Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie
|
|
- Nelly van Dam
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0 ). Van de volgende soorten functies zullen we een voorbeeld geven van het uitvoeren van functie-onderzoek. 14 Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie 1) Met een positief exponent in de term(en) R N I. Lijnen: constante functies = en lineaire of eerstegraadsfuncties: =+ II. Kwadratische functies III. Derdegraads functies IV. Hogeregraads functies V. Rationale of gebroken functies 2) Met een negatief exponent N VI. hyperbolische functies 3) Met een breuk als exponent; VII. Exponentiele en logaritmische functies: dit zijn de wortelfuncties Functies zoals (bijv. 2 ) horen hier ook bij, want = (omzetting) VIII. functies van de vorm (exponentiële functies) en ( logaritmische en ln-functies ( = ) ) Speciale functies: IX. Absolute functies oftewel modulus functies (functies met een knik bij =0) X. Inverse functies (gespiegeld in = ) exponentiële functies versus log functies 2 log = ln of bijv. twee lijnen =5 =20 4
2 Checklist voor functie-onderzoek 1. Domein van de functie - Welke waarden kan aannemen? Ook bereik bekijken (de waarden van ) 2. Nulpunten van. Snijpunten met de x-as. Hiervoor ==0 oplossen 3. Snijpunten met de y-as bepalen, d.w.z. 0 invullen in : 0,0 4. Extreme waarden zoeken (maxima en minima) Eerst stationaire punten bepalen : 0 oplossen (eerste orde afgeleide) wordt in de economie ook wel de marginale functie genoemd en geeft ongeveer aan: de verandering van als met één eenheid toeneemt, uitgaande van een bep. punt van de grafiek Het stationair punt kan een maximum (max), minimum (min) of buigpunt (bp) zijn. 1e methode is m.b.v. tekenoverzichten tekenoverzichten maken voor en bij tekenwissel in stationair punt van heeft een max of min. (Geen tekenwisseling dan een buigpunt in ) Als 0 dan is stijgend Als 0 dan is dalend intervallen bepalen Aan een tekenoverzicht kan je heel veel aflezen over de vorm van de grafiek van de functie 2 e methode bepalen max of min voor m.b.v. de tweede afgeleide van in het stat.punt. Als 0 in het stationair punt dan heeft een minimum Als 0 in het stationair punt dan heeft een maximum 5. Eventuele buigpunten bepalen 0 oplossen (2 e orde afgeleide Tekenoverzichten maken en " ) Indien tekenwisseling in bij het stationaire punt dan heeft een buigpunt. Bepalen coördinaten van het buigpunt, 6. NIEUW: convexiteit/ concaviteit - interval bepalen waar de functie convex / concaaf is. Convex stijgend : functie (y-waarde) stijgt dan steeds sneller per eenheid van x erbij 15 Concaaf stijgend : de y-waarde stijgt steeds langzamer per eenheid van x erbij Een buigpunt is een overgang van convex naar concaaf of omgekeerd. Convexiteit/concaviteit belangrijke rol in de economie (bijv. snellere/langzamere toename kosten/winst per eenheid produktie/verkoop)
3 7. Het gedrag van als ( limieten ). De functie kan dan een horizontale asymptoot (HA) hebben. 8. Het gedrag van vlakbij niet gedefinieerde x-waarden. De functie kan dan verticale asymptoten (VA) hebben. De pntn 7en 8 gaan over limieten en asymptoten, HA, VA en SA (horizontale, verticale en schuine asymptoten) 9. Tabelletje maken met de belangrijke gevonden punten van om te kunnen schetsen 16 = 10. Schetsen van de grafiek met aangeven van alle gevonden punten en bijzonderheden 11. NIEUW: Bereken raaklijnen in punten van en buigraaklijnen in buigpunten van Berekenen (raak)lijnen met behulp van de vergelijking =+ Opm 1: als =0 (stationair punt) dan heeft de grafiek daar een horizontale raaklijn (dus in extremen en buigpunten heeft de functie een horizontale raaklijn) Opm 2: als niet bestaat voor een waarde van, maar f zelf bestaat wel, dan heeft in die x-waarde een verticale raaklijn (een vertikale lijn is geen functie want voldoet niet aan de vertikale lijntest, zie Kaper H1) Verticale raaklijnen zoals bijv. 0 bij de functie, hebben geen r.c. want bestaat niet in dat punt. In de andere gevallen is de raaklijn aan een punt van de grafiek van : met.. Extra restricties omdat we werken met economische grootheden Bij economische functies (zoals kostenfuncties, produktiefuncties etc.) zijn de x- en y-waarden beide groter gelijk aan nul. Met andere woorden we bekijken alleen het deel van de functie dat in het eerste kwadrant ligt (dus waar x en y beiden groter of gelijk aan nul zijn) Eerst bepaal je alle gevraagde intervallen wiskundig en daarna pas ga je de economische restrictie op het interval toepassen. Het deel dat daardoor niet meer voldoet (v.n.) arceer je dan en je zet er v.n. bij. Verderop in dit diktaatje zijn hier een aantal voorbeelden van.
