Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorbereidende sessie toelatingsexamen"

Anna Maes
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar op

Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1

2 2/34 Inhoud Leerstofafbakening Algebra Ongelijkheden Rationale vormen Machten Exponentiële vergelijkingen Deling van veeltermen Meetkunde Sinus, cosinus en tangens Eigenschappen van een driehoek en cirkel Vergelijking van een rechte, cirkel en parabool Gemeenschappelijke punten Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Meetkunde Antwoorden

Eigenschappen van een driehoek en cirkel Vergelijking van een rechte, cirkel en

3 3/34 Leerstofafbakening WISKUNDE 1. Algebra (a) De eigenschappen en rekenregels van de natuurlijke, gehele, rationale en reële getallen kunnen toepassen. (c) Deling van veeltermen in één onbekende met reële coëfficiënten kunnen uitvoeren. (f) De reële oplossingen van vierkantsvergelijkingen kunnen bepalen. 2. (Analytische) meetkunde (a) De eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels kennen en kunnen toepassen. (b) De omtrek en oppervlakte kunnen berekenen van driehoeken, vierhoeken en cirkels. (c) De vergelijking van een cirkel en van een parabool herkennen en kunnen opstellen waarbij de symmetrieas van de parabool de richting heeft van de x-as of van de y-as. (d) Bij rechten en/of parabolen, gegeven door vergelijkingen, gemeenschappelijke punten kunnen bepalen.

(Analytische) meetkunde (a) De eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels kennen en kunnen toepassen. (b) De omtrek en oppervlakte kunnen berekenen van driehoeken, vierhoeken en cirkels.

4 4/34 Algebra - Ongelijkheden Voorbeeld 1 Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid x 5 2 < 2 < x 5 2 < < x < < x < < x < x Onthoud: < a

5 Algebra - Rationale vormen Voorbeeld 2 Hoeveel bedraagt de som p + q als x(2x + 3) x 2 + 3x + 2 x(2x + 3) x(2x + 3) x(2x + 3) = 2x 2 + 3x = p(x + 1) = x q x + 1 p(x + 1) = x q x + 1 p(x + 1) = x q x + 1 2x 2 + 3x = x 2 + x + 2 = 3 = 0 = p = en q = p + q = 5/34

= p(x + 1) = x + 2 + q x + 1 p(x + 1) = x + 2 + q x + 1 p(x + 1) = x

6 Algebra - Machten Voorbeeld 3 Gegeven is de functie f (x) = 9 x. Vereenvoudig A = f ( x 1 ) ( ) 2 f x f (x + 1) f (x 1) = f ( ) = 9 = ( + ) = = a + = a a = a = 1 a = a 1 n = n a = 6/34

Vereenvoudig A = f ( x 1 ) ( ) 2 f x + 1 2 f (x

7 7/34 Algebra - Exponentiële vergelijkingen Voorbeeld 4 Los de volgende vergelijking op naar x: 3 x 1 = 8 3x ln ( 3 x 1) = ln ( 8 3x) ln ( a ) = ln a x = x = x = Onthoud: a log x = x = a en e log x = ln x Voorbeeld: 2 log 16 = want 16 = 2

8 Algebra - Deling van veeltermen Voorbeeld 5 Bepaal p(q + r) als x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3. Oplossing Dan moet x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = ( x 3 + 3x 2 + 9x + 3 ) ) = ( x 3 + 3x 2 + 9x + 3 ) ( ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + zodat 4 = 6p = 4q = r = p = q = Antwoord p(q + r) = (ALTERNATIEF: staartdeling) 8/34

Oplossing Dan moet x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = ( x 3 + 3x 2 + 9x + 3 ) ) = ( x 3 +

9 Algebra - Deling van veeltermen Voorbeeld 6 f (x) = x 3 + px 2 8x + q is deelbaar door x 1 en de rest bij deling door x 2 9 is x 9. Wat is q? Oplossing f (x) deelbaar door x 1 f (x) = (x 1) ( ) f (1) = f (x) delen door x 2 9 geeft als rest x 9 f (x) = (x 2 9) ( ) + x 9 { f ( ) = f ( ) = Antwoord 9/34

