Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Transcriptie

1 Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in tegstelling tot gewone differtiaalvergelijking die betrekking hebb op e functie van slechts één variabele z n gewone afgeleide(n). In het algeme zijn partiële differtiaalvergelijking (veel) moeilijker op te loss dan gewone differtiaalvergelijking. Veel voorkomde partiële differtiaalvergelijking zijn de warmtevergelijking of diffusievergelijking, de golfvergelijking de aplace vergelijking of pottiaalvergelijking. Deze drie typ partiële differtiaalvergelijking zijn allemaal op te loss met dezelfde methode: scheid van variabel. Bij de bestudering van partiële differtiaalvergelijking beperk we ons daarom tot de drie goemde typ de methode van scheiding (of separatie) van variabel. E belangrijk hulpmiddel bij het oploss van deze partiële differtiaalvergelijking is de theorie van Fourierreeks... Tweepunts randwaardeproblem. Tot nu toe hebb we veel gekek naar beginwaardeproblem bestaande uit e (lineaire) differtiaalvergelijking met één of meer beginvoorwaarde(n), zoals bijvoorbeeld y + p(t)y + q(t)y = g(t), t I () y(t ) = y, y (t ) = y met t I, waarbij I e op interval is. In plaats van beginvoorwaard kunn we ook kijk naar zogaamde randvoorwaard waarbij de gezochte functie in de randpunt van e interval wordt vastgelegd, zoals bijvoorbeeld y + p(x)y + q(x)y = g(x), α < x < β () y(α) = y, y(β) = y. Dit wordt e (tweepunts) randwaardeprobleem goemd. Deze bestaat dus uit e differtiaalvergelijking op e interval (α, β) met twee randvoorwaard waarbij de waard van de gezochte functie in de randpunt van het interval (α, β) word vastgelegd. We zull ons hierbij beperk tot lineaire differtiaalvergelijking. Zo n randwaardeprobleem wordt homoge goemd als zowel de differtiaalvergelijking homoge is (dat wil zegg: g(x) = voor alle x (α, β)) als de randvoorwaard homoge zijn (dat wil zegg: y = y = ). E homoge randwaardeprobleem is dus altijd oplosbaar, want de oplossing y(x) = voor alle x [α, β] voldoet. Dit noemt m de triviale oplossing. Er lijkt niet zoveel verschil te zitt tuss e beginwaardeprobleem van de vorm () e randwaardeprobleem van de vorm (). We zull zi dat het verschil juist erg groot is. We wet inmiddels dat e beginwaardeprobleem van de vorm () precies één oplossing heeft als p, q g continu zijn op het interval I. Zie de existtie- eduidigheidsstelling 3.. in 3. op pagina 46. E randwaardeprobleem van de vorm () kan ge, precies één of zelfs oneindig veel oplossing hebb zoals de volgde voorbeeld lat zi.

2 Voorbeeld. Beschouw het randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) =. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is y(x) = c cos x + c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y(π) = volgt dat c cos π + c sin π =. Dus: c = c = cos π sin. Er is dus precies één oplossing: π y(x) = cos x cos π sin π sin x. Voorbeeld. Beschouw het randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) = a voor zekere a R. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is nu y(x) = c cos x + c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y(π) = volgt dat c = a. Dit betekt dus dat er voor a helemaal ge oplossing bestaat. Voor a = vind we echter alle dat c =, terwijl c R willekeurig is. Voor a = zijn er dus oneindig veel oplossing: y(x) = cos x + c sin x met c R. De randwaardeproblem in bovstaande voorbeeld zijn niet homoge vanwege de randvoorwaarde y() =. Maar ook voor homoge randwaardeproblem tred dergelijke verschill op zoals blijkt uit de volgde voorbeeld. Voorbeeld 3. Beschouw het homoge randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) =. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is y(x) = c cos x + c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y(π) = volgt dan dat c sin π =. Omdat sin π volgt hieruit dat c =. Dus: c = c =. Dit homoge randwaardeprobleem heeft dus alle de triviale oplossing. Voorbeeld 4. Beschouw het homoge randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) =. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is y(x) = c cos x+c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. Dus y(x) = c sin x. Maar dan geldt y(π) = voor alle waard van c R. Dit homoge randwaardeprobleem heeft dus oneindig veel oplossing: y(x) = c sin x waarbij c R willekeurig is.

3 at we nu es kijk naar e homoge randwaardeprobleem van de vorm y + λy =, < x < π y() =, y(π) =. We gaan nu onderzoek voor welke waard van de parameter λ R dit homoge randwaardeprobleem niet-triviale oplossing heeft. We onderscheid daarbij drie mogelijkhed:. λ = : y = = y(x) = a x + a. Uit y() = y(π) = volgt dan dat a = a =. Voor λ = vind we dus alle de triviale oplossing.. λ = µ < : y µ y = = y(x) = b cosh µx + b sinh µx. Uit y() = volgt dan dat b =. Uit y(π) = volgt dan dat b sinh µπ =, maar omdat sinh µπ volgt hieruit dat ook b =. Dus ook voor λ < vind we alle de triviale oplossing. 3. λ = µ > : y + µ y = = y(x) = c cos µx + c sin µx. Uit y() = volgt dan dat c =. Uit y(π) = volgt dan dat c sin µπ =. Als c = dan vind we weer de triviale oplossing, maar als sin µπ = dan is c R willekeurig te kiez. Nu geldt: sin µπ = voor µπ = nπ met n =,, 3,.... Dus: µ = n met n =,, 3,... dus λ = µ = n met n =,, 3,.... Dit noemt m de eigwaard van het randwaardeprobleem. De bijbehorde oplossing y n (x) = sin nx met n =,, 3,... noemt m de eigfuncties. Nog iets algemer vindt m voor y + λy =, < x < de eigwaard λ n = n π y() =, y() = de eigfuncties y n (x) = sin ( nπx ) met n =,, 3,.... Bij de bestudering van partiële differtiaalvergelijking tred vaak dergelijke randwaardeproblem op... Fourierreeks. E reeks van de vorm a + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) heet e Fourierreeks. De verzameling van punt x waarvoor deze som convergeert definieert e functie f, waarvan de functiewaarde f(x) de som van de reeks is. We noem de reeks dan e Fourierreeks voor f. We zull onderzoek voor welke functies e dergelijke Fourierreeks bestaat. ater zull we zi dat dergelijke Fourierreeks nauw verbond zijn met de methode van scheid van variabel voor het oploss van partiële differtiaalvergelijking. Waarom de eerste term van de reeks als a / wordt geschrev zal duidelijk word als we formules voor de coëfficiënt gaan afleid. E functie f heet periodiek met periode T > als voor iedere x in het domein van f ook x + T tot dat domein behoort f(x + T ) = f(x) voor alle x in het domein van f. De (3) 3

4 kleinste waarde van T waarvoor dit geldt wordt wel de fundamtele periode goemd. De functies in de Fourierreeks (3) zijn elk periodiek met periode. Voor twee functies f g gedefinieerd op e interval (α, β) kunn we e inwdig product definiër van de vorm < f, g > := β α f(x)g(x) dx. Twee functies noemt m dan orthogonaal als dat inwdig product nul is. E verzameling functies heet orthogonaal als elk paar verschillde functies in die verzameling onderling orthogonaal zijn. De functies in de Fourierreeks (3) zijn allemaal gedefinieerd op het interval (, ). Deze functies vorm e orthogonale verzameling, want voor m, n,, 3,...} geldt: cos mπx cos mπx sin mπx nπx cos dx =, m n, m = n, nπx sin dx = voor alle m, n nπx, m n sin dx =, m = n. Om deze relaties te bewijz mak we gebruik van twee elemtaire goniometrische formules, te wet: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Hieruit volgt dat cos(x+y)+cos(x y) = cos x cos y, waarmee de eerste relatie bewez kan word. Verder volgt dat sin(x + y) + sin(x y) = sin x cos y, waarmee de tweede integraal uitgerekd kan word. Zo geldt ook cos(x y) cos(x + y) = sin x sin y, waarmee de laatste integraal uitgerekd kan word. Het bewijs van de laatste relatie vindt u in het boek op pagina 598 pagina 599. We zull hier de eerste relatie bewijz. De middelste integraal berekt m op soortgelijke wijze. Voor m n geldt: Voor m = n geldt: cos mπx = [ cos mπx = nπx cos dx = [ (m + n)πx cos + cos (m + n)πx sin + (m + n)π nπx cos dx = [ x + nπx sin nπ ] cos nπx ] (m n)πx dx (m n)πx sin (m n)π ] =. } [ dx = + cos nπx ] dx = ( + ) =. 4

5 Stel nu dat dan volgt voor n =,, 3,... f(x) = a + m= ( a m cos mπx f(x) cos nπx dx = a cos nπx + b m m= + b m sin mπx ), dx + a m m= sin mπx cos mπx nπx cos dx nπx cos dx = a n. Hieruit volgt dat a n = f(x) cos nπx dx voor n =,, 3,.... Evzo vind we dat b n = dx voor n =,, 3,.... Om a te vind berek we f(x) dx = a dx + a m m= cos mπx dx + b m m= sin mπx dx = a. Hieruit volgt dat a = f(x) dx. Dit is gelijk aan de formule voor a n als n =. Dit is de red van de vorm van de constante a / in de Fourierreeks. Deze formules voor de coëfficiënt a, a n b n met n =,, 3,... word de Euler-Fourier formules goemd..3. De stelling van Fourier. Zonder bewijs vermeld we hier de convergtiestelling van Fourier: Stelling. Als f f stuksgewijs continu zijn op e interval [, ) f wordt buit dat interval periodiek voortgezet met periode, dan is de Fourierreeks voor f: met a = a n = f(x) dx, f(x) = a + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) f(x) cos nπx dx b n = dx, n =,, 3,.... Deze Fourierreeks convergeert voor alle x naar f(x+) + f(x ) met f(x+) = lim t x f(t) f(x ) = lim t x f(t). De uitdrukking [f(x+) + f(x )]/ is het gemiddelde van de linker- de rechterlimiet van f in het punt x. Als f continu is in dat punt x, dan is dus f(x+) = f(x ) = f(x) nadert de Fourierreeks dus gewoon naar f(x). Maar als f discontinu is in x, dan convergeert de Fourierreeks dus naar het gemiddelde van de linker- de rechterlimiet van f in dat punt x. 5

6 We besluit met kele voorbeeld: Voorbeeld 5. Stel f(x) = x voor x < π. Dan geldt = π volgt: met a = π f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx) f(x) dx = π x dx = π π x =, a n = f(x) cos nx dx = π π = nπ x sin nx π nπ b n = f(x) sin nx dx = π π = nπ x cos nx π + nπ x cos nx dx = x d sin nx nπ sin nx dx = + n π cos nx π =, n =,, 3,... = n cos nπ = n ( )n+, n =,, 3,.... De Fourierreeks voor f is dus f(x) = x sin nx dx = x d cos nx nπ cos nx dx = n cos nπ n ( ) n+ sin nx. n cos nπ + n π sin nx π Voor x = is de reeks gelijk aan nul ook f() =. Voor x = π is de reeks echter ook gelijk aan nul. Als we f periodiek voortzett met periode = π, dan is f discontinu in x = π geldt dat f(π+) = f(π ) = π. Het gemiddelde van deze twee waard is inderdaad gelijk aan nul. Voor x = π/ moet de som van de reeks volgs de stelling van Fourier gelijk zijn aan f(π/) = π/. Hieruit volgt dus dat π = ( ) n+ sin nπ n. Nu is sin nπ Dus: = als n ev is. Voor onev n, zeg n = k + geldt sin (k + )π π = = sin(k + )π = ( )k, k =,,,.... k= ( ) k+ k + ( )k = k= ( ) k k +. 6

7 Hieruit volgt dat = k= ( ) k k + = π 4. Voorbeeld 6. Beschouw de functie f gedefinieerd door, x < f(x) =, x <. Dan geldt = volgt: met a n = f(x) = a + (a n cos nπx + b n sin nπx) a = f(x) cos nπx dx = f(x) dx = dx =, cos nπx dx = nπ sin nπx =, n =,, 3,... De Fourierreeks voor f is dus b n = dx = sin nπx dx = nπ cos nπx = [ cos nπ] = nπ nπ [ ( )n ], n =,, 3,.... f(x) = + π ( ) n sin nπx = n + π k= sin(k + )πx. k + Voor x = is de som van de reeks gelijk aan /, het gemiddelde van f(+) = f( ) =. Voor x = / vind we = f(/) = + π k= k + sin(k + )π = + π k= ( ) k k + = k= ( ) k k + = π 4. Dit laatste resultaat kan ook verkreg word door in de Taylorreeks van arctan x, arctan x = x 3 x3 + 5 x5 7 x = x = te substituer: = 7 k= k= ( ) k x k+, x, k + ( ) k k + = arctan = π 4.

8 .4. Ev onev functies. E functie f heet ev als voor elke x in het domein van f ook x tot dat domein behoort f( x) = f(x) voor alle x in het domein van f. En e functie f heet onev als voor elke x in het domein van f ook x tot dat domein behoort f( x) = f(x) voor alle x in het domein van f. Voorbeeld van ev functies zijn, x, x 4 cos x voorbeeld van onev functies zijn x, x 3 sin x. Er zijn ook functies die niet ev ook niet onev zijn, zoals + x of e x. Er is precies één functie die zowel ev als onev is. Voor die functie moet immers geld dat f(x) = f( x) = f(x) dus f(x) = voor alle x. Evoudig in te zi zijn de volgde rekregels : f g ev = f + g ev f g ev, Verder geldt: f g onev = f + g onev f g ev f ev g onev = f g onev. f ev = f onev = f(x) dx = f(x) dx =. f(x) dx Stel dat f e ev functie is dat de Fourierreeks voor f gelijk is aan dan volgt: Dus: a n = f(x) = a + a = f(x) cos nπx b n = ( a n cos nπx f(x) dx = dx = + b n sin nπx ), f(x) dx, f(x) cos nπx dx =, n =,, 3,.... f(x) = a + a n cos nπx. Dit noemt m wel e Fourier cosinusreeks voor f. Als f e onev functie is, dan volgt: a n = a = f(x) cos nπx f(x) dx =, 8 dx =, n =,, 3,... dx, n =,, 3,...

9 Dus: b n = dx = f(x) = Dit heet e Fourier sinusreeks voor f. b n sin nπx. dx, n =,, 3,.... Voorbeeld. Stel dat f(x) = x voor < x <. Dan is f e onev functie. Verder is = dus volgt: f(x) = b n sin nπx met Dus: b n = dx = = nπ x cos nπx + nπ x sin nπx dx = nπ = cos nπ + = nπ nπ ( )n+, n =,, 3,.... f(x) = π x d cos nπx cos nπx dx = cos nπ + nπ n π sin nπx ( ) n+ sin nπx. n Voorbeeld. Stel dat f(x) = x voor < x <. Dan is f noch ev noch onev. Als we nu f onev voortzett op het interval (, ) zoals in voorbeeld, dan volgt: f(x) = π ( ) n+ sin nπx, < x <. n We kunn f echter ook ev voortzett op het interval (, ). In dat geval vind we: met a n = a = f(x) = a + a n cos nπx f(x) dx = f(x) cos nπx dx = = nπ x sin nπx nπ = x dx = x = x cos nπx dx = nπ x d sin nπx sin nπx dx = + n π cos nπx n [cos nπ ] = π n π [( )n ], n =,, 3,.... 9

10 Dus: f(x) = + π Voor x = volgt hieruit dat ( ) n n cos nπx = 4 π k= cos(k + )πx, < x <. (k + ) = 4 π k= (k + ) = k= (k + ) = = π 8. We hebb gezi hoe we uit de Fourierreeks voor f, de Euler-Fourier formules f(x) = a + a n = b n = ( a n cos nπx f(x) cos nπx + b n sin nπx ), dx, n =,,,... dx, n =,, 3,... kunn afleid door gebruik te mak van de orthogonaliteit van de functies in die Fourierreeks. Op dezelfde manier vind we door met f(x) te vermigvuldig vervolgs te integrer: f(x)} dx = a f(x) dx + + b n = a + a n + b n. a n f(x) cos nπx dx Hieruit volgt (vergelijk met opgave 7 van.3 op pagina 63) f(x)} dx = a + (a n + b n). Deze relatie tuss e functie f de coëfficiënt van de Fourierreeks voor f heet de relatie van Parseval. In voorbeeld hebb we gezi dat 4 π k= cos(k + )πx = f(x) = (k + ) dx x, < x x, x <.

11 De relatie van Parseval leidt in dat geval tot: 3 = + 6 π 4 Hieruit volgt dat k= (k + ) 4 6 π 4 k= k= (k + ) 4 = π4 96. (k + ) 4 = 3 = 4 3 = Scheid van variabel; de warmte- of diffusievergelijking. We bestuder de temperatuur u(x, t) in e metal staaf met lgte, waarbij de variabele x met x de positie in de staaf aangeeft t de tijd. Hierbij verwaarloz we de dikte van de staaf, zodat de positie in de staaf met behulp van slechts één plaatsvariabele x aangeduid kan word. Verder nem we aan dat de staaf over de gehele lgte perfect geïsoleerd is zodat warmte-uitwisseling met de omgeving (evtueel) alle aan de uiteind kan plaatsvind. Dan kunn we voor u(x, t) e partiële differtiaalvergelijking afleid van de vorm α u xx = u t, < x <, t >, waarbij α e positieve constante is die afhankelijk is van het materiaal van de staaf. Zie voor de afleiding van deze vergelijking Appdix A vanaf pagina 669 (ge ttamstof). Deze vergelijking heet de warmtevergelijking of diffusievergelijking. De constante α wordt de diffusieconstante goemd. Verder geldt: u xx = u x u t = u t. We nem verder aan dat er e begintemperatuurverdeling f(x) in de staaf gegev is: u(x, ) = f(x), x. T slotte nem we nog aan dat aan de uiteind van de staaf dezelfde constante temperatuur heerst. Deze temperatuur nem we als nulniveau zodat: u(, t) = u(, t) = voor alle t. Dit leidt tot e zogaamd beginrandwaardeprobleem van de vorm α u xx = u t, < x <, t > u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, (4) bestaande uit e partiële differtiaalvergelijking, in dit geval de warmtevergelijking, twee randvoorwaard e beginvoorwaarde. Merk op, dat het probleem eiglijk alle realistisch is als f() = f() =, maar hierover zull we ons niet zo druk mak. De warmtevergelijking is lineair homoge. Ook de twee randvoorwaard zijn (in dit geval) homoge. Dit betekt dat de triviale oplossing u(x, t) = voldoet aan de differtiaalvergelijking én aan de twee randvoorwaard. Deze oplossing voldoet echter alle

12 aan de beginvoorwaarde in de triviale situatie dat f(x) = voor alle x. We zijn dus alle geïnteresseerd in niet-triviale oplossing. Om het probleem op te loss mak we gebruik van de methode van scheid van variabel: stel dat u(x, t) = X(x)T (t), dan volgt: α X (x)t (t) = X(x)T (t) = X X = α T T = σ (de separatieconstante). Hieruit volgt dat X σx = T σα T =. Dit zijn dus twee gewone differtiaalvergelijking voor X(x) T (t). De algeme oplossing voor T (t) is dus T (t) = ce σα t met c R. Uit de randvoorwaard volgt nu: u(, t) = X()T (t) = = X() = u(, t) = X()T (t) = = X() =. Voor X(x) vind we dus het volgde homoge randwaardeprobleem: X (x) σx(x) =, < x < We onderscheid drie mogelijkhed: X() =, X() =.. σ = : X (x) = = X(x) = a x + a. Met X() = X() = volgt dan: a = a =. Dit levert dus alle de triviale oplossing op. Dus: σ = is ge eigwaarde.. σ = µ > : X (x) µ X(x) = = X(x) = b cosh µx + b sinh µx. Uit X() = volgt dan dat b =. Dan volgt uit X() = dat b sinh µ =. Maar sinh µ, want > µ. Dus: b =. Ook in dit geval vind we dus alle de triviale oplossing. Er zijn dus ge positieve eigwaard. 3. σ = µ < : X (x) + µ X(x) = = X(x) = c cos µx + c sin µx. Uit X() = volgt dan dat c =. Dan volgt uit X() = dat c sin µ =. Dit leidt tot niet-triviale oplossing als sin µ = dus µ = nπ met n =,, 3,.... Dus: σ n = n π met n =,, 3,... zijn de eigwaard X n (x) = sin nπx met n =,, 3,... zijn de eigfuncties. Voor T (t) vind we dan T n (t) = e n π α t u n (x, t) = X n (x)t n (t) = e n π α t met n =,, 3,... dus sin nπx, n =,, 3,.... Vanwege de homogiteit van de differtiaalvergelijking de randvoorwaard vind we met het superpositieprincipe dat u(x, t) = c n u n (x, t) = c n e n π α t sin nπx.

13 T slotte moet deze oplossing ook nog voldo aan de beginvoorwaarde: u(x, ) = f(x) f(x) = Dit is e Fourier sinusreeks voor f dus volgt: c n = c n sin nπx. dx, n =,, 3,.... Hiermee hebb we e (unieke) oplossing voor het warmteprobleem (4) gevond. We besluit met e min of meer realistisch voorbeeld: Voorbeeld 3. Beschouw e metal staaf die precies in het midd verhit wordt door e warmtebron. Vervolgs wordt de staaf geïsoleerd word de uiteind op e vaste temperatuur gehoud. We hebb dus (bijvoorbeeld): waarbij 4u xx = u t, < x <, t > u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, f(x) = x, x x, x. We gaan onderzoek hoe de temperatuur in de staaf zich gedraagt. Hier geldt dus: α = 4 =. Zoals hierbov vind we dan met behulp van de methode van scheid van variabel: dus c n = u(x, t) = = nπ c n e n π t sin nπx dx = met u(x, ) = x sin nπx dx + c n sin nπx ( x) sin nπx dx x d cos nπx ( x) d cos nπx nπ = nπx x cos nπ + cos nπx nπ dx nπx ( x) cos nπ nπ = nπ cos nπ + 4 nπx n sin π + nπ cos nπ 4 nπx n sin π 4 = n π sin nπ + 4 n π sin nπ = 8 n π sin nπ, n =,, 3,.... = f(x) cos nπx dx 3

14 De oplossing is dus: u(x, t) = 8 π n sin nπ π t e n sin nπx = 8 ( ) k π t π (k + ) e (k+) sin(k + )πx. k= Merk op dat lim t u(x, t) = : op d duur zal de temperatuur in de gehele staaf gelijk zijn aan de constante temperatuur die heerst aan de uiteind. Verder zi we ook dat u(, t) = u(, t) =. Ook dit is wat we kond verwacht: de temperatuur is blijft aan de uiteind van de staaf constant (gelijk aan de omgevingstemperatuur). Interessanter is om te wet hoe snel de temperatuur in het midd van de staaf afneemt. Daarvoor nem we x = : u(, t) = 8 ( ) k π t π (k + ) e (k+) sin(k + )π = 8 e (k+) π t π (k + ). k= We hadd al gezi dat k= (k + ) = π 8 dat betekt dus dat de temperatuur op tijdstip t = gelijk is aan u(, ) = dat klopt netjes met de beginvoorwaarde. De waarde van u(, t) laat zich voor andere waard van t niet zo gemakkelijk berek. Met behulp van (bijvoorbeeld) Maple lukt dat wel: > u:=t->8/pi^*sum(exp(-(*k+)^*pi^*t)/(*k+)^,k=..infinity); e ( ( k+) π t) ( k + ) k= u := t 8 > evalf(u()); π De waarde voor t = blijkt al erg klein te zijn. Om te zi hoe snel de functie afneemt gebruik we e loopje : > for t from.5 to.5 by.5 do evalf(u(t)) od; k= 4