6. Goniometrische functies.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "6. Goniometrische functies."

Juliana Molenaar
9 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte van het punt uit tegen de hoek waarover gedraaid is dan krijg je een sinusvormige grafiek. Dat is ook het geval als je de horizontale afstand van het punt uitzet tegen de hoek. 6.1 R R3 Omzetten van graden naar radialen. π π 36 = π rad 1 = = rad π x = x rad 18 afgerond: x =,1745xrad voorbeeld: 45 9 =,785 rad = 1,57rad Omzetten van radialen naar graden. 36 π rad= 36 1rad= π 36 xrad= x afgerond: xrad= 57,3x π voorbeeld:3,14 rad= 18 1rad = 57,3 3 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

2 R4 h sin( α) = b cos( α) = h tan( α) = b en en h b h 1 1 b 1 1 alsα π sin(α) is maximaal 1 bij α = π rad= 3 sin(α) is minimaal -1 bij α = π rad= cos(α) is maximaal 1 bij α = rad= cos(α) is minimaal -1 bij 9 7 α =π rad=18 R5 Bij een middelpuntshoek van 1 rad en een straal van m heeft de bijbehorende cirkelboog een lengten m. Bij een middelpuntshoek van π rad en een straal van m heeft de bijbehorende cirkelboog een lengte van π r = 4π = 1,56m Deze lengte noemt men de omtrek. 4 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

3 R6 sin(α) = cos(π/ α) zie figuur sin(α) = sin(α + π) omdat na 1 omwenteling de hoek weer hetzelfde is. ls sin(x) = a, dan ook sin(x + k π) = a en ook sin(π x + k π) = a (k ϵ Z) zie figuur R7 Waarom geldt: sin (α) + cos (α) = 1? (sin (α) = (sin(α))? h sin ( α) = h = sin ( α) b cos ( α) = b = cos ( α) h + b = sin ( α) + cos ( α) = sin ( α) + cos ( α) = 1 R8 ls je de sinus, cosinus tangens kent kun je via de inverse functie de hoek berekenen. Voorbeeld: sin( x) =,3 arcsin(,3),35rad cos( x) =,7 arccos(,7),795rad tan( x) =,45 x = arctan(,45),43 rad 3,14-,35 6,8,795= 5,485rad π arcsin(,3) =,84rad π arccos(,7) π + arctan(,45) 3,14+,43= 3,563 rad 5 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

4 R9 sin(π α) = sin(α) cos(π α) = cos(α) tan(π + α) = tan(α) R1 Hoe kun je een vector ontbinden in een x- en y-component? Hoe kun je een vector ontbinden in componenten die loodrecht op elkaar staan? 6. R11 Waarom is cos(x) = sin(x + π/) R1 Wat is het voordeel om het functievoorschrift sin(x + π/) te schrijven als sin(x + π/4)? Op deze manier zie je dat de grafiek van sin(x) π rad naar links verschoven is. 6 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

5 R13 Geef het functievoorschrift van een sinus met een 4x zo korte periode in rad dan y = sin(x) y= sin(x) 1omwentelin g periodevoor[,π] y= sin( 4x) 4omwentelin genvoor[,π] R14 Voor een harmonische beweging geldt : y = 3sin(5x + 1) 5 periodesvoor domein[,π] π dus1periodevoor domein[, ] 5 De frequentie is 5,wel 5 omwentelingen als x verandert van tot π. R15 y = 3sin(5x + 1) voor het domein [,π]. 7 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

6 Hoeveel is de grafiek van deze functie verschoven t.o.v. 3sin(5x)? 3 sin(5x + 1) = 3sin 5( x+,) De grafiek is, rad naar links verschoven.( klopt met figuur) 1.3 R16 Bij sin(3x) heb je 1 periode voor π x domein[,π] 3 Bij sin(x ) heb je 1 periode voor het domein [,π]. Bij sin(,5x ) heb je,5 periode voor het domein [,π]. R17 De grafiek van sin(x - 1) is 1 rad naar rechts verschoven t.o.v. de grafiek van sin(x). bij x = 1 heeft sin(x - 1) dezelfde y-waarde als bij sin(x) bij x =. De grafiek is dus 1 rad naar rechts verschoven. sin(x 1) + 1= sin ( x,5) + 1 De periode is gehalveerd, de grafiek is,5 rad naar rechts verschoven en 1 schaaldeel naar boven t.o.v. de grafiek van sin(x)? R18 De grafiek van sin(-x) is 3,14 radialen verschoven t.o.v. de grafiek van sin(x). De grafiek van sin(-x) is de grafiek van sin(x) gespiegeld t.o.v. de y-as. Dat is hetzelfde als een verschuiving van π rad. sin( x) = sin( x+ π) sin( x) 8 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

7 R19 cos( x) = cos( x) = sin( π x) De grafiek van cos(x) is π naar links verschoven t.o.v van de grafiek van sin(x). R rood = sin(x) blauw = sin(-x) groen = sin(π/ x) R1 Wat is het verschil in de grafiek van sin(x+) en sin(x) +? De grafiek sin( x+) is rad naar links verschoven t.o.v. de grafiek van sin(x). De grafiek van sin(x) + is schaaldelen naar boven verschoven t.o.v. de grafiek van sin(x). 6.3 R Bij een harmonische trilling kun je altijd een cirkelbeweging denken. De projectie van het rondddraaiend punt op de horizontale en verticale as verandert volgens een sinus cosinus. ls je de tijd en dus de hoekverdraaiing weet kun je ook de verandering uitrekenen in horizontale en verticale richting. R3 R4 Leg uit waarom ω = π rad/s In seconden wordt een hoek afgelegd van π radialen. π De hoeksnelheid ω = rad s π In plaats van α kun je ook de formule ( t+α ) gebruiken. π α is de beginhoek (op t = ) en t is de afgelegde hoek in t seconden. π In plaats van ( t+α ) kun je ook (πft + α ) (ωt + α ) gebruiken. f = 1 en ϖ π = ls je de waarde van de trillende grootheid op t = weet kun je daarmee de beginhoek uitrekenen. 9 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

8 R5 Voor de uitwijking van een verende massa t.o.v. de π evenwichtsstand geldt: u ( t) = sin( t+α ). π Voor de snelheid geldt: v ( t) = vmaxcos( t+ α). ls de maximale waarde in de u(t)-grafiek bereikt is, is de snelheid. ls u(t) = dan is de snelheid maximaal. R6 Geef een verklaring voor de vorm van de grafiek van f(x) = sin (x) f(x) = (sin(x)). Door het kwadraat is sin ( x) altijd positief. R7 Voor punt P geldt: y(t) = 4sin(,5t + 1) Voor punt Q geldt: y(t) = 4sin(,5t + ) Beide punten liggen op een koord waar een sinusvormige golf doorheen gaat. Beschrijf het verschil in beweging van P en Q. P en Q voeren beide een trilling uit met dezelfde amplitude en frequentie,alleen is er een hoekverschil van 1 rad. 1 Dus als Q op zijn maximale waarde is, moet P nog =,4s,5 bewegen voordat deze de maximale waarde heeft. R8 ls je de cirkelbeweging zou tekenen bij een slinger is het wellicht inzichtelijker om deze 9 te verdraaien. De hoek van de cirkelbeweging is dan als de uitwijking is. 6.1 R9 ls een punt dat een harmonische trilling uitvoert via een elastische tussenst via een elektrische- magnetische kracht verbonden is met andere punten, dan gaan deze punten ook een harmonische trilling uitvoeren. Hoe verder verwijderd van de bron hoe later deze punten beginnen. In het functievoortschrift is dit te zien aan de beginhoek. Punt bij de bron : U(t) = 4sin(πft) Voor punt op 6,3 golflengtes verder geldt: U(t) = 4sin(πf(t 6,3)) Bekijk hiervoor ook applet reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

9 6.4 R3 Bij de vergelijking,4x + 3=,5+ k π moet je hoek x uitrekenen.,4x+ 3=,5+ k π,4,5+ k π,5 + k π = 1,5+ k π,4 Dit blijkt niet te kloppen! Je moet alles delen door,4, dus,4x+ 3=,5+ k π,4,5+ k π,5 k π + = 1,5+ k 5π,4,4 R4 sin(x + ) > De maximale waarde van = tan(3x 1) < B B heeft geen maximale waarde. 11 reflectievragen hodstuk 6 Wiskunde HBO 13 Vervoort Boeken

Vergelijkbare documenten

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde