Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Transcriptie

1 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de rekenregels mee te oefenen (zie bij Maplet openen). In deze les leer je de afgeleiden van alle functies. Voor eventuele voorkennis van standaardfuncties wordt verwezen naar het onderwerp Overzicht Standaardfuncties in Wisnet. 2 Notatie-afspraken Voor de afgeleide van een functie f noteren we wel vaak als f ' (f-accent). We bedoelen dan dat we de functie f naar x differentiëren. Een paar manieren om de afgeleide naar x te noteren. f ' Dit zijn allemaal notaties om de afgeleide functie aan te geven. 2.1 voorbeeld De afgeleide van de functie weergegeven: naar x gedifferentiëerd wordt als volgt

2 In de praktijk komt het differentiëren naar de tijd t ook vaak voor. We spreken dan niet van f-accent maar van fluxie-f of ook wel f-stip. Het accent achter de f wordt dan vervangen door een stip boven de functie f. Zijn er meer letters in het spel, dan is het belangrijk om te vermelden waarnaar gedifferentiëerd wordt. Als je bijvoorbeeld naar x differentiëert, dan worden eventuele andere letters in de functie als constante verondersteld. Men gebruikt dan niet een rechte d om te differentiëren maar de notatie is dan als volgt met een zogenoemde "kromme d" betekent dat gedifferentiëerd moet worden naar x waarbij c constant verondersteld wordt. 2.2 voorbeeld Soms kan een functie opgevat worden als een functie van meer variabelen.de afgeleide van de functie naar x wordt als volgt genoteerd: De kromme d staat hier omdat er meer letters in de formule voorkomen. Bij differentiëren naar x worden de andere grootheden (L, en q) constant verondersteld. Zo kun je de functie van meer variabelen ook naar q of eventueel naar L differentiëren als die als variabele worden opgevat. 3 Standaardafgeleiden Van alle functies worden nu de afgeleiden besproken. De machtsfunctie, wortelfunctie (macht ) en de gebroken functie (negatieve macht) is al besproken in de les Rekenregels voor Differentiëren bij de machtregel. Nu worden achtereenvolgens de goniometrische functies, de logaritme en exponentiële functie en de cyclometrische functies besproken. Eerst een overzicht van alle functies en hun afgeleiden:

3 SpreadSheet004 A B C D

4 3.1 Afgeleide van de sinus In de grafiek van de sinus is gemakkelijk de helling af te lezen. > script van de figuur Voorbeeld met kettingregel Differentiëer de functie naar x. Merk op dat bij deze sinus de hellingen groter zijn!

5 script van de figuur aanwijzing 1 Stel. De afgeleide aanwijzing 2 Schrijf de functie als en gebruik verder de regel voor de afgeleide van de sinus en de kettingregel. 3.2 Afgeleide van de cosinus Bekijk de hellingfunctie van de cosinus en merk op dat deze juist de negatieve sinusfunctie is. Immers de cosinus begint eerst vanuit horizontale richtingscoëfficiënt met dalen, dus de afgeleide begint bij 0 en is eerst negatief. >

6 script van de figuur 3.3 Afgeleide van de tangens De afgeleide van de tangens is eenvoudig te maken met behulp van de quotiëntregel immers. > of afleiding van de formule Bekend moet zijn dat: Met de quotiëntregel: Alles invullen: Door er twee breuken van te maken, kan dit geschreven worden als: Omdat is het ook te vereenvoudigen tot: 3.4 Oefeningen oefening (kettingregel sinus) Differentieer de volgende functie naar x. aanwijzing 1

7 Stel. De afgeleide van P is dan. aanwijzing Schrijf de functie als en gebruik verder de regel voor de afgeleide van de sinus en de kettingregel oefening (met dubbele kettingregel en sinus) Voor dit voorbeeld moet je op de hoogte zijn van de afgeleide van de sinus. Gegeven de functie Hierbij moet je de uitgebreide kettingregel toepassen. stel en. met De functie wordt dan > > > De afgeleide van f naar x kun je dan formuleren als: (De ketting kan in feite zolang gemaakt worden als nodig is.) Alles invullen geeft: Invullen: en oefening (met sinus en cosinus en somregel en kettingregel) Differentiëer de volgende functie naar x.

8 aanwijzing Gebruik de somregel en daarna de kettingregel (bij de sinus) oefening (met tangens en kettingregel) Differentiëer naar x. aanwijzing Gebruik de kettingregel en stel. Eventueel anders genoteerd: 3.5 Afgeleide van de logaritme Bekijk de hellingsfunctie van de natuurlijke logaritme (grondtal e). De bijzondere eigenschap van de grafiek van deze functie is dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt [1,0] precies gelijk is aan 1. Merk op dat de logaritmische functie altijd stijgend is, dus de hellingsfunctie is altijd positief. > script van de figuur Voorbeeld (ln en kettingregel) Differentiëer de functie naar x. Merk op dat bij deze logaritme met de rekenregels van logaritmen ( ) de functie in feite gewoon wat hoger komt te liggen. De hellingen zijn dan voor dezelfde waarden van x gelijkgebleven. aanwijzing 1 Stel. De afgeleide van P is

9 aanwijzing 2 Schrijf de functie als en gebruik verder de regel voor de afgeleide van de logaritme en de kettingregel. Het valt dus op dat de afgeleide van dezelfde is als!!!! aanwijzing 3 Met de rekenregels van logaritmen: Schrijf de functie als Werk dan met de somregel en merk op dat een constante is. De afgeleide van is dus dezelfde als de afgeleide van!!!! Ander grondtal van de logaritme Met de rekenregels van de logaritme is gemakkelijk weer terug over te gaan op het grondtal e als het grondtal niet gelijk is aan e. Op deze manier kan gewoon als constante opgevat worden en kan de regel vermenigvuldigen met een constante gebruikt worden en verder de afgeleide van de natuurlijke logaritme Voorbeeld (met ander grondtal en kettingregel) aanwijzing 1 Stel met is een constante.

10 De afgeleide van P is aanwijzing 2 Schrijf de functie als en gebruik verder de regel voor de afgeleide van de logaritme en de kettingregel. 3.6 Afgeleide van de exponentiële functie Bekijk de hellingsfunctie van de natuurlijke exponentiële functie (grondtal e). De bijzondere eigenschap van de grafiek van deze functie is dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt [0,1] precies gelijk is aan 1. Merk op dat de exponentiële functie altijd stijgend is, dus de hellingsfunctie is altijd positief en "toevallig" precies gelijk aan de functie zelf. > script van de figuur Afleiding van de formule Met de definitie van de afgeleide kunnen we nu beredeneren dat inderdaad de afgeleide van weer dezelfde functie is. Ga uit van het Newtonquotiënt (differentiequotiënt) en laat de stap h steeds kleiner worden totdat je het differentiaalquotiënt krijgt en dus de afgeleide: Neem nu de functie

11 De afgeleide is dan: Met behulp van de machtregels is dit anders te schrijven: Haal nu buiten de haakjes: De overgebleven limiet is gelijk aan 1 dus bepaling van de limiet Omdat de functies en h in de buurt van h 0 ongeveer gelijk zijn, is hun verhouding gelijk aan 1 in de buurt van h 0, zoals in onderstaande figuur te zien is Voorbeeld met kettingregel aanwijzing 1 Stel. De afgeleide van P is aanwijzing 2 Schrijf de functie als en gebruik verder de regel voor de afgeleide van de exponentiële functie en de kettingregel.

12 3.6.3 Voorbeeld exponentiële functie met ander grondtal > verklaring De exponentiële functie heeft meestal het grondtal e. In dat geval is er sprake van de natuurlijke exponentiële functie. Echter het kan ook zijn dat je een ander grondtal hebt bij een exponentiële functie. Het is dan gemakkelijk om met de rekenregels van logaritmen weer over te gaan op het grondtal e. Dit kan gemakkelijk geferifieerd worden met de rekenregels van de logaritmen. Zet er links en rechts ln voor: Links en rechts de machtregel voor logaritmen toepassen: Voor schrijven we natuurlijk 1 en dan is te zien dat het klopt: Differentieer de functie aanwijzing1 schrijf als en werk met de kettingregel aanwijzing2 Met stel. De afgeleide van P is Alles invullen:

13 Nog invullen geeft: 3.7 Oefeningen oefening met exp en productregel en kettingregel Differentieer naar x. aanwijzing 1 Gebruik de productregel en de kettingregel. uitwerking 2 Met de productregel: De eerste afgeleide is 1 (identiteit) en de tweede moet met de kettingregel (stel ) Alles invullen: oefening met log en kettingregel Differentieer naar x. aanwijzing Gebruik de kettingregel stel. uitwerking Met de kettingregel stel en :

14 Alles invullen: Merk op dat de teller de afgeleide is van de noemer!!! oefening met log en kettingregel Differentieer naar x met a en b en c als constanten. aanwijzing Gebruik de kettingregel stel. uitwerking Met de kettingregel stel en : Alles invullen: ( ) Merk op dat de teller steeds de afgeleide is van de noemer!!! Merk hier ook op dat er een kromme d gebruikt wordt om aan te duiden dat er nog meer letters in het spel zijn en dat die andere letters constant gehouden moeten worden. 3.8 Afgeleide van de arcsinus

15 Zie aparte les over de afleiding van deze functie 3.9 Afgeleide van de arccosinus Zie aparte les over de afleiding van deze functie 3.10 Afgeleide van de arctangens Zie aparte les over de afgleiding van deze functie 3.11 Oefeningen oefening met arccos en kettingregel Differentieer naar x. aanwijzing Gebruik de kettingregel en stel daarbij. uitwerking Verder herleiden:

16 oefening met arcsin en kettingregel Differentieer naar x. aanwijzing Gebruik de kettingregel stel. uitwerking Met de kettingregel stel en : Alles invullen: Eventueel verder uitwerken: oefening met arctan en kettingregel Differentieer naar x. aanwijzing Gebruik de kettingregel stel. uitwerking Met de kettingregel stel en : Alles invullen:

17 De noemer hoeft niet altijd uitgewerkt te worden, alleen als daar uitdrukkelijk om gevraagd wordt. 4 Gebruik van het Maplet Grafiek en Afgeleide 5 Maplet openen voor training met hulp