie figuur 8.c) α 7. yp = sinα = 0,. De GR geeft sin ( 0,) (zie figuur 8.d) α 80 + = 9. yp = sinα = 0, 9. De GR geeft sin (0, 9), 9... (zie figuur 8.) αp, xq = cosα = 0, 87. De GR geeft cos ( 0, 87) 0,... αq 0 0,... = 09,.... POQ = αq αp = 09,..., a omtrek = r = =. 9b α = 90 een kwart van de eenheidscirkel doorlopen. De lengte van de door P doorlopen cirkelboog is = =. 9c Zie de tabel hiernaast. 0a P (cos rad, sin rad) P (0,8; 0, 9 0b P (cos rad, sin rad) P (0, 9; 0,8 0c P (cos 0rad, sin 0rad) P (0, ; 0,9 draaiingshoek α lengte cirkelboog b 0 a De door P doorlopen cirkelboog is (een kwart cirkel doorlopen) P ligt boven in de eenheidscirkel P (0, b De door P doorlopen cirkelboog is (een halve cirkel doorlopen) P ligt links in de eenheidscirkel P (, 0 c De door P doorlopen cirkelboog is (driekwart cirkel doorlopen) P ligt onder in de eenheidscirkel P (0, graden 80 a b c d e f g h radialen a rad = 80 = 0. e rad = 80 =. b rad = 80 =. f rad = 80 : 7,. c rad = 80 = 0. g rad = 80 = 0. d rad = 80 :,. h rad = 80 :, 7. graden radialen a b c d e f g h i j k l m n o p a 0 = 0 rad = rad. i 00 = 00 rad = rad b 0 = 0 rad = rad. j 70 = 70 rad = rad c = rad = rad. k 00 = 00 rad = 0 rad d 0 = 0 rad = rad. 80 l 0 = 0rad. e 90 = 90 rad = rad. m 0 = 0 rad = 7 rad f = rad = rad. n = rad = rad g 7 = 7 rad = rad. o 0 = 0 rad = rad h 0 = 0 rad = rad. p = rad = rad graden ,, radialen a b c d e f g h a 7 = 7, rad 0,rad. c, = rad 0,90rad b 8 = 8,7 rad 0,rad. d, 7 = rad 0, 0rad

3 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / e 0 = 0 rad, 9 rad. g 90 = 90 rad, 7 rad f 00 = 00 rad 7, 98rad. h 7 = 7 rad 0, 99 rad Zie de tabel hieronder. graden radialen 0 a cos( ) = 0,. c sin( ) 0,9. e cos(7, ) 0,. b cos( ) 0,79. d sin( ) 0,7. f cos(7, ) 0,. 7a 7b 7c α = sin (0, 9),7. 7d α = cos (0, 8) 0,. 7e α = sin ( ) 0,. 7f α = cos ( ),9. 7 α = sin ( ) 0, 8. α = cos ( ),. 8a sin (0, ) = 0,... α = sin (0,), 78. 8b cos ( 0,) =,9... α = cos ( 0,),. 9 cos ( 0,) =,89... αp,89 en sin ( 0,88) =,07... αq = +,07... POQ = αq αp,. 0a Zie de figuur hiernaast. Op meter hoogte = 7 meter boven de x -as. sinα = 7 α = sin ( 7 ) 0, 8... (rad Sanne is gedraaid over een hoek van + sin ( 7 ),0 radialen. 0b Sanne is gedraaid over een hoek van Ans, radialen. β 7 α a Zie de plot hiernaast. (,) (,) b f ( ) = f ( ) = en f ( ) = f ( ) =. c Zie de grafiek hierboven; de toppen zijn (, ); (, ); (, ) en (, (lees af in de eenheidscirkel) d De nulpunten zijn,, 0, en. (lees af in de eenheidscirkel) (, ) (, ) a Zie de plot hiernaast. b c Zie de grafiek hiernaast. De toppen zijn (, ); (, ); (0, ); (, ) en (, d De nulpunten zijn,, en. (lees af in de eenheidscirkel) a Zie beide grafieken in de figuur hiernaast. b α = in eenheidscirkel is = x P y P. Dus ook α =, α = en α =. (lees af in de eenheidscirkel) f g