4 Uitwerking functie-onderzoek I. Lijnen: constante functies horizontale lijnen met 0 en lineaire of eerstegraadsfuncties: met 17 II. Kwadratische functies Algemeen : met, 0 (dit is een polynoom of veeltermfunctie) Als 0 dan dalparabool Heeft een minimum als extreme waarde. Als 0 dan bergparabool Heeft een maximum als extreme waarde. optioneel kwadraat afsplitsen. Handig bij bepalen extreme waarde en symmetrieas van Bepaling snijpunten met de x-as 0 0 oplossen: Ontbinden in factoren uit het hoofd 14 als mogelijk, anders m.b.v. de abc-formule : discriminant), met 4 (de Een voorbeelfunctie 23 0 : het is een dalparabool (heeft een minimum als extreme waarde) 1. Domein : 2. Nulpunten : ,0 1,0 3. Snijppunten y-as : ,3
5 4. Extreme waarden : hiervoor tekenoverzichten maken Nu links en rechts van 1 een waarde invullen in en kijken of +++ of zie bijbehorend tekenoverzicht. Aflezen: gaat van dalend naar stijgend dus er is een min bij Het minimum is 1, invullen dus voor elke convex (bolle zijde naar onder) 6. heft geen nulpunten dus ook geen overgang van +++ naar of omgekeerd; er zijn geen buigpunten 7 en 8. Geen bijzonderheden, geen asymptoten. 9. enkele punten (tabel invullen) schets : overal convex: eerst dalend convex dan stijgend convex dalend op interval, 1 stijgend convex 1,, nergens concaaf (bolle zijde naar boven) en overal convex (bolle zijde naar onderen) 11. Raaklijnbepaling bijvoorbeeld: bepaal de raaklijn in de extreme waarde dus in min 1,4. Raaklijn in 1,4 aan met wisten we eigenlijk al, want rc raaklijn in extreme waarde 0 Punt invullen ter bepaling van de b-waarde: 1, *! Dit is een HORIZONTALE RAAKLIJN,omdat 0 in een extreme waarde van De raaklijnen in de andere punten van zijn niet horizontaal. III. Derdegraadsfuncties De eenvoudigste derdegraadsfunctie is 1. Domein geen bijzonderheden:, 2. Nulpunten 0 0 nulp. : (0, 0) 3. Snijp. Met y-as 0,0 4. Extreme waarden Kan zijn top, dal of buigppunt bij 0 en daarvoor tekenoverzicht maken en bepalen. 5. Onderzoek naar buigpunt 2 e orde afgeleide :
6 Tekenoverzicht maken en tekens bepalen bij de eerste en tweede afgeleide van Tekenwisseling bij 0 in. Er is een buigpunt in namelijk in 0,0 Geen tekenwisseling in dus geen extereme waarden voor is concaaf en stijgend op,0 want is daar is convex en stijgend op 0, want is daar Limiet naar en geen bijzonderheden ; 8. geen asymptoten want er zijn geen verboden x-waarden (niet-gedefinieerde x-waarden) 9. enkele punten 10. Schets van 11. Vergelijking buigraaklijn in 0,0 De lijn heet buigraaklijn omdat het punt een buigpunt is.. van de raaklijn in a-waarde invullen in vergelijking raaklijn: 0 je raakpunt invullen in vergelijking raaklijn 0, Gevonden: 0 0 vergelijking buigraaklijn in 0,0 is (x-as) (horizontale (buig)raaklijn want 00) 2 e voorbeeld van een derdegraadsfunctie Bepaal het domein, de eventuele nulpunten, de extreme waarden en de buigpunten met buigraaklijn. Op welke interval is convex/ cocaaf/ stijgend/ dalend. 1. Domein geen bijzonderheden 2. Nulpunten Twee nulpunten 0,0 en 1, Controle : 0000 en 1 0 beide kloppen 3. Snijpunt met y-as ,0 Extreme waarden en buigpunten mbv de eerste en tweede afgeleiden en tekenoverzichten
