2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Transcriptie

1 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Les Speciale functies. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme We ebben nog niet aangegeven oe we a voor een niet-rationaal zullen berekenen. Het voor de and liggende is dit door een limiet-process met rationale waarden voor te benaderen. Het laat zic nu aantonen dat de functie f : R R, a voor a > 0 in 0 differentieerbaar is en omdat a + a a a volgt dat f() een differentieerbare functie is. Als we nu verder eisen dat f (0) is, kunnen we ieruit de waarde van e a bepalen. Dit geeft et Euler-getal e.788. Maar als lim e geldt, dan is f e () lim + e 0 e e lim 0 e e f(). We ebben dus gezien dat f() e een functie is die voldoet aan f() f (). Deze functie eet de eponentiële functie en wordt vaak ook met f() ep() genoteerd. Samenvattend ebben we dus: ep () ep() en ep(0). De eponentiële functie speelt in veel toepassingen een rol, bijvoorbeeld in de bescrijving van radioactief verval of bij de ontwikkeling van populaties. Maar ook bij et remmen van een auto of bij et verloop van de temperatuur tussen twee kamers met verscillende temperaturen is ep() van toepassing. We weten (uit ervaring) dat we met evenveel remkract niet zo snel van 00 naar 80 km per uur kunnen afremmen, dan van 50 naar 0. De verandering van de sneleid bij et remmen is dus afankelijk van de sneleid zelfs. Ook bij de temperatuur zien we een soortgelijk effect: als we een kamer van 0 naast een kamer van 50 ebben zullen de temperaturen sneller veranderen dan bij kamers van 0 en 0. Bij veel processen vinden we dus een afankelijkeid van de vorm f () C f(), waarbij C een constante is. De oplossingen van dit soort vergelijking angen nauw samen met de eponentiële functie. Algemeen noemen we vergelijkingen tussen een functie f() en un afgeleiden f (), f () enz. een differentiaalvergelijking. Een belangrijke eigenscap van de eponentiële functie is, dat ze door f () f() en f(0) eenduidig bepaald is. Dit zien we als volgt in: Neem aan dat f() een functie is met f () f() en f(0), dan bepalen we de afgeleide van de functie g() : f() ep(). Hiervoor geldt g () f () ep() f() ep() g() 0, omdat f () f(). Maar ieruit volgt dat g() een constante functie is, dus is f() c ep() en uit f(0) ep(0) volgt f() ep(). Uit e > volgt dat ep() > 0 voor alle en ep() > voor alle 0, daarom is ep(y) ep() (ep(y ) ) ep() > 0 voor y >. Dit toont aan dat ep() een op R strikt stijgende functie is. Het bereik is (0, ), dus kunnen we op et open interval (0, ) de inverse functie van ep() definiëren. Deze noemen we de natuurlijke logaritme en noteren deze als log() of ln(). 59

2 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Uit onze formule voor de afgeleide van de inverse functie kunnen we de afgeleide van log() makkelijk berekenen, er geldt log () ep (log()) (ep log)()). 4 ep() y + y log() y Figuur II.7: Eponentiële functie en natuurlijke logaritme Om de functie f() a af te leiden is et andig om de relatie a e log(a) en dus a e log(a) ep(log(a)) te gebruiken. Tenslotte nog twee belangrijke relaties voor et optellen en vermenigvuldigen bij ep en log: ep( + y) ep() ep(y) en log(y) log() + log(y).. Trigonometrisce functies De trigonometrisce (of goniometrisce) functies zijn gebaseerd op de meetkunde van rectoekige drieoeken. Als in een rectoekig drieoek de scuine zijde lengte eeft, en a een van de niet-recte oeken is, dan noemen we de lengte van de zijde tegenover a de sinus sin(a) en de lengte van de andere rectoekszijde de cosinus cos(a) van a. In et plaatje van Figuur II.8 is 0B de scuine zijde in et drieoek 0BC en we ebben sin(a) BC en cos(a) 0C. Een van de belangrijkste relaties voor sinus en cosinus volgt meteen uit de stelling van Pytagoras, namelijk sin () + cos (). Om de afgeleide van sin() te bepalen moeten we iets over de quotiënt sin(a+) sin(a) zeggen. Maar oe kunnen we de sinus van een som van twee oeken bepalen? Hiervoor geeft et volgende plaatje een aanleiding. We weten (uit Lineaire Algebra) dat we de vector w (cos(a+), sin(a+)) kunnen scrijven als de som van zijn ortogonale projecties op de ortonormale basisvectoren v (cos(a), sin(a)) en v ( sin(a), cos(a)). Maar de lengte 60

3 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, y A B 0. 0 a C Figuur II.8: sin(a) BC, cos(a) 0C (cos(a+), sin(a+)) (cos(a), sin(a)) (-sin(a), cos(a)) a Figuur II.9: De sinus van de som van twee oeken van de projectie van w in de ricting van v is cos() en de lengte van de projectie in de ricting van v is sin(). Dus geldt: (cos(a + ), sin(a + )) cos()v +sin()v (cos(a) cos() sin(a) sin(), sin(a) cos()+cos(a) sin()). Dit geeft de twee optelteorema s: cos(a + ) cos(a) cos() sin(a) sin(), sin(a + ) sin(a) cos() + cos(a) sin(). We kunnen de quotiënt sin(a+) sin(a) dus erscrijven als sin(a) cos(). We weten dat lim 0 sin() 0 en lim 0 cos(), maar om cos(a) sin() de limiet van sin(a+) sin(a) moeten we nog iets meer weten. + Eerst een algemene opmerking: Vaak worden oeken niet in graden maar in radialen aangegeven. Het idee ierbij is, een oek door de lengte van de bij orende cirkelboog in een cirkel van straal te bescrijven. Een oek van 60 eeft een volle cirkel als boog en die eeft lengte π. Omgekeerd oort een boog van π bij een oek van 80. Dus komen we van graden naar radialen door de π oek in graden met 80 te vermenigvuldigen en van radialen naar graden door te vermenigvuldigen. We zullen oeken meestal in radialen aangeven. met 80 π 6

4 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 We kunnen nu ook algemeen de lengte van een cirkelboog aangeven, dat is namelijk r a, als r de straal van de cirkel is en a de bij de boog orende oek in radialen. In Figuur II.8 eeft dus de boog van B naar lengte a en de boog van A naar C lengte a cos(a). Omdat de boog AC korter is dan de lijn BC geldt a cos(a) < sin(a). en omdat de lijn BC korter is dan de boog B geldt sin(a) < a. Hieruit volgt (voor oeken a met 0 a π ) dat cos(a) < sin(a) a <. Dit toont in et bijzonder aan dat lim 0 sin() cos () (cos()+) sin () (cos()+) 0 sin() sin() cos()+ is. Verder is cos() en omdat sin() cos()+ voor 0 naar 0 gaat is lim 0 cos() 0 0. Als we alles bij elkaar nemen volgt dus sin(a + ) sin(a) lim lim sin(a) cos() + cos(a) sin() 0 0 Kort en goed: de afgeleide van de sinus is de cosinus, ofwel sin () cos(). cos(a). We kunnen de afgeleide van de cosinus nu op dezelfde manier bepalen, maar met een klein trucje gaat et sneller. We weten dat sin () + cos () is, dus geldt 0 (sin () + cos ()) cos() cos () + sin() sin () cos()(cos () + sin()). Hieruit volgt meteen: cos () sin(). cos() sin() 4 4 Figuur II.0: Sinus- en cosinus-functie Net zo als we de eponentiële functie ep() door de differentiaalvergelijking f () f() ebben gekarakteriseerd, kunnen we ook sinus en cosinus door een differentiaalvergelijking karakteriseren. Het is duidelijk dat voor de tweede afgeleiden geldt dat sin () sin() en cos () cos(). Differentiaalvergelijkingen van de vorm f () C f() spelen bijvoorbeeld bij de bescrijving van trillingen een belangrijke rol. De bewering is nu, dat een functie f() met f () + f() 0 een lineaire combinatie van sin() en cos() is. Neem eerst aan we ebben een functie f() met f () + f() 0, f(0) 0 en f (0) 0. Dan is 0 f ()(f () + f()) (f () +f() ), dus is f () +f() een constante functie en omdat f (0) f(0) 0 is f () + f() 0 voor alle. Maar omdat een som van kwadraten alleen maar 0 is als alle kwadraten 0 zijn volgt ieruit dat f() 0 voor alle, dus is f() de constante 0-functie. 6

5 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Neem nu aan dat f () + f() 0, f (0) a en f(0) b. Dan geldt voor g() : f() a sin() b cos() dat g () + g() 0, g (0) f (0) a 0 en g(0) f(0) b 0. Dus is g() 0 en dus f() a sin() + b cos(). Uit de functies sin() en cos() worden een aantal andere functies afgeleidt, de belangrijkste iervan is de tangens de gedefinieerd is door tan() : sin() cos(). Het domein van de tangens zijn de punten R met cos() 0, dus π +nπ met n Z. Voor tan() geldt de relatie + tan () cos ()+sin () cos () cos (). Toevallig is dit ook de afgeleide, want tan () ( sin(). Er geldt dus: cos () tan () + tan () cos() ) cos (). cos() cos() sin()( sin() cos () 4 y Figuur II.: Tangens-functie De inverse functies van de trigonometrisce functies eten arcus-functies en worden als arcsin() : sin (), arccos() : cos () en arctan() : tan () genoteerd. De afgeleiden van deze functies worden makkelijk met de formule f () f (f ()) gevonden. Het bereik van sin() is et interval [, ] dus eeft arcsin() dit interval als domein. We ebben arcsin () cos(arcsin()). sin (arcsin()) Het domein voor arccos() is ook [, ] en op dezelfde manier als voor arcsin() tonen we aan dat arccos () sin(arccos()) cos (arccos()). We ebben dus: 6

6 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 arcsin (), arccos () Figuur II.: Arcussinus- en arcuscosinus-functie Het bereik van tan() is R, maar de functie is alleen maar monotoon op een interval ( π, π ) (of een verscuiving iervan om nπ. De arcustangens-functie is dus op R gedefinieerd en eeft waarden tussen π en π. Voor de afgeleide geldt: arctan () dus ( cos ) cos (arctan()) +tan (arctan()) +, (arctan()) arctan () Figuur II.: Arcustangens-functie De arcustangens-functie wordt vaak gebruikt om eperimentele waarden naar een genormeerd interval af te beelden. Bijvoorbeeld zijn de waarden, die een zoekmacine voor de kwaliteit van een zoekresultaat aangeeft meestal waarden tussen 0 en (of tussen 0% en 00%). Maar de gebruikte metoden 64

7 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 leveren vaak waarden die niet eens naar beneden of boven begrensd zijn. Dan is et andig om zo n waarde af te beelden met de functie f : R R, π (arctan() + π ).. Hyperbolisce functies Een verdere klasse van belangrijke functies zijn de yperbolisce functies. Deze zijn afgeleidt van de eponentiële functie, maar ebben eigenscappen die op eigenscappen van sin() en cos() lijken. We definiëren de sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus door sin() : (ep() ep( )), cos() : (ep() + ep( )). We gaan eenvoudig na dat sin () cos() en cos () sin(). Verder vinden we dat cos () sin (). cos() 0 sin() Figuur II.4: Sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus 65

8 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 De naam van de yperbolisce functies eeft betrekking tot de yperbolisce meetkunde. Terwijl we in de Euclidisce meetkunde afstanden met de norm + y meten, wordt dit in de yperbolisce meetkunde met y gedaan. In de Euclidisce meetkunde parametriseren we punten met afstand r van et nulpunt door r(cos(t), sin(t)). In de yperbolisce meetkunde wordt dit r(cos(t), sin(t)). De meest belangrijke toepassing van yperbolisce meetkunde is de ruimtetijd uit de speciale relativiteitsteorie. Analoog met de tangens-functie wordt ook een tangensyperbolicus gedefinieerd: tan() : sin() cos(). We ebben tan () cos () sin () cos () tan () cos () sin () cos () cos (), dus tan () tan () cos () cos (). en voor de afgeleide geldt Figuur II.5: Tangensyperbolicus Merk op dat ook de functie tan() net als arctan() voor et normaliseren van eperimentele waarden gebruikt kan worden. Ook de yperbolisce functies ebben inverse functies, deze eten de areafuncties en worden met arsin() : sin (), arcos() : cos () en artan() : tan () genoteerd. We kunnen deze inverse functies epliciet bepalen, want uit y sin() (ep() ep( )) volgt door vermenigvuldiging met ep() dat ep() y ep() 0. Dit geeft de oplossingen ep() y ± y +, maar omdat ep() > 0 is alleen maar et plusteken mogelijk. Het domein van arsin() is R omdat dit et bereik van sin() is. Dus geldt voor R: arsin() log( + + ). Voor de afgeleide geldt arsin () +. Dus is arsin () cos(arsin()) +sin (arsin()) +. 66

9 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Het trucje van sin() toegepast op cos() geeft ep() y ep()+ 0, dus ep() y ± y. In dit geval moeten we erop letten, dat cos() niet monotoon is, we kunnen dus of een inverse functie voor > 0 of voor < 0 aangeven. Voor de inverse functie van cos() met > 0 geldt et plusteken, dus is arcos() log( + ). De afgeleide van arcos() vinden we net als voor arsin(): arcos (). Dus geldt cos (arcos()) sin(arcos()) arcos () Figuur II.6: Areasinusyperbolics en areacosinusyperbolics Tenslotte kijken we naar artan(). Voor y sin() cos() ep() ep( ) ep()+ep( ) eb- ep() ep()+ep( ) en y ep( ) ep()+ep( ), dus geldt + y ben we + y ep()( y) en dus ep() +y y. Hieruit volgt + artan() log( log( + ) Figuur II.7: Areatangensyperbolicus 67

10 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 De afgeleide van artan() vinden we door artan () tan (artan()) cos (artan()) tan(artan()), dus is artan (). Belangrijke begrippen in deze les eponentiële functie, logaritme trigonometrisce functies yperbolisce functies Opgaven. Laten f, g : R R de functies zijn met f() : log( + ) en g() : ep(). Bereken de samengestelde functies f g en g f en de afgeleiden f (), g (), (f g) () en (g f) ().. Toon aan dat voor alle (0, ) geldt dat log().. Laat zien dat sin + tan > voor alle (0, π/). (Hint: Differentieeren.) 4. Definieer f : R R door f() : + sin + arctan(). Toon aan dat f een inverse functie met domein R bezit. Daarvoor moet je bewijzen dat f injectief is en et geeel van R als bereik eeft. 5. Bepaal de afgeleiden van: (i) f (), (ii) f () sin(), (iii) f () log(cos() + sin()), (iv) f 4 () sin ( cos( ) ), (v) f5 () ep( ), (vi) f 6 () ep(arctan()), (vii) f 7 () 5 cos(), (viii) f 8 () log ( ), (i) f9 + () arcsin ( ) Bereken voor f() : + de functies g() : f(f ()) en () : f (f()). 68