QuizAnalyseHoofdstuk3 - wv -Brackx

Transcriptie

1 QuizAnalyseHoofdstuk3 - wv -Brackx Als: dan is: Als f discontinu is in x 0 en dan zijn de linker- en rechterlimieten van f(x) in x 0 aan elkaar gelijk maar verschillend van L. Als voor alle x in ]a,b [ en dan is ook Als: dan is : Als f discontinu is in x 0 en dan zijn de linker- en rechterlimieten van f(x) in x 0 beide ook gelijk aan L. Als de functie f strikt dalend is in ]a,b [, dan bestaan in elk punt van ]a,b [ de linker- en rechterlimiet van f(x).

2 Als dan bestaat er een omgeving van c waarin f begrensd is. Als voor functies f, g en h geldt dat f(x) = g(x) - h(x) in een gepunte omgeving van x 0, en dan bestaan: en geldt: Als voor alle x in ]a,b [ en dan is ook Als voor functies f, g en h geldt dat f(x) = g(x) - h(x) in een gepunte omgeving van x 0, en met L in R, dan geldt: Als voor een functie f geldt dat: dan is:

3 Als f continu is in ]a,b [ en dan is f uniform continu in [a,b [. Als in een gepunte omgeving van x 0 geldt dat f(x) = g(x) + h(x), dan is: Als dan bestaat er een b waarvoor geldt dat f begrensd is op [b,+ [. Als er een b > 0 bestaat waarvoor geldt dat f begrensd is op [b,+ [, dan is Als voor een functie f geldt dat: dan is: De functie f gegeven door f(x)=x 6 is niet inverteerbaar in ]0,+ [. Als y = cos x waarbij x ε ]0, π [, dan geldt x = π - arccos y. Als de functie f continu en strikt monotoon dalend is in ]a,b [, dan bezit de restrictie van f tot ]a,b [ een inverse functie die continu en strikt monotoon dalend is in f(]a,b[).

4 Als de functie f continu en strikt dalend is in ]a,b [, dan bestaat de inverse functie f -1 die continu en strikt dalend is in f (]a,b [). Als y = tan x waarbij x ε ]0, π [, dan geldt x = π /2 + arctan y. Als de functie f gedefinieerd en monotoon stijgend is in ]a,b [, dan bezit f een inverse functie die gedefinieerd en monotoon stijgend is in f (]a,b [). Als y = cos x waarbij x ε ]- π,0[, dan geldt x = arccos(-y) - π. Als de functie f continu en dalend is in ]a,b [, dan bestaat de inverse functie f -1 die continu en dalend is in f (]a,b [). De functie f gegeven door f(x) = sin x voor x ε [0, π /2] bezit geen inverse functie. Als f : van A naar f(a) continu is dan is het invers beeld van een gesloten deelverzameling van f(a) een gesloten deelverzameling van A. De functie f gegeven door f(x)=x 4 is niet inverteerbaar in ]-,+ [. De inverse functie van de functie gegeven door y = sin x [ π /2,3 π /2] wordt gegeven door x = π - arcsin y. De functie f gegeven door f(x)=x 3 is inverteerbaar in ]-,+ [. Injectiviteit van de functie f : van A naar f(a) is een voldoende voorwaarde voor het bestaan van de inverse functie f -1. Gegeven de functie f : van A naar B met f(a) = B; opdat de inverse functie f -1 zou bestaan is het nodig en voldoende dat f een bijectie is tussen A en B. De functie f gegeven door f(x)=x 3 is inverteerbaar in ]-,+ [. Als de functie f gedefinieerd, continu en strikt monotoon dalend is in ]a,b [, dan bezit f een inverse functie die gedefinieerd, continu en strikt monotoon dalend is in f (]a,b [).

5 Als f continu is in ]a,b [ dan bereikt f in ]a,b[ een maximum en een minimum. De functie x sgnx, continu uitgebreid in de oorsprong, is uniform continu in [-1,+1]. Als f continu is in ]a,b [ dan is f continu in ]a,b [. Als f continu is in ]a,b [ dan is het beeld van ]a,b[ onder f een open verzameling. Als f uniform continu is in ]a,b [ dan bestaat De functie f (x) = 1/x is gelijkmatig continu in ]0,1[.

6 Als de functie f strikt stijgend is in ]a,b [, dan is f stuksgewijs continu in ]a,b [. De functie sgnx is uniform continu in ]0,+ [. Als de functie f continu is in [a,b], dan is het beeld van ]a,b[ onder f een open verzameling. De functie f is continu in ]a,b [ als en slechts dan als f continu is in elk punt van ]a,b [. Als de functie f continu is in [a,b], dan is het beeld van het open interval ]a,b [ onder f een open verzameling. Als f continu is in het punt x 0 dan zal voor elke rij (x n ) die convergeert naar x 0 de overeenkomstige rij van de functiewaarden (f(x n )) convergeren, maar niet noodzakelijk naar f(x 0 ). Als de functie f continu is in [a,b], dan is het beeld van [a,b] onder f een gesloten verzameling. Als f gedefinieerd is in een omgeving van het punt x 0 en continu is in het punt x 0 dan zal voor elke rij (x n ) die convergeert naar x 0 de overeenkomstige rij van de functiewaarden (f(x n )) convergeren naar f(x 0 ). De functie f gegeven door f(x) = sin x is uniform continu in ]-,+ [. Als f continu is op [a,b] dan bestaat er een punt c waarvoor voor alle x in [a,b], maar c behoort niet noodzakelijk tot [a,b]. De functie f (x) = 1/x is gelijkmatig continu in ]½,1[. Als f continu is in x 0 en f(x 0 ) = 1, dan bestaat er een omgeving van x 0 waarin f positief is. Als de functie f continu is in x 0, dan bestaat er een omgeving van x 0 waarin f continu is. Een ophopingspunt van een verzameling behoort tot deze verzameling.

7 Een punt van een verzameling is steeds een ophopingspunt van deze verzameling. Als elke omgeving van het punt c een element van de verzameling A bevat, dan is c een ophopingspunt van A. Elk punt van ]a,b [ is een ophopingspunt van ]a,b[. Als de functie f monotoon is in ]a,b [, dan is f niet noozakelijk gedefinieerd in elk punt van ]a,b [. Als de functie f strikt monotoon is in ]a,b [, dan is f gedefinieerd in elk punt van ]a,b [. De functie f gegeven door f(x)=sgn x is monotoon maar niet strikt monotoon in R. De functie f gegeven door f(x)=sgn x is strikt monotoon in R.