Oplossing f (x) deelbaar door x 1 f (x) = (x 1) ( ) f (1) = f (x) delen

10 Algebra - Deling van veeltermen Voorbeeld 7 Door welke veelterm is x deelbaar? (A) x 2 2 (B) x (C) x 2 + 2x 2 (D) x 2 + 2x + 2 Oplossing f (x) deelbaar door (A) f (x) = (x 2 2) ( ) f ( ) = 0 = 0 f (x) deelbaar door (B) f (x) = (x 2 + 2) ( ) f (x) deelbaar door (C) Antwoord = (x 2 + 2) ( ) = 10/34

(A) x 2 2 (B) x 2 + 2 (C) x 2 + 2x 2 (D) x 2 + 2x + 2 Oplossing f (x)

11 Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van scherpe hoeken sin β = overstaand schuin = b a C cos β = aanliggend schuin = c a b a tan β = overstaand aanliggend = b c A c β B Veelvoorkomende scherpe hoeken: α sin α cos α tan α /34

overstaand aanliggend = b c A c β B Veelvoorkomende scherpe hoeken: α

12 12/34 Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken sin α : projectie op y-as cos α : projectie op x-as tan α : projectie op rechte x = 1 y 1 tan α sin α α Teken van sinus, cosinus en tangens in de vier kwadranten: cos α 1 x α I II III IV sin α + + x = 1 cos α + + tan α + +

projectie op rechte x = 1 y 1 tan α sin α α Teken van sinus, cosinus

13 13/34 Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken Voorbeeld 8 Gegeven zijn de coördinaten van een punt: x = 8 sin 200 en y = 11 cos 140. In welk kwadrant is dit punt gelegen? (A) I (B) II Oplossing Lees het teken af: (C) III (D) IV y 1 sin 200 cos Dus Antwoord en x

200 en y = 11 cos 140. In welk kwadrant is dit punt gelegen?

14 Meetkunde - Eigenschappen van een driehoek Som van de hoeken: α + β + γ = 180 Pythagoras: ABC rechthoekig in A a 2 = b 2 + c 2 basis hoogte Opp. ABC = 2 = c h 2 b C b sin α a Sinusregel: = 1 2 c b sin α a sin α = b sin β = A c sin γ α c B Cosinusregel: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos γ 14/34

Opp. ABC = 2 = c h 2 b C b sin α a Sinusregel: = 1 2 c b sin α a sin α

15 Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel Cirkel met straal r: omtrek = 2πr oppervlakte = πr 2 r Als r = 1: omtrek 2π rad hoort bij 360 Cirkelsector met straal r en hoek α (rad): rα booglengte = rα α r oppervlakte = 1 2 r 2 α Cirkelsegment met straal r en hoek α: oppervlakte = 1 ) (α 2 r 2 sin(α) α r 15/34

straal r en hoek α (rad): rα booglengte = rα α r oppervlakte = 1 2 r 2 α

16 16/34 Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel Voorbeeld 9 Bepaal de oppervlakte van de deze cirkel met middelpunt A en waarbij ˆB = 15, Ĉ = 45 en BD = 2. Oplossing Opp. = πr 2 maar wat is r? B A C Sinusregel: = 2 D Antwoord Opp. =

A en waarbij ˆB = 15, Ĉ = 45 en BD = 2. Oplossing Opp.

17 17/34 Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel Voorbeeld 10 Twee cirkels met straal 1 snijden elkaar doorheen elkaars middelpunten. Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte? Oplossing

18 18/34 Meetkunde - Vergelijking van een rechte De vergelijking van een rechte NIET evenwijdig met de y-as is: a : y = mx + q rico rechte: m = tan α snijpunt y-as: S(0, q) y O q +1 α a +m x WEL evenwijdig met de y-as is: y a a : x = p rico rechte: bestaat niet hellingshoek α = 90 O p α x

tan α snijpunt y-as: S(0, q) y O q +1 α a +m x WEL evenwijdig met de

19 19/34 Meetkunde - Vergelijking van een rechte Voorbeeld 1 (opnieuw) Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid x 5 2 (A) x > 1 2 (B) x < 1 2 (C) x ] 1 2, [ 9 2 (D) x ] 1 2, 3 2 Oplossing Een ongelijkheid meetkundig oplossen? [ < 2 (1) Schets linkerlid y (2) Schets rechterlid O x (3) Lees snijpunten af Antwoord

2, [ 9 2 (D) x ] 1 2, 3 2 Oplossing Een ongelijkheid meetkundig oplossen?