4 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b f ( x ) = sin( x )...translatie (0, ) g( x ) = + sin( x ) met evenwichtsstand. f ( x ) = sin( x )...translatie (, 0) h( x ) = sin( x c d f ( x ) = sin( x )...verm. t.o.v. de x -as met k ( x ) = sin( x ) met amplitude. f ( x ) = sin( x )...verm. t.o.v. de y -as met = x met periode = l ( x ) sin( ). a 0 (0, 0)...verm. t.o.v. de x -as met 0 (0, 0)...translatie (, 0) f ( x ) = sin( x + ) 0 (, 0). b c d 0 (0, 0)...verm. t.o.v. de x -as met y = sin( x ) 0 (0, 0)...translatie (0, ) g( x ) = sin( x ) + (0, 0 (0, )...verm. t.o.v. de y -as met 0 (0, )...translatie (, 0) h( x ) = cos(( x )) 0 (, ). 0 (0, )...verm. t.o.v. de x -as met y = cos( x ) 0 (0, )...verm. t.o.v. de y -as met j ( x ) = cos( x ) 0 8 (0, a b c d 0 (0, )...verm. t.o.v. de x -as met, y =,cos( x ) 0, (0;,)...translatie (, ) f ( x ) = +,cos( x ), ( ;,). 0 (0, 0)...verm. t.o.v. de y -as met y = sin( x ) 0 0 (0, 0)...translatie ( ; 0, ) g( x ) = 0, + sin( ( x + )) 0, 0 ( ; 0, ). 0 (0, )...verm. t.o.v. de x -as met 0,9 y = 0,9cos( x ) 0 0, 9 (0; 0, 9)...verm. t.o.v. de y -as met y = 0,9cos( x ) 0 0, 9 (0; 0, 9)...translatie (,; 0) h( x ) = 0,9cos(( x +, )) 0 0,9 (, ; 0,9). 0 (0, 0)...verm. t.o.v. de x -as met 0 (0, 0)...verm. t.o.v. de y -as met 0 (0, 0)...translatie ( ; 0,8) j ( x ) = 0,8 + sin(( x )) 0,8 ( ; 0,8). 7...verm. t.o.v. de y -as met y = sin( x )...translatie (;,) f ( x ) =, + sin( ( x )

5 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / 8a...translatie (, ) y = + cos( x )...verm. t.o.v. de x -as met f ( x ) = ( + cos( x ) = + cos( x 8b...verm. t.o.v. de x -as met...translatie (, ) g( x ) = + cos( x 9a a en k ( x ) = sin( x ) ; b en f ( x ) = sin( x ); c en g( x ) = sin( x ) + ; d en h( x ) = sin( x 0a Zie de schets hiernaast. f 0b De grafiek van f snijdt de evenwichtsstand in (, ); (, ) en (, 0c De toppen van de grafiek van f zijn (, ); (, ) en (, 0d De afstand AC is precies één periode van f, dus. y = a b 0 (0, 0)...verm. t.o.v. de x -as met 0 (0, 0)...translatie (, ) f ( x ) = + sin( x ) (, ). g( x ) = + sin( x ) c evenwichtsstand amplitude periode beginpunt (, ). f ( x ) = + sin( x + ) = + sin(( x + )) evenwichtsstand amplitude periode = beginpunt (, ). Zie de grafiek hiernaast. h( x ) = sin(( x )) evenwichtsstand 0 amplitude periode beginpunt (, 0). = f f ( x ) = + cos( x + ) = + cos(( x + )) evenwichtsstand amplitude periode = beginpunt (, ). Zie de grafiek hiernaast. f a b A = 0 + sin( ( t )) evenwichtsstand 0 amplitude periode = beginpunt (, 0). Zie hiernaast. A = 0 (intersect) t 0, t,7 (met periode ) t, t,7 t, t,7. A < 0 (zie een plot) 0, < t <,7, < t <,7, < t <,7. c De helling in beginpunt is da dt 78,. t =,

6 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a N =,cos( ( t 0,)) +, evenwichtsstand, amplitude, periode = = beginpunt (0, ; ). Zie de grafiek hiernaast. b N = (intersect) t,09 t,9 (periode ) t,09 t,9 t 7,09 t 8,9. N > (zie een plot) 0< t <,09,9 < t <,09,9 < t < 7,09 8,9 < t < 0. d c De helling in het snijpunt met de verticale as is N,7. dt t = 0 d d De grootste helling is N,. (midden tussen het minimum bij t = en het maximum bij t =,) dt t =,7 a De evenwichtsstand is + = =, de amplitude is = = (of = ) en de periode is =. b f ( x ) = + sin( x Dus a =, b =, c = en d =. 7a De evenwichtsstand is = 0 = 0 = a, de amplitude is 0 0 = 80 = 0 = b (of 0 0 = 0) en de periode is 80 0 = 0 = c = =. c 0 De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor x = 0 d = 0. Een passende formule met een sinus is: y = 0 + 0sin( x 7b De grafiek gaat door een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor x = d = ( periode na x = 0). Een passende formule met een cosinus is: y = 0 + 0sin( ( x ) 8a De evenwichtsstand is = 0 = 0 = a, de amplitude is 00 0 = 0 = 0 = b (of 00 0 = 0) en de periode is 7 0, =,8 = c = = 0. c,8 De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor t = d =. Een passende formule met een sinus is: N = 0 + 0sin( 0 ( t ) 8b De grafiek gaat door een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor t = +,8 =,7 d =,7 ( periode na t = ). Een passende formule met een cosinus is: N = 0 + 0cos( 0 ( t,7) 9a 9b f ( x ) = + sin( x ) evenwichtsstand amplitude periode beginpunt (0, ). g( x ) = + sin( x ) evenwichtsstand amplitude periode beginpunt (, ). f ( x ) = g( x ) (intersect) x, x,0. f ( x ) > g( x ) (zie plot/grafiek) 0 x <,,0 < x. f g 9c s( x ) = a + b sin( c( x d )) s( x ) (optie maximum) top (, ;,) s( x ) (optie minimum) top (,;,, +, Evenwichtsstand a = 0 (of = 0), amplitude b, 0 =, en de periode is (net als bij f en bij g) = c =. c (of de periode is (,, ) =, =, 8) De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor s( x ) = 0 (intersect) x 0, d 0,. Een passende formule is s( x ),sin( x 0,

7 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg 7/ 0a 0b s( x ) = a + b cos( c( x d )) s( x ) (optie maximum) top (0,;,0) s( x ) (optie minimum) top (, 0; 7, 80,0 + 7,80 Evenwichtsstand a = (of = ), amplitude b,0 =,80 en de periode is (net als bij f en bij g) = c = (of de periode is (, 0 0,) =, =,8). c De grafiek gaat door een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor x 0, d 0,. Een passende formule is s( x ) +,80cos( x 0, v ( x ) = a + b sin( c( x d )) v ( x ) (optie minimum) top (, ;, 7) v ( x ) (optie maximum) top (, 78; 0, 7 0,7 +,7 Evenwichtsstand a = (of = ), amplitude b 0, 7 =, 7 en de periode is (net als bij f en bij g) = c = (of de periode is (, 78, ) =, =, 8). c De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor v ( x ) = (intersect) x, d,. Een passende formule is v ( x ) +, 7 sin( x, a b c d T =, +,sin( ( t )) evenwichtsstand, ( C) amplitude, ( C) periode = = (mnd = jaar) beginpunt (;, ). Zie hiernaast. T = (intersect) t,0... t 8,9... T > (intersect),0... < t < 8,9... Dus gedurende 8,9...,0... maanden of (ongeveer) dagen. Z De stijging is het sterkst bij het passeren van de evenwichtsstand. De sterkste stijging is dt, 0 C per maand. Dit is (ongeveer) 0,8 C per week. dt t = De evenwichtsstand a = 7,; de amplitude b = 7, =, en de periode is = c =. c De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand voor t = ( maart) + ( periode) = d =. a De amplitude b = en de periode is 8 = c = =. c c 8 y P ' = y P = sin( t b Op t = 0 is P '(0, 0) en op t = is P '(0, d t =, y P ' = sin(, ),. a u = 0,sin( t ) = b sin( t ) de amplitude b = 0, T en = = de trillingstijd T = seconde en de frequentie f = Hertz. b De periode (de trillingstijd) is seconde. Zie de grafiek van u over twee perioden hiernaast. 0, 0, u t u = sin(0 t ) de amplitude b = en de frequentie f = 0 Hertz ( t = u = sin(0 ) = sin(0 ). De frequentie f = 0 Hertz de trillingstijd T = seconde. 0 u = 0, 8sin(0 t ) = 0, 8 sin(880 t u = sin(0, 0 t ) = sin(0, 0 t ) met t in ms en u in mm. ( rondgangen in 00 ms 0,0 rondgangen in ms). met t in ms u = sin(0, 0 t ) = sin(0, 0 t ) met t in ms en u in mm. (, rondgang in 00 ms 0,0 rondgangen in ms 7a T = 7 h = ( + 0) + 0 sin( t ) = + 0 sin( t 7 7 7b t = h = + 0 sin( ) 9, (m 7

8 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg 8/ 7c h = + 0 sin( t ) = (intersect) t =, t =,. 7 h > (zie een plot) gedurende,, = seconden. 8a h = + = + = + A 0 sin( t ) 0 sin( t ) 0 sin( t ) omlooptijd (of trilingstijd of periode) T = 0 (sec b Na 0 0 = 0 = 0 seconden. 8c h 0sin( ( 0) 0 B = + t 0 9a x Q = 0cos(0 ( R = 0cos(0 ( 9b x Q = 0cos(0 ( + R = 0cos(0 ( + 0a h = 0 + 8sin( t ) ofwel h = 0 + 8sin( t 90 0b Stoeltje heeft een faseachterstand van (periode) op stoeltje, dat is 90 =,7sec. Dus h = sin( ( t, 7)) en h = 0 + 8sin( ( t 78, 7) a De periode van P (en ook van Q en R ) is 0 seconden., P ( t =,) heeft, seconden voorsprong op Q ( t = ) het faseverschil tussen P en Q is =. 0 7, R ( t = ) heeft 7, seconden voorsprong op P ( t =,) het faseverschil tussen P en R is = = , 7, Het faseverschil tussen Q en R is + = 0 = b u P = sin( t ) = sin( t ); u sin( (,)) en sin( ( 7,) 0 Q = t u R = t + c R en Q snijden elkaar bij t = (blokje Q gaat omhoog) en t = 0 (blokje Q gaat omlaag). We zoeken dus t = 0. d Tijdens de eerste 0 sec. (één periode) gaan alle drie de blokjes omhoog voor 0 < t <. Dus 0% van de tijd. a Rol II draait in tegenwijzerrichting en draait twee keer zo snel als rol I frol II =. b xp = 0 cos( t ) = 0 cos( t ) en yp = 0 sin( t xq = cos(8 t ) en yq = sin(8 t c Zie de grafieken van xp, xq, yp en y Q hiernaast. d De punten P en Q raken elkaar als xp = xq of als P en Q beide in het punt (0, 0) op de x -as zitten. Dat is bij t = 0, t = 0, en t =. De grafieken van xp en xq raken elkaar dan. x P y Q x Q y P a b januari loopt van t = tot t =. A = 000 0t + 00 sin( t ) met de optie maximum op, geeft Amax 78 (km voor t, 8). De hoogste toppen komen steeds lager te liggen. a b c d, Het aantal perioden is, A sin(77,7 t ) want a = = 798, b = = 998, c = (aantal perioden) 77, 7 en d = 0.,8 cm =,8 0 km d = 798 +,8 0 t = 99 (km Jaarlijks neemt de afstand aarde-maan met,8 0 km toe. Dus het duurt miljoen jaar.,80 tot en met 0 wordt aan de lezer overgelaten.

9 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg 9/ Diagnostische toets D A(cos 0 ; sin 0 ) A(0, 77; 0, De draaiingshoek van A naar B (alsook van B naar C en van C naar A) is 0 = 0 B(cos0 ; sin0 ) B( 0,9; 0, C (cos80 ; sin80 ) C (0,7; 0, 98 Da Db ya = sinα = 0, 9. De GR geeft sin (0, 9) (zie figuur 8.8) α. x B = cosα = 0, 9. De GR geeft cos (0, 9) (zie figuur 8.8) β. AOB + =. Da P (cos(0), sin(0)) P ( 0, 8; 0, Db P (cos( ), sin( )) = P (cos( ), sin( )) = P (0, Da rad = 80 =. Db rad = 80 =. graden 80 radialen 0, Dc 0,rad = 0, 80 :,. De rad = 80 = 0. Dd rad = 80 = 80. Df rad = 80 : 8,. Da 70 = 70 rad = rad. 80 graden Db 0 = 0 rad = rad. 80 radialen Dc 0 = 0 rad = rad. De 0 = 0 rad = rad Dd 0 = 0 rad = rad. Df 70 = 70 rad = 7 rad Da α = sin (0, 7) 0, 8. Db α = cos ( ) 0,. Dc 7 α = sin ( ) 0, 79. D7a...verm. t.o.v. de x -as met y = sin( x )...translatie (, ) f ( x ) = + sin( x D7b...verm. t.o.v. de y -as met...translatie (, ) f ( x ) = + sin(( x ) D8 D9a D9b D9c...translatie (, ) y = + cos( x )...verm. t.o.v. de y -as met y = + cos( x )...verm. t.o.v. de x -as met f ( x ) = ( + cos( x )) = cos( x ) ofwel f ( x ) = cos( ( x ) f ( x ) = + sin( ( x )) evenwichtsstand amplitude periode = beginpunt (, ). (zie de grafiek hiernaast) f ( x ) = (intersect) x, 8 x,7 x 0, 8 x 0,7 x,7 x, 8 x,7 x, 8. f ( x ) (zie een plot/de grafiek), 8 < x <,7 0, 8 < x < 0,7,7 < x <, 8,7 < x <, 8. De helling is dy dx,8. x =

10 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg 0/ D0a f ( x ) = a + b sin( c( x d )) met evenwichtsstand a = 0, amplitude b = 0 0 = 0 en de periode is 0 0 = 0 = c = =. c 0 De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor x = 0 d = 0. Een formule: f ( x ) = 0 + 0sin( ( x 0) D0b f ( x ) = a + b sin( c( x d )) met a = 0, b = 0 en c =. De grafiek gaat een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor x = 7 d = 7. Een formule: f ( x ) = 0 + 0cos( ( x 7 ) Da u = sin(0 t ) = sin( ) de amplitude b = cm, de frequentie f = Hertz en de trillingstijd T = sec. Db Zie de grafiek van u hiernaast. Dc 0, periode is 0, = 0, 0, = 0, 0 (sec Dus uq = sin(0 ( t 0, 0) Da Db Dc De afstand AB = + 00 = 0 (m De omtrek van het vat (r) is 0, = 0, (m 0 Het aantal omwentelingen is. 0, Eén omwenteling duurt (aflezen in figuur 8.0b) sec. na,... 0 sec. is het vat in B. 0 Er wordt dus 0 meter afgelegd in 0,... sec. de snelheid is m/s,8 km/u. 0,... Gemengde opgaven 8. Goniometrie Ga P (cos(), sin()) P ( 0, ; 0, 9 Gb P ( cos(), sin()) P (,;, 8 Gc P (cos( ), sin( )) P (,8;, Gd P (8cos( ), 8sin( )) P (,9; Ga...verm. t.o.v. de x -as met...translatie (, ) y = + sin( x )...verm. t.o.v. de y -as met f ( x ) = y = + sin( x ) en...verm. t.o.v. de x -as met...translatie (, ) g( x ) = + cos( x + Zie de grafieken hiernaast. f of f ( x ) = + sin(( x ) Gb f ( x ) = + sin(( x )) en evenwichtsstand amplitude periode = beginpunt (, ). g( x ) = + cos( x + ) evenwichtsstand amplitude periode beginpunt (, ). Gc f ( x ) = 0 (intersect) x 0, x, x, 0 x, 0. (dit zijn de nulpunten) g Gd f ( x ) = g( x ) (intersect) x 0, x,8. f ( x ) < g( x ) (zie een plot/grafiek) 0 x < 0,,8 < x.

11 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / Ga h =, + 0, sin(0, ( t )) evenwichtsstand, amplitude 0, periode, 0, beginpunt (;, ). Teken nu zelf de grafiek van h. (gebruik een plot een TABLE) Gb De maxima op mei zijn periode en periode na het beginpunt. Dus bij t = + =,0... om :0 en bij t = + = 8,... om 8:. 0, 0, Gc In dag zitten bijna twee perioden. Dus op mei de eerste keer bij t = + (zoeken we niet) 0, en de tweede keer bij t = + 7 8, 0 om 0:9. 0, Gd h =,9 (intersect met 0 < t < ) t =,9... (om :) t = 7,... (om 7:). h >,9 (zie een plot/grafiek) tussen : en 7:. G7a u = sin( t ) evenwichtsstand 0 dm amplitude dm periode = sec beginpunt (0, 0). Zie de grafiek hiernaast. G7b Per seconde (trilling) wordt = 0 dm afgelegd. Dus in één minuut 0 0 = 00 dm ofwel 0 meter. G7c De snelheid op tijdstip t =, is du (dm/s dt 9,7 t =, G8a In de figuur G.9 is dat = 000 (cm G8b In figuur G.8 is de periode seconden 0 ademhalingen per minuut. Het minuutvolume is 0 00 = 000 (cm, dus liter). In figuur G.9 is de periode seconden ademhalingen per minuut. Het minuutvolume is 000 = (cm, dus 0 liter). De verhouding van het minuutvolume bij de ademritmes van figuur G.8 en figuur G.9 is 000 : = :. max min G8c V = a + b sin( c( t d )) met a ( = evenwichtsstand = ) = = 70; b ( = amplitude) = = 0; c ( = ) = = en d 0 (sinus gaat stijgend door de evenwichtsstand voor t 0) V 70 0 periode = = = + sin( t + + G8d V = a + b cos( c( t d )) met a ( = evenwichtsstand) = = 000; b ( = amplitude) = = 00; c ( = ) = = en d (cosinus heeft maximum voor t ) V cos( ( t ) periode = = = + G8e V = a + b sin( c( t d )) met a ( = evenwichtsstand) = 00 (gegeven); b ( = amplitude) = 00; (de periode van één ademhaling is = seconde, want er zijn 0 ademhalingen per minuut ) c ( = ) 0 = = = en d = periode (deze sinus heeft beginpunt voor t =, ). 8 Dus V = sin( ( t ) 8 G8f sin( ( t )) = 000 t 0,... t 0, Per ademhaling 0,... sec. per minuut 0 Ans, sec. G9a De omtrek van het rad ( r ) is 0 = 0 m. De snelheid is 0 m/ min (ongeveer) 0 0 : 000 =, 7, km/u. G9b h = a + b cos( ct ), want op t = 0 is het bakje in het hoogste punt. Evenwichtsstand a =, amplitude b = 0 en de periode is 0 = c = =. c 0 0 Een passende formule is h M = + 0cos( t 0 G9c van de bakjes eerder de fasevoorsprong is =. Hierbij hoort t = 0 = 0. Dus h W = + 0cos( ( t + 0) 0

12 G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / G9d Zie de grafieken hiernaast. G9e hm = hw (intersect) t = 0 t = = 80. (het bakje van Willeke stijgt). hm h W G0a f ( x ) = a + b sin( c( x d )) met, +, evenwichtsstand a = =, amplitude b =, =, en de periode is = c = = =,. c De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor x = d =. Een passende formule is f ( x ) +,sin(,( x ) G0b N ( t ) = a + b cos( c( t d )) met evenwichtsstand a = = 0, amplitude b = 0 0 = 0 en de periode is (7 ) = = c= =. c De grafiek gaat een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor t = d =. Een passende formule is N ( t ) 0 + 0cos( ( t ) Ga De omtrek van het wiel ( r ) is = 8 cm. (de snelheid van 8 km/u = m/s = 00 cm/s) Dus per seconde 00, keer rond. 8 Gb h = a + b sin( ct ), want op t = 0 is de ventiel helemaal rechts (op de evenwichtstand en heeft een positieve draairichting). Evenwichtsstand a =, amplitude b = 0 en de frequentie is 00 = c c = 000 = 00 = Een passende formule is h = + 0sin( 0t 7 Gc Lees in figuur G. af: het wiel draait één keer rond in seconde twee keer rond in seconde. De snelheid is 8 = cm/s. Dit is (ongeveer), km/u. Gd Lees in figuur G. af: in seconde 0 cm gestegen. Er is dan cm afgelegd. AB + BC = AC AB = AC BC AB = AC BC = ( ) 0. 0 De helling is BC 0,07 = 7%. AB Ga De lengte van de baan is = 0 (cm De snelheid van de trein is 0 cm/s. Gb yp = 0sin( t ) (0 < t <,). (de periode is = 9 = c = = ) 9 8 c 9 9 Gc Voor, < t < is de amplitude 9. (bij t = is de halve baan afgelegd) wissel Ga De helling op tijdstip t = 0,0 is dv (negatief dt 970 ) de spanning V neemt af. t = 0,0 Gb V = 00 sin(00 t ) (optie maximum) (eerste maximum na t = 0 voor) t = 0, 00. V * = 0 sin(00t ) (optie maximum) (eerste maximum na t = 0 voor) t 0, 00. V * bereikt 0, 00 0, 00 = 0, 000 seconden eerder het maximum. Ga y = + sin(0, 9 x ) =, 8 (met intersect de twee snijpunten naast één top) x 0, 7 of x,9. Dus de breedte van het blokje is (ongeveer), (cm Gb SQ = + 7 8, 8. S ligt even hoog als P ; hetzelfde aantal golven; even hoge toppen; enz. 8,8 De nieuwe grafiek is een horizontale uitrekking van G. met factor. 7 8,8 verm. y -as, 7 y = + sin(0, 9 x ) sin(0, 9 7 y = + x 8,8 Dus een mogelijke formule is y = + sin(0, x cm 7 cm