In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

Transcriptie

1 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het boek gebruiken we sin 3 x voor (sin x) 3 enzovoort, hoewel dat om diverse redenen een slecht idee is. Bijvoorbeeld omdat tan x hier steeds arctan x betekent en niet / tan x. En omdat log 2 x vaak gebruikt wordt voor log log x, te onderscheiden van (log x) 2 en het logisch zou zijn sin 3 x = sin sin sin x te noteren.

2 04 trigonometrische identiteiten college 5 Eerst herhalen we kort de technieken om sin m x cos n x dx te bepalen. We gebruiken sin 2 x + cos 2 x =, sin 2 x = 2 2 cos 2 x = cos 2x, cos 2x.

3 05 trigonometrische identiteiten college 5 Er zijn nu drie gevallen in sin m x cos n x dx:. m is oneven: schrijf sin m x = sin 2k x sin x, en sin 2k x = ( cos 2 x) k en sin x dx = d cos x. 2. n is oneven: schrijf cos n x = cos 2l x cos x, en cos 2l x = ( sin 2 x) l en cos x dx = d sin x. 3. m en n beide even: gebruik dan beide formules voor de dubbele hoek, werk de haakjes in ( 2 2 cos 2x)k ( cos 2x)l uit en integreer de machten van cos 2x met deze regels weer toegepast.

4 06 trigonometrische identiteiten college 5 Voorbeeld (zie voorbeeld 3c, p. 459/460) Bereken tan 3 θ sec 3 θ dθ Oplossing sin tan 3 θ sec 3 3 θ θ dθ = cos 6 θ dθ ( cos 2 θ) = cos 6 sin θ dθ θ ( u 2 ) = du = u 6 5 cos 5 x 3 cos 3 x + C.

5 07 trigonometrische identiteiten (2) college 5 Gebruik de formules voor som en product (die natuurlijk nauw met elkaar samenhangen): sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin x cos y = 2 sin(x y) + 2 sin x sin y = 2 cos(x y) 2 cos x cos y = 2 cos(x y) + 2 sin(x + y) cos(x + y) cos(x + y). bijvoorbeeld voor sin ax sin bx dx.

6 08 trigonometrische identiteiten (2) college 5 Voorbeeld (zie voorbeeld 5, p. 460) Bepaal sin ax sin bx dx. Oplossing sin ax sin bx dx = cos(a b)x cos(a + b)x dx 2 = ( ) sin(a b)x sin(a + b)x + C, 2 (a b) (a + b) tenzij a ± b = 0; in dat geval krijgen we ( sin ax sin bx dx = ± 4a sin(2ax) x ) 2 + C.

7 trigonometrische identiteiten (3) college 5 Gebruik trigonometrische substituties:. als a 2 x 2 voorkomt, probeer x = a sin θ, zodat a2 x 2 = a cos θ en dx = a cos θ dθ; 2. als x 2 a 2 voorkomt, probeer x = a/ cos θ, zodat x2 a 2 = a tan θ en dx = a(tan θ/ cos θ) dθ; 3. als x 2 + a 2 of x 2 + a 2 voorkomt, probeer dan x = a tan θ, zodat x2 + a 2 = a/ cos θ en dx = a/(cos 2 θ) dθ; of gebruik x = a sinh θ. 09

8 0 trigonometrische identiteiten (4) college 5 Voor het toepassen van deze substituties is het soms gewenst kwadraat afsplitsen toe te passen: omdat we substituties voor x 2 ± w 2 (en wortels ervan) kunnen toepassen, zouden we graag ook andere kwadratische functies in die vorm willen brengen. Dat gaat met kwadraat afsplitsen: ( ax 2 +bx+c = a (x + b 2a )2 b2 4a 2 + c ) = a a ( (x + b ) 2a )2 b2 4ac 4a 2.

9 trigonometrische identiteiten (4) college 5 Voorbeeld (zie voorbeeld 9, p. 463) Bepaal x 2 + x + dx. Oplossing We kennen de primitieve van /(u 2 + ), en proberen de gegeven integraal hierin te veranderen, door te gebruiken dat zodat x 2 + x + = (x + 2 ) = 3 4 x 2 + x + dx = 3 4 ( (x+ 2 ) 3 4 (x + 2 )2 2 +, 3 4 ) 2 + d (x + 2 ) 3 4 en dat is 3 4 tan (x+ 2 ) 3. 4

10 2 trigonometrische identiteiten (5) college 5 In integralen van de vorm f(x) dx waar f een rationale functie van cos x en sin x is, helpt de substitutie u = tan x 2 soms. Pas dan toe dat u = tan x 2, sin x = 2u +u 2, cos x = u2 +u 2, dx = 2 du +u 2.

11 3 trigonometrische identiteiten (5) college 5 Immers, als u = tan x 2, dan is u 2 = waaruit volgt dat en ( tan x ) ( 2 sin x = 2 2 cos x 2 ) 2 = cos2 x 2 cos 2 x 2 cos x 2 = + u 2 sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 sin x 2 cos x 2 cos 2 x 2 = = cos 2 x 2 2u + u 2., Ook is dan du dx = 2 cos 2 x = 2 ( + u2 ). Het resultaat is een rationale functie van u: zie de volgende slides.

12 4 trigonometrische identiteiten college 5 Voorbeeld (zie voorbeeld 0, p. 475) Bepaal Oplossing 2 + cos x dx. Met bovenstaande substituties voor dx en cos x in termen van u = tan x 2 krijgen we 2 + cos x dx = 2 + u 2 + u2 +u 2 du = en die is op te lossen met de substitutie u = 3 tan θ u 2 du,

13 5 breuksplitsen college 5 De volgende klasse van functies waarvoor we een primitieve kunnen vinden zijn de integralen van rationale functies. Dit zijn de functies van de vorm P (x) Q(x) met P, Q polynomen in de variabele x. Enkele speciale gevallen kunnen we eenvoudig aan. Merk op dat veel van wat we hieronder beschrijven goed gaat voor rationale functies waarvoor de coëfficiënten uit een lichaam komen. We zullen hier meestal aannemen dat dat Q of R of C is.

14 6 breuksplitsen: polynomen college 5 Het simpelste geval van een rationale functie P (x) Q(x) polynomen, dat wil zeggen: Q(x) =. is natuurlijk dat van Eigenlijk is dit zelfs het algemenere geval dat Q(x) een deler van P (x) is, maar we zullen in P (x) Q(x) in het algemeen aannemen dat P en Q geen factoren meer gemeen hebben. Merk ook op dat we dit geval ook kunnen gebruiken als deg P deg Q, omdat we dan deling met rest kunnen toepassen: er bestaan polynomen q(x) en r(x) met P = qq + r en deg r < deg Q, dus P (x) Q(x) = q(x) + r(x) Q(x).

15 7 breuksplitsen: negatieve machten college 5 Een tweede geval dat makkelijk is, is P (x) Q(x) met P (x) = en Q(x) = (x a) k, voor een k 2; het geval k = 0 zagen we hiervoor al, en k = is een speciaal geval van de klasse die nog volgt. Immers, voor k 2: (ax + b) k dx = a d(ax + b) (ax + b) k = a k + C. (ax + b) k

16 8 breuksplitsen: logaritmen college 5 Dan is er nog het speciale geval van P (x) Q(x) waar P (x) = Q (x); immers, dan is P (x) Q(x) dx = Q(x) dq(x) = ln Q(x). In het bijzonder, als Q(x) een lineaire functie is en P (x) een constante, dan is P (x) Q(x) dx = c ax + b dx = c a ln ax + b. Maar ook als P (x) een lineaire en Q(x) een kwadratische functie is, kan men de integraal vinden.