20 Meetkunde - Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r is C : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Waarom? P(x, y) C MP = r MP 2 = r 2 y (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Pythagoras C y b M r x a P y b O a x x 20/34

21 Meetkunde - Vergelijking van een cirkel Voorbeeld 11 Wat is de straal van de cirkel met vergelijking 4x 2 16x + 4y y 283 = 0 x 2 4x + y 2 + 5y = 0 Oplossing De vergelijking is van de vorm zodat 4 = 5 = = (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 a = b = Antwoord De straal van de cirkel is = 21/34

22 Meetkunde - Vergelijking van een parabool met symmetrie-as evenwijdig met y-as: a > 0 dalparabool P : y = ax 2 + bx + c of a < 0 bergparabool P P vergelijking symmetrie-as: x = b 2a, snijpunten x-as: dan is top: T (x, f (x)) y = 0 ax 2 + bx + c = 0 D = b 2 4ac x = b ± D D > 0 : 2 snijpunten met x-as D = 0 : 1 snijpunt met x-as 2a D < 0 : geen snijpunten met x-as 22/34

23 Meetkunde - Vergelijking van een parabool met symmetrie-as evenwijdig met x-as: a > 0 P : x = ay 2 + by + c of a < 0 P P vergelijking symmetrie-as: y = b, top: T (f (y), y) snijpunten y-as: dan is 2a x = 0 ay 2 + by + c = 0 D = b 2 4ac y = b ± D D > 0 : 2 snijpunten met y-as D = 0 : 1 snijpunt met y-as 2a D < 0 : geen snijpunten met y-as 23/34

24 24/34 Meetkunde - Vergelijking van een parabool Voorbeeld 12 Na regresssieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken in functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel: A(d) = d 2 + 2d + 3 met 0 d 2. Welke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? Oplossing Gedaante y = ax 2 + bx + c met Gevraagd: y Antwoord d

25 25/34 Meetkunde - Vergelijking van een parabool Voorbeeld 13 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y 2 3y 2. Welke uitspraak klopt? De parabool (A) raakt de y-as (B) snijdt y-as eens boven en onder de x-as (C) snijdt y-as niet (D) snijdt y-as in twee punten boven de x-as Oplossing Snijpunten y-as: dan is D Antwoord

26 26/34 Meetkunde - Vergelijking van een parabool Voorbeeld 14 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y 2 3y 2. Welke uitspraak klopt? De parabool (A) raakt de y-as (B) snijdt y-as eens boven en onder de x-as (C) snijdt y-as niet (D) snijdt y-as in twee punten boven de x-as Oplossing ALTERNATIEF Gedaante x = ax 2 + bx + c Symmetrie-as: y = b 2a Snijpunt x-as: dan is Antwoord x

27 27/34 Meetkunde - Gemeenschappelijke punten Voorbeeld 15 Hoeveel punten hebben de parabolen y = 3x 2 + x + 5 en y = 2x 2 3x + 2 gemeenschappelijk? Oplossing Grafieken van y = f (x) en y = g(x) hebben P(x, y) gemeenschappelijk y = g(x) P (x, y) D Antwoord y = f(x)

28 28/34 Meetkunde - Gemeenschappelijke punten Voorbeeld 16 Een rechte a die de y-as snijdt in (0, 4) heeft één punt gemeenschappelijk met de parabool y = 2x De rechte is niet verticaal en niet parallel met y = 4x. Wat is de helling van die rechte? Oplossing (1) rechte niet evenwijdig met y-as dus (2) rechte niet parallel met y = 4x dus (3) snijpunt y as is (0, 4) (4) één punt gemeenschappelijk met parabool Antwoord

Vergelijkbare documenten

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar