0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

Transcriptie

1

2 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de driehoek en de driehoek. Kenmerken van een periodiek verband: Deze driehoeken kan je beschouwen als de helft van een vierkant resp. de helft van een gelijkzijdige driehoek. De zijden van deze driehoeken hebben bijzondere verhoudingen. periode=de kortste tijd die het duurt tot herhaling optreedt evenwichtsstand=(hoogste stand + laagste stand)/ amplitude=(hoogste stand-laagste stand)/ Voorbeeld Met behulp van de driehoeken zijn de sinus, cosinus en de tangens van de hoeken 30, 45 en 0 makkelijk te 'onthouden'. Lees de periode, de evenwichtsstand en amplitude af Zie wortels en tekendriehoeken Antwoorden De periode is 5 De evenwichtsstand is De amplitude is

3 . de eenheidscirkel Hier zie je de eenheidscirkel. Het is een cirkel met een straal van. De hoek is de hoek tussen het lijnstuk MT en het positieve deel van de x-as. Omdat de straal is is de lengte van het 'rode lijnstuk' (verticaal) de sinus van de hoek en de lengte van het 'groene lijnstuk' (horizontaal) de cosinus van de hoek. overstaande hz sin M ST = ST = r schuine zijde = = aanliggende rhz schuine zijde = cos M MS = MS

4 . radialen Een hoek in radialen is de hoek uitgedrukt in de lengte van het cirkelboogje dat de 'hoek bestrijkt'. Een complete cirkel heeft een omtrek van, dus een hoek van 30 komt overeen 30 met 80 -ste deel van een halve cirkel en dat is. De sinus van 30 is een half en de cosinus 0 is ook een half. Je kunt dat makkelijk onthouden als je bedenkt dat in een driehoek de lengte van de kortste zijde precies de helft is van de schuine zijde. De 'andere' bijzondere driehoek is de driehoek. Daarmee kan je de sinus, cosinus en tangens van een aantal bijzondere hoeken makkelijk onthouden. graden en radialen op je grafische rekenmachine opgave A0 uit HAVO wiskunde B deel goniometrie

5 3. transformaties en sinusoïde Als je de hoek 'x' laat 'lopen' van 0 naar 80 en je tekent de grafiek van 'x dan krijg je de grafiek van f(x) = sin(x). sinx' O, nee, x 'loopt' van 0 naar :-) We hebben nu de grafiek getekend van f(x)=sin(x). Zo kun je ook de grafiek van g(x)=cos(x) tekenen: De grafiek van g(x)=cos(x) lijkt 'sprekend' op de grafiek van f(x)=sin(x). De grafiek van f is verschoven. Kennelijk is de grafiek van g(x)=cos(x) een transformatie van f(x)=sin(x). In deze paragraaf gaat het over transformaties van goniometrische functies. Een transformatie is een afbeelding. Je kunt de grafiek van de sinus of cosinus ook verschuiven, spiegelen of vermenigvuldigen. Als je de grafiek van een sinusoide transformeert dan verandert ook het functievoorschrift. De 'kunst' is om 'transformaties' te koppelen aan de wijzigingen van het functievoorschrift. Zie overzicht transformaties van grafieken voor een overzicht van de transformaties die we in dit hoofdstuk nodig hebben. Hieronder zie je de voorbeelden en een aantal toetsopgaven.

6 4. formules van sinusoïden opstellen Een formule van een sinusoide opstellen Bij een sinusoide moet je een formule kunnen opstellen. Uitwerking opdracht Kijk eerst naar het hoogste en laagste punt. Je weet dan de evenwichtsstand en de amplitude: Opdracht We zien: a= en b=,5 Uitwerking opdracht vervolg Kijk dan naar de periode en t 0 : Geef de formule We zien T=3, dus c= 3 en t 0 =. De formule wordt: h(t) = + 5 sin 3 t

7 Opdracht Uitwerking opdracht h(t) = a + b sin c t d Stel een formule op van de vorm y = a + b sin(c(x d) Opdracht 3 h(t) = + sin 5 t 3 Uitwerking opdracht 3 Stel een formule op van de vorm y = a + b cos(c(x d) Opdracht cos 3 t + 4 Uitwerking opdracht 4 Stel een formule op van de vorm y = a + b cos(c(x d) 3 + cos 5 t + 4

8 Opdracht 5 Uitwerking opdracht 5 Gegeven is f(x) = 3 sin(x) + sin(x ) Schrijf met behulp van je GR f in de vorm y = a + bsin(c(x d)). Rond, zo nodig, af op decimalen. Opdracht y = + 3 sin(x 0 59) Uitwerking opdracht Geef de evenwichtslijn, amplitude, periode en horizontale verschuiving van f: Zorg dat je de standaardformule gebruikt. Schrijf de functie als: f(x) = 3 sin(4x ) + 5 f(x) = a + b sin(c(x d)) Bij dit voorbeeld wordt dat: f(x) = sin(4(x 4 )) evenwichtslijn: y=5 amplitude = 3 periode = 4 = horizontale verschuiving= 4 Opdracht 7 Op de kermis staat n reuzenrad. Op t hoogste punt is n bakje 0 m boven de grond. Het rad maakt omw/min. Op t tijdstip t = 0 is t bakje beneden. Op welke hoogte is t bakje na 0 sec? Uitwerking opdracht 7 Evenwichtsstand=0 Amplitude=0 c = 0 5 = 4 Horizontale verschuiving=0 De 'slinger' begint op 0 op t = 0 dus neem cos( ). De formule is: H(t) = 0 0 cos(4 t) met t in minuten. Na 0 seconden is de hoogte gelijk aan: 0 H(t) = 0 0 cos(4 ) = 5 0 Na 0 seconden bevindt 't bakje zich op 5 meter hoogte.

9 5. goniometrische vergelijkingen Stel je voor dat je deze goniometrische vergelijking wil oplossen: sin( ) = De vraag is dan wat is de waarde van zodat de sin( ) gelijk aan is. Je wist waarschijnlijk al dat de sin(30 ) gelijk is aan een. In radialen is dat gelijk aan, dus je weet (in ieder geval) dat een oplossing is. In de grafiek is het punt A( ) aangegeven... Maar er zijn nog veel meer hoeken die een sinus hebben gelijk aan een. Punt B, C en zelfs D. o Kortom: er zijn oneindig veel oplossingen. Er zijn zelfs twee verschillende verzamelingen met een oneindig aantal oplossingen. De vraag is nu: hoe kan je dat oneindig aantal oplossingen opschrijven en kan je er dan nog wel mee rekenen?

10 Voorbeeld We gaan de vergelijking sin (3 ) + 4 = 5 oplossen Stap sin (3 ) + 4 = 5 sin (3 ) = sin(3 ) = Stap 3: sin (3 ) + 4 = 5 sin (3 ) = sin(3 ) = Stap We weten dat, maar dan ook en 5 5 4,... maar ook en 3... allemaal een sinus van een hebben. Je kunt dit kort opschrijven als: + k met k Z. 5 Maar was ook goed. Op dezelfde manie schrijf je dan: 5 + k met k Z Stap 4: sin (3 ) + 4 = 5 sin (3 ) = sin(3 ) = 3 = + k 3 = 5 + k 3 = + k 3 = 5 + k We zijn er bijna. Je moet nu nog links en rechts delen door 3. Bedenk daarbij dat je dan alle termen moet delen door 3... = 8 Opgelost! Soms is het domein gegeven en moet je achteraf bepalen welke waarden voor in het domein voldoen aan de vergelijking. In onderstaand document kan je er meer lezen ove het oplossen van goniometrische vergelijkingen, voorbeelden bekijken, tips en truuks... Het oplossen van goniometrische vergelijkingen PHET applet bekijken + k 3 = k 3

11 . toepassingen van sinusoïden Berekeningen met de sinus en cosinus Bij een formule als y = 3 + sin( 4 (x )) met 0 x 0 moet je volgende vragen kunnen beantwoorden:. Bereken algebraisch y max en de bijbehorende x. Bereken algebraisch y min en de bijbehorende x 3. Bereken y voor x = Bereken x voor y = 4 5. Bereken de helling van de grafiek voor x = 5. Bereken de maximale helling van de grafiek Zie bladzijde 8 van je boek. Sinusoiden gebruiken De gemiddelde dagtemperatuur T in C in Napels kan worden benaderd door het model T = a + b sin(c(n d)). Hierin is n het dagnummer met n = op januari. Gegeven is dat T maximaal is op 0 juli en dat T 5 C. Verder is T minimaal op 9 januari en T C. Bereken a, b, c en d Zie uitwerking Napels Voorbeeld max = Zie examenopgave Toepassingen min = 9