17 9 breuksplitsen: logaritmen (2) college 5 Namelijk, als P (x) Q(x) een lineaire gedeeld door een kwadratische functie is, zijn er coëfficiënten a, b, c, d te vinden waarvoor P (x) Q(x) = d ax + b Q(x) + e Q(x), en Q (x) = ax + b, terwijl ook Q(x) = γ((x + α) 2 + β) door kwadraat afsplitsen. De eerste term is dan simpelweg een veelvoud van ln ax + b, en de x+α tweede van tan β.

18 20 breuksplitsen: logaritmen voorbeeld college 5 Voorbeeld (zie onderdeel voorbeeld 3, p. 468) x + 2 Bekijk x 2 dx. Kies eerst als teller een veelvoud van de + x + afgeleide 2x + van de noemer, zo dat de coëfficiënt van x goed wordt: x + 2 x 2 + x + dx = 2x + 2 x 2 + rest dx, + x + en bepaal vervolgens die rest: x + 2 x 2 + x + dx = 2 3 2x + x 2 + x x 2 + x +. De eerste term geeft 2 ln x2 + x + en de tweede deden we op de constante factor 3 2 na al eerder, als tan.

19 2 breuksplitsen college 5 Tenslotte: het echte breuksplitsen treedt op wanneer we in geen van de vorige gevallen zijn, en in P (x) Q(x) is deg P < deg Q. We nemen nu aan dat we over R werken. Ontbind Q(x) dan volledig in lineaire en kwadratische factoren, die elk met multipliciteiten m i, n i voorkomen: Q(x) = A ((x r ) m (x r k ) mk (a x 2 + b x + c ) n (a l x 2 + b l x + c l ) n l). Merk op: over C alleen lineaire factoren!

20 22 breuksplitsen college 5 Bij elke lineaire factor x r i vinden we dan constanten c i, c i2,..., c imi, en bij elke kwadratische factor constanten d j, e j,..., d jnj, e jnj zodat P (x) Q(x) = + k i= l j= ( ci (x r i ) + + c imi (x r i ) m i ( dj x + e j a j x 2 + b j x + c j + + ) + d jnj x + e jnj (a j x 2 + b j x + c j ) n j ). Die constanten vind je door de functies links en rechts gelijk te stellen.

21 breuksplitsen: voorbeeld college 5 Voorbeeld (zie voorbeeld 3, p. 467) Bepaal x 3 dx. Oplossing De noemer Q(x) = x 3 ontbindt als (x )(x 2 + x + ) (en niet verder omdat de discriminant van x 2 + x + gelijk is aan 3, dus er zijn alleen nog complexe nulpunten). We zoeken nu c en d, e zodat x 3 = (x )(x 2 + x + ) = c x + dx + e x 2 + x +. 23

22 24 breuksplitsen: voorbeeld college 5 Maar die c, d, e lossen we op door links en rechts te vergelijken : (x 3 ) = c(x2 + x + ) x 3 + (dx + e)(x ) x 3, dus = c(x 2 + x + ) + (dx + e)(x ) = (c + d)x 2 + (c d + e)x + (c e), en dat kan alleen als c + d = 0 en c d + e = 0 en c e =. Maar dan moet c = 3, d = 3 en e = 2 3. We hebben de integraal herleid tot x 3 dx = 3 x x x 2 + x + dx, en die konden we al.

23 25 breuksplitsen college 5 Dat leidt tot het volgende stappenplan voor P (x)/q(x): Gebruik deling met rest om te herschrijven tot som van een polynoom q(x) en r(x)/q(x) met deg r < deg Q. Ontbind Q(x) geheel in lineaire en kwadratische factoren met multipliciteiten. Vind de coëfficiënten waarvoor r(x)/q(x) gelijk is aan termen van de vorm c/(x r) i en van de vorm (dx + e)/(ax 2 + bx + c) j. Vind de (logaritmische) primitieven van elk van de termen en tel ze op bij de primitieve van q(x).