7 en Stationaire punten bij 0 en 1 ; nu nog bepalen van de aard van de punten: van +++ naar --- daarom f(x) gaat van stijgend naar dalend en heeft een max voor Het maximum is 0,0 of andere methode: 010 dus max voor 0 van ---naar +++ dus f van dalend naar stijgend. heeft een min voor 1 en 1 Of met dus min voor. Het min is 1, Dit stationair punt is een extreem punt en wel een minimum. De minimum waarde is 5. Bepalen buigpunt(en): Conclusie na invullen punten in tekenoverzicht: tekenwisseling bij heeft en daarom heeft een buigpunt voor Bepalen y-waarde: BP :, (Merk op: in dit buigpunt is 0 ) 6. is concaaf op interval, en convex op interval, 7 en 8. Geen bijzonderheden en dus geen asymptoten. **opmerking buigpunt : Dit buigpunt, is geen stationair punt want 0 voor Daarom zal de buigraaklijn ook NIET horizontaal zijn 11. Buigraaklijn (raaklijn in het buigpunt),, invullen in is de vergelijking van de buigraaklijn Buigraaklijn: enkele punten om te tekenen: 0, 4,1 4, 1, Opm. Derdegraadsfuncties zijn veelgebruikte economische functies (zie blz... en de tentamensommen)
8 IV. Een hogere graads functie (vierde graads polynoom- of veeltermfunctie) Domein (alle waarden van x zijn toegestaan) 2. Nulpunten : Snijpunten met de y-as 0 0,0 4. Extreme waarden (stationaire punten) m.b.v. 0 Er zijn twee nulpunten: 0,0, m.b.v. tekenoverzichten uitzoeken of min ; max (of buigpunt) is. 5. Eventueel buigpunt m.b.v Tekenoverzichten maken en punten invullen om +++ en in te kunnen vullen. Conclusie tekenoverzicht heeft 2 buigpunten (twee tekenwisselingen bij ) en 1 minimum (1 tekenwiss. bij ) Het is een minimum omdat f gaat van dalend naar stijgend bij 1 Bp : 0 ; 00 bp 0,0 Bp. ; Min 1 ; 1 1, 6. is convex op het interval,0, ( betekent verenigd met) is concaaf op het interval 0,, Nulpunten :0,0, 0 7en 8. Geen bijzonderheden (geen asymptoten) Stationaire punten voor 0 en 1 (zie 0). De 2 e methode ter bepaling extreme waarden : _0 0 voor minimum en _0 0 voor maximum Voor daarom minimum voor Voor geen extreem punt voor, maar BP (bij nader onderzoek) 11. Buigraaklijnen 1 e in 0,0 00 Punt invullen: e buigraaklijn: 0 (x-as) horizontale buigraaklijn
9 2 e in, Punt invullen: 22 2 e buigraaklijn is (niet horizontaal) V. rationale of gebroken functies 1. Domein: 10 1 Noemer mag geen 0 worden: Domein is 1 (alles behalve 1) 2. Snijp. x-as : teller is 0 10 er is geen geen nulpunt 0 3. Snijp. y-as : 0 1 0,1 4. Extremen 0 quotientregel toepassen als teller = abc-formule geeft 2,8 0,8 In het tekenoverzicht lezen we af: maximum bij 0,8 en minimum bij 2,8 5. en 6.) Nu de tweede afgeleide van (de eerste of de tweede afhankelijk van hoe je de noemer hebt genoteerd; beide goed) Alleen teller =0 bepaalt of je breuk 0 wordt Teller=0 oplossen (of teller eerst helemaal uitschrijven is ook goed) 0 als teller =0 : maar v.n. (=voldoet niet) want noemer mag niet 0 zijn en voor 1 is noemer wel nul. Tekenoverzichten:
10 7) Berekenen van de asymptoten (HA, VA en SA) lim lim lim 1 1 geen H.A lim (delen door hoogste graad i/d noemer) lim lim VA : Voor de SA (schuine asymptoot) gaan we een deling maken Stel : met 2 lim lim 2 want is de schuine asymptoot 9. Enkele punten voor de functie noteren wordt nul Oefensom : som 3 van de Erasmus toets 10. Schets de functie Voorbeeld van een lijn met gat Domein : 1 (x mag geen -1 zijn, want dan is noemer nul) Nulp. : nulpunt 3,0 Snijp. met y-as : 3 wordt 0,3 1 rc.= 1 voor elke x d.w.z. zelf is een lijn lim lim lim 3134 Idem lim 4 daarom is 1,4 een gat i/d grafiek want de limiet bestaat wel, terwijl niet voldoet. lim wordt lim 3 idem lim wordt Grafiek van is grafiek van met een gat bij (lijn met gaatje) Als je de noemer kan wegdelen, zal de grafiek een gat hebben Opm: ook bij verboden x-waarden in het tekenoverzicht links en rechts hiervan het teken bepalen.
11 VI. Hyperbolische functies functies met een negatief exponent Een bijzonder gebroken functie is de hyperbolische functie (veel in de economie gebruikt) Bijvoorbeeld: = = 24 Domein is 0 (alles behalve 0, want de noemer mag geen nul worden) heeft geen nulpunten want de teller kan nooit nul worden 1 heeft ook geen nulpunten want de teller kan ook nooit nul worden is altijd negatief (zie tekenoverzicht) dus is altijd dalend en heeft geen extremen 2 2 heeft geen nulpunten,mmaar wel tekenwisseling! Dat zie je als je punten invult bij de tekenoverzichten Horizontale asymptoot voor 0 (het getal in de noemer dat niet voldoet) want lim 0 lim 0 Vertikale asymptoot voor 0 want lim lim Niet vergeten: Bij de tekenoverzichsten de waardes checken links en rechts van elk nulpunt en ook links en rechts van elke verboden x-waarden Oefensommen : 1. Onderzoek en schets de functie 2 3. Bepaal ook de buigraaklijn (tent. 3 mrt.2012) Bepaal de volgende intervallen : a. stijgend en dalend b. convex en concaaf c. Marginale functie stijgend en dalend d. De aard van de stationaire punten e. De aard m.b.v. (tweede methode)
12 VII. = Machtsfunctie met een gebroken exponenten (een breuk als exponent) - dit zijn de wortelfuncties = Domein is R; alle waarden voor zijn toegestaan 2. Bepalen nulpunt 3. Snijp. Met de y-as 00 0,0 Extremen/ buigpunten en 0 =0 0. Nulpunt is 0, 00, heeft geen oplossingen De noemer mag geen 0 worden en teller kan geen 0 worden dus heeft geen nulpunten en daarom heeft geen extremen 5. 0 onderzoek naar buigpunten heeft geen nulpunten en 0 0 levert geen antwoord op, want de teller kan geen nul worden. Tekenoverzichten: is altijd positief, daarom is overal stijgend (en 0 bestaat niet) heeft geen nulpunten, maar wel een tekenwisseling bij 0 (verboden punt) Conclusie : er is een buigpunt in 0,0 voor en is een stijgende functie 6. Interval convex is,0 7 en 8. Interval concaaf is 0, Er is geen verticale asymptoot, want er zijn geen verboden x-waarden Er is geen horizontale asymptoot want als naar of naar - gaat wordt f(x) ook of - 9. Enkele punten in een tabelletje zetten 10. Schets de functie Merk op: alhoewel niet is gedefinieerd in 0 heeft wel een buigpunt in buigraaklijn in 0,0 berekenen: 0 (bestaat niet). Dit antwoord betekent dat er een verticale raaklijn Vergelijking buigraaklijn : 0 ( de y-as) is in 0,0.
13 VIII VIII 26
14 27
15 28
16 29 16 Oefen de opgaven 2A van de oude tentamens
17 Enkele uitgewerkte tentamensommen om te oefenen: 30
18 31
19 32
Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( )
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen ).
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieFunctieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2
Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieParagraaf 13.0 : Limieten en absolute waarde
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 13.0 : Limieten en absolute waarde Definitie absoluuttekens pp = { p absoluut of de absolute waarde van p } pp = { altijd positief
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieAlgemene informatie. Inhoudelijke informatie
Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:
Nadere informatieParagraaf 2.1 : Snelheden (en helling)
Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieParagraaf 2.1 : Snelheden (en helling)
Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Sneleden (en elling) Les 1 Benadering van de elling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde elling } Differentiequotiënt
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieHoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2
Hoofdstuk 7 - veranderingen getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 0. voorkennis Plotten, schetsen en tekenen Een grafiek plotten Een grafiek schetsen Een grafiek tekenen Na het invoeren van de formule
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatieINLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN
INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieOefentoets uitwerkingen
Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw
Nadere informatieWiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht. Uitwerkingen hoofdstuk 9
Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 0, Sntax Media, Utrecht www.sntaxmedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 9 9.. = x = x 0 0 a. b. =, 0 0 = x + c. d. Uitwerkingen 9.. = x
Nadere informatie7.1 Ongelijkheden [1]
7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieParagraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide
Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =
Nadere informatieUitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen
Toets om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen! " #$ % & '&() '*& ) '#! " #" ),-. % / ---.01 2 3 ---. - / %3 -.1-01 2 4 & * 5 5 & %
Nadere informatieDan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben. Hier is ( ) ( ) = 8+ a. De rico van r is m x
Gegeven is de functie f a a) Voor welke a R heeft f geen etrema? + +, met parameter a R Dan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben Hier is Er zijn dus geen etrema als en slechts
Nadere informatieDifferentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.
Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatie2. Kwadratische functies.
Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk. Kwadratische functies.. R De term a is bepalend voor zeer grote waardes van. Als a < 0 dan wordt de term a zeer groot en negatief zowel bij. en Er is sprake van een bergparabool
Nadere informatieWiskunde 1 Samenvatting deel /2018
Inleiding Dit is een preview van onze samenvatting voor het vak Wiskunde 1. Wij hopen met hiermee te laten zien dat onze samenvattingen volledig, gestructureerd en gemakkelijk te begrijpen zijn. In deze
Nadere informatieAsymptoten. Hoofdstuk Basis. 1.2 Verdieping. 1. Bepaal alle asymptoten van de volgende functies:
Hoofdstuk 1 Asymptoten 1.1 Basis 1. Bepaal alle asymptoten van de volgende functies: a) f) 5 + 6 5 + 1 b) f) + 5 c) f) 5 + d) f) + + e) f) + + f) f) + 1 + + 4 g) f) 5 + h) f) + 1 i) f) cos 1 1. Verdieping
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieParagraaf 2.1 Toenamediagram
Hoofdstuk 2 Veranderingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 2.1 Toenamediagram Les 1 Interval / Getallenlijn / x-notatie Interval Getallenlijn x-notatie -------------
Nadere informatieHoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1.
Hoofdstuk 9: Allerlei functies 9. Machtsfuncties en wortelfuncties Opgave : a. 0,0, c. y en y d. y en y Opgave : a. de grafiek van y ontstaat uit die van y door T 0, T 0,6 y y 6 Opgave : a. T 6,0 T,0 c.
