Hoofdstuk 21 Oppervlakte 21.0 INTRO

Transcriptie

1 Hoofdstuk Oppervlakte.0 INTRO ls voorbeeld de oppervlakte van : e geblokte rectoek eeft oppervlakte 5 = 0. aar gaan twee alve rectoeken vanaf, één met oppervlakte 5 = 5 en de ander met oppervlakte 5 = 0 e gestreepte rectoek eeft oppervlakte 7 3 =. aar gaan twee alve rectoeken vanaf, één met oppervlakte 3 5 = 7 en de ander met oppervlakte 3 7 = 0. e oppervlakte van is: + 0 ( ) = 5 0 cm cm cm berekenen in een gestreepte drieoek: + 5 = 5, geeft = 0. Oppervlakte = = 700 cm cm a Nee b In et begin:,5 5 = 7,5 cm, in et andere geval: 0,5 5 =,5 cm. 9 cm cm 3 7 lledrie 0 cm, et eerste: E et derde: F G : 7 3 = : : : = 3 E: = 9 F: 3 G: 9 : + = 0 : : : 7, na de eerste keer,00 5,9 na de tweede keer de Wageningse Metode ntwoorden H OPPERVLKTE

2 9 cm cm cm cm oppervlakte = = 9 cm cm cm cm cm oppervlakte = = cm 0 a Zie plaatje: + 0 = 5 = y y + 0 = 9 us et andere latje is 9. y = b 0 9 = 70 c 30 d 50 0 : = 000 Oppervlakte kleine drieoek = 5 0 = 50 Oppervlakte grote drieoek = 50 0 = 500 Oppervlakte trapezium = ,: =, cm of 9,: = 3, cm 0 cm en 5 cm b cm ; 3 cm 3 7 cm a : = b e oppervlakte is ook 0 :. us 0 =, dus = K a 5 + = 3 b Oppervlakte van een van de drieoeken is: 5 = 30, dus oppervlakte vlieger = 0. us et alve oproduct van de diagonalen is 0, de korte diagonaal = 0 : 3 = Zie plaatje: = 0 = Oppervlakte = 5 Verdeel et trapezium in twee drieoeken: de kleine drieoek eeft oppervlakte en de grote 9. e oppervlakte van et trapezium is: a 5 b 50 c 50 =, dus = 300 : = d = en = e e vergrotingsfactor van groot naar klein is: =, dus = K = 5 9 Een ellende kant is 0 bij + 5 = 7 Oppervlakte voorkant: 5 = 0 Oppervlakte ellende kant: 7 0 = 30 Totaal: = 90 dm b c 5 bij 5 d + b = 50 5 b Ze liggen op één lijn. a R = RQ = OP en P = PQ = OR want de drieoeken RQ en PQ ebben twee oeken van 5, dus ze zijn gelijkbenig. b. OR + RQ = OR + R = O en OP + PQ = OP + P = O us: OR + RQ + OP + PQ = O + O 7 a,c b + b = I d = b 0 b de Wageningse Metode ntwoorden H OPPERVLKTE

3 a 9 = b : b = 3 : = 5 : c 3b = 9 b = e breedte is en de oogte 5. 9 a b c 0 b d + b = en = b e b + b =, dus b = : 3 =. = b = = 5 30 a r en r b π = π cm c 5π 5 = 5π cm 3 500π 5π = 75π m 3 π 3,33.., dus 33 mm 33 a π,5 =,5π, dm 3, dus ongeveer liter b Zijkant: π 5 0 = 00π cm onderkant: π 5 = 5π cm totaal: 59 cm 3 Oppervlakte = π π = π cm Oppervlakte 3 mm Omtrek = π + π + π = π cm Omtrek 5 mm 35 (π 0,5 π 0,3 ) 0,9,557.. kg 3 e vier zwarte stukken vormen een cirkel met straal 50. e vier gestreepte stukken zijn twee rectoeken van 50 bij 00 en twee van 50 bij 00. e totale oppervlakte van et grijze deel is: 500π m. EXTR OPGVEN Noem et vierde oekpunt en noem =, dan = 7. Oppervlakte = (7 ), maar ook: oppervlakte = 0 us 0 = (7 ) = 7 = 7 3 us: = = 7 5 en = rieoek S is gelijkvormig met drieoek S, vergrotingsfactor =. us SY = SX, dus SX = en SY =. drieoek S: 3 = drieoek S: = drieoek : 3 3 = X Y drieoek S: 3 = 3 3 ls je voor beide parallellogrammen als basis neemt, dan ebben ze dezelfde oogte. ls je bij beide drieoek GEF wegaalt oudt je twee trapezia met dezelfde oppervlakte over., 3 en 5 samen ebben dezelfde oppervlakte als, en samen. (beide de elft van een rectoek). Verder ebben 5 en dezelfde oppervlakte evenals 3 en (zelfde argument). 5 Zie plaatje: = 7 = 5 Oppervlakte drieoek = 0 Zie plaatje: = = Oppervlakte drieoek = 7 Verdeel et trapezium in twee drieoeken. e kleine drieoek eeft oppervlakte = en de grote eeft oppervlakte =. e oppervlakte van et trapezium is: a e vergrotingsfactor is 3, + (vergelijk de zijden van en ), de oogte van de grote drieoek is dus 3 keer de oogte van de kleine. dus: 3 = + b us = =, dus de kleine drieoek eeft oppervlakte c e oppervlakte van de grote drieoek is 9 keer de oppervlakte van de kleine, dus. de oppervlakte van et trapezium is dus. 9 Neem aan dat de kleine drieoek oogte eeft, dan eeft de grote drieoek oogte 0 =, dus =, dus =. e kleine 7 de Wageningse Metode ntwoorden H OPPERVLKTE 3

4 drieoek eeft oppervlakte = en de grote = 5. 0 Stelling van Pytagoras in de grijze drieoek, zie plaatje: = +, dus = Een zijkant eeft oppervlakte 3 Totaal is er 9 + nodig.. 3, dm karton a e zijde evenwijdig met die van 0 is. e diagonalen in et linker en recter zijvlak van de balk zijn + 9 = 5. e andere zijden van et trapezium zijn = 5 en 5 + = 7. b. Oppervlakte trapezium = = 390 e drieoeken en 3 samen zijn van drieoek, dus samen 3. rieoek is 3 3 = en drieoek = H 3 =. rieoek 3 en zijn samen. rieoek 3 = H = en drieoek =. 3 Linksboven: rectsboven: linksmidden: 9 rectsonder: linksonder: = : = = 5 = 9, = 9 = 5 = 5 + = 3 5 e oppervlakte van et witte vierkant is et alve product van de diagonalen =. e oppervlakte van et gekleurde deel is: π 3 : = 9π 0,3 e oppervlakte van et parallellogram is 5 30 = 750. Noem de lengte van die zijde, dan: 0 = 750, dus = 37] π = π Oppervlakte figuur = π 9,7 cm, dus 97 mm Zie plaatje: drieoeken met gelijke tekens ebben gelijke oppervlakte. 9 e vier rectoekige stukken ebben oppervlakte + 5 = e vier grijze stukken vormen samen een cirkel met straal. e oppervlakte van de strook is dus + π. 0 a Omdat P = PQ =, geldt: OP = a. b als je in beide vormne de aakjes wegwerkt, krijg je in beide gevallen: a. c -( a) + 3a is voor elke groter of gelijk aan 3a, omdat -( a) voor elke kleiner of gelijk aan 0 is (vanwege et kwadraat). ie minimale waarde 3a kun je krijgen als ( a) = 0 en dat is als = a. OKEROPGVEN donkere banen: 3 licte banen:, en 9 a E = 5 = 3, oppervlakte = 30 b oppervlakte parallellogram = 5 F, dus F =. c Ze ebben beide een recte oek en beide oek. d e vergrotingsfactor van drieoek E naar F is : =, dus F = E = a ls je als oogte van de twee drieoeken de afstand van de evenwijdige zijden neemt, dan: oppervlakte : oppervlakte = : = : = : b rieoek S krijg je uit drieoek S door met centrum S met - te vermenigvuldigen. us de oppervlakten verouden zic als :. P O Q 7 Oppervlakte kwartcirkel = de Wageningse Metode ntwoorden H OPPERVLKTE

5 7 a Noem de afstand van tot zijde =. an is de oppervlakte van drieoek = = en van drieoek = = 3. us oppervlakte drieoek = 3 = en oppervlakte drieoek =. b Oppervlakte drieoek X = X Oppervlakte drieoek X = X (drieoek E is gelijkbenig: gradendrieoek) en E is kleiner dan EF (want EF = ). Oppervlakte X = 0 = 0 en oppervlakte X = 0. Het snijpunt van MN en X noemen we S. an zijn X en X uitvergrotingen van MS en NS met factor, dus: oppervlakte MS = 3 oppervlakte X = 0 en oppervlakte NS = 3 oppervlakte X = 5 oppervlakte XSM = 30 en oppervlakte XNS = 5. 9 ls je als basis neemt, dan ebben de drieoeken en dezelfde oogte, dus dezelfde oppervlakte. ls je van beide drieoek S weglaat, krijg je weer twee figuren met dezelfde oppervlakte. 0 a e oppervlakte van de linker drieoek is a en van de recter b b e oppervlakte van et parallellogram is a en van de drieoek (b a). c (b a) + a = a b a b a + a = b + a d In formulevorm zegt Joris: oppervlakte trapezium is: (a + b). ls je in deze formule de aakjes wegwerkt krijg je weer: a + b Twee keer stelling van Pytagoras: = 3 = 5 ( ) us 9 = 5 (9 + ) 9 = = = 5, dus = 9 a a b e rectoek en et vierkant ebben et grijze deel gemeen. Het restant van de rectoek eeft een kleinere oppervlakte dan et restant van et vierkant EFG, want E = E 3 E F 5 G de Wageningse Metode ntwoorden H OPPERVLKTE 5