Nadere informatieAnalyse van de voorwaarden van een curve
Analyse van de voorwaarden van een curve Thomas Hilger Gymnasium Maria Königin, Lennestadt Duitsland (Vertaling: L. Sialino) HP WP1 WP2 SP TP Niveau De opgave is geschikt voor scholieren van de bovenbouw
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieWiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis
Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,
Nadere informatieToegepaste Wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Correcties en aanvullingen (mei 2009) HBuitgevers, Baarn
Drs. J.H. Blankespoor Drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Toegepaste Wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Correcties en aanvullingen (mei 009) HBuitgevers, Baarn TOEGEPASTE WISKUNDE DEEL Correcties
Nadere informatieFuncties. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm
Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.
5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige
Nadere informatieV6 Programma tijdens de laatste weken
V6 Programma tijdens de laatste weken Datum ma. 18-4-11 di. 19-4-11 ma. 5-4-11 di. 6-4-11 ma. -5-11 di. 3-5-11 ma. 9-5-11 di. 10-5-11 Activiteit 1. Differentiëren. Vergelijkingen oplossen e Paasdag 3.
Nadere informatieStudiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016
Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatie1 Lineaire functies. 2 Kwadratische functies. 3 Gebroken functies. Info Wiskunde HBO
Info Wiskunde HBO Lineaire functies. Onderwerpen opgave. Formule, tabel en grafiek... Betekenis snijpunt lineaire grafieken.. t/m.. Functievoorschrift en constantes bij lineair verband.. t/m.6. Gelijkheden
Nadere informatieBasisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies
Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieDeel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB
Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte
Nadere informatieextra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4
extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatierekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar
Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van
Nadere informatieToegepaste Wiskunde deel 1
Toegepaste Wiskunde deel Uitwerkingen etra opgaven hoofdstuk Functies. y f ( ) 4 ( )( ) is minimaal -4 voor 0 y g f ( ) ( ) 4 ( )( ) bestaat wanneer D en B 4, ( )( ) 0, voor het domein en het bereik geldt
Nadere informatieBasiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire verbanden
Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt
Nadere informatieAdeKUS WISKUNDE 1 Aantekeningen-diktaat(MIJEC108)voor de richting Economie van de Faculteit der Maatschappijwetenschappen
Blz. 1 AdeKUS WISKUNDE 1 Aantekeningen-diktaat(MIJEC108)voor de richting Economie van de Faculteit der Maatschappijwetenschappen Wiskunde 1 Economie maatschappijwetenschappen ADEKUS: B1 fase eerste semester
Nadere informatieFactor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen.
Samenvatting door een scholier 1569 woorden 23 juni 2017 5,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Wiskunde H1 t/m H5 Hoofdstuk 1 Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet
Nadere informatieGrafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.
Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieAntwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2
Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden door een scholier 7212 woorden 16 maart 2005 4,6 58 keer beoordeeld Vak Wiskunde B uitwerking Havo NG/NT 2 Hoofdstuk 1 De afgeleide functie 1.1 Differentiaalquotient
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieOm een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de vragen onderverdeeld in 4 categorieën.
Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag voor leerlingen van het vak wiskunde B havo, tweede tijdvak (2018). In dit examenverslag proberen we een zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende
Nadere informatieOef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1
Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatieStandaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011
Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit
Nadere informatieOefenexamen Wiskunde Semester
Oefenexamen Wiskunde Semester 1 2017-2018 De cursusdienst van de faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen aan de Universiteit Antwerpen. Op het Weduc forum vind je een groot aanbod van samenvattingen,
Nadere informatieModeloplossing 12 november
Modeloplossing 12 november Opgave: Een vispopulatie evolueert volgens een Rickermodel: het verband tussen de populatiegrootte op tijdstip t en die op tijdstip t + 1, wordt gegeven door voor t = 0, 1, 2,...
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatie1 Lineaire functies Het verband tussen s en t kun je ook beschrijven met een formule of functievoorschrift.
Lineaire functies.. Formule, tabel en grafiek. Het verband tussen twee grootheden kun je op verschillende manieren beschrijven. We nemen als voorbeeld het verband tussen de afstand s tot een bepaald punt
Nadere informatieDidactische wenken bij het onderdeel analyse
Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse 1/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen ASO tweede graad ET 22 3 (4) aspecten van een functie ET 23 Standaardfuncties
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieEERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE
Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal
Nadere informatieVoorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)
Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =
Nadere informatie2.1 Lineaire formules [1]
2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie