TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,

Transcriptie

1 TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het tentamencijfer bestaat voor 40% uit het cijfer van het eerste gedeelte en voor 60% uit het cijfer van het tweede gedeelte waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door het cijfer van de toets van 2 oktober 2006 indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het tentamencijfer de bonuspunten van het huiswerk opgeteld. Bij het tentamen mogen alleen rekenmachines worden gebruikt van het type dat op het VWOexamen is toegestaan. Het gebruik van een formulekaart is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.. Bepaal alle oplossingen in het complexe vlak van de vergelijking (z ) 4 = 256. Geef tevens in een tekening de ligging van deze oplossingen aan. (0 pt) 2. Los het volgende beginwaardenprobleem op: { y y 2y = 0 y(0) = 2, y (0) =. (0pt). Beschouw de functies f c (x) = e x (sin x + c cos x) met c een reëel getal. Voor welke c is f c differentieerbaar op R? Bepaal in de voorkomende gevallen f c(0). (8 pt) 4a. Bewijs dat de functie g(x) = tanh x + x inverteerbaar is op R. (5 pt) b. Bereken (g ) (0). (4 pt) 5. De kromme K heeft vergelijking cos(x + y) + y 2 sin(x y) =. Bepaal een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt (0, π). (0 pt) De opgaven 6-0 staan op de ommezijde.

2 6. Beschouw de functie h(x) = ln( cos x). a. Bepaal de asymptoten van h. ( pt) b. Bepaal de extremen van h en geef aan of het (locale) maxima dan wel minima zijn. (7 pt) c. Bepaal de coördinaten van eventuele buigpunten van de grafiek van h. ( pt) d. Gebruik de onderdelen (a)-(c) om de grafiek van h te schetsen. Geef duidelijk je werkwijze aan. ( pt) 7. Bereken de integraal 8. Bereken de volgende iet: 0 ln x dx. (0 pt) tan x x x 0 sin x x. (8 pt) 9. Laat P n (x) het n-e orde Taylorpolynoom zijn van f(x) = n =, 2,... geldt dat waarbij c tussen 0 en x ligt. a. Bereken P (x). (5 pt) b. Toon aan dat f(x) P n (x) = f (n) (c) x n n! < 2 5 P 2 ( 4 ) < 0. + x rond x = 0. Voor x < en (6 pt) 0. Los het volgende beginwaardenprobleem op: { (x 2 + )y xy = x 2 + y(0) =. (0 pt) 2

3 Antwoorden.. (z ) 4 = 256(cos π + i sin π) dus z = 4(cos(π/4 + k π/2) + i sin(π/4 + k π/2)), (k = 0,, 2, ) zodat z = + (±2 2 ± 2 2). (Er zijn dus vier oplossingen). 2. De algemen oplossing is y(x) = Ce 2x + De x. Invullen van de randvoorwaarden geeft y(x) = e 2x + e x.. f c (x) f c (0) e x (sin x + c cos x) c = = c, x 0 x x 0 x f c (x) f c (0) e x (sin x + c cos x) c = = + c. x 0 x x 0 x f c is differentieerbaar in x = 0 als beide ieten bestaan en gelijk zijn. Dit is het geval voor c = 0 en dan is f 0(0) =. Voor x 0 is f c het product van differentieerbare functies en dus differentieerbaar. 4. g (x) = cosh 2 x + dus g (x) > 0 voor alle x. g is stijgend en dus inverteerbaar. Verder is g (0) = 0 en (g ) (0) = g = (x) x=g (0) Afgeleide naar x nemen geeft ( + y ) sin(x + y) + 2yy sin(x y) + y 2 ( y ) cos(x y) = 0. x = 0, y = π invullen geeft dan y =. Een vergelijking van de raaklijn is dus y = x + π. 6. Er zijn verticale asymptoten voor cos x = dus x = k 2π (met k geheel); hier geldt dat h(x) =. x 2kπ

4 b. h (x) = sin x cos x en dus is h (x) = 0 voor x = π + k 2π met k geheel. De extremen zijn maxima met waarde h(π) = ln(2). c. h (x) =. Er zijn dus geen buigpunten. cos x d. Merk op dat de grafiek periodiek is met periode 2π. 7. De integraal is oneigenlijk in x = 0. Dus is 0 ln x dx = p 0 p ln dx = x(ln x ln 2 x + 6 ln x 6) = 6. p 0 p De primitieve kan worden berekend door herhaald partieel te integreren. 8. De iet kan worden berekend door teller en noemer in een Taylorreeks rond x = 0 te ontwikkelen; er geldt dat sin x = x 6 x + O(x 4 ) en tan x = x + x + O(x 4 ) en dus is tan x x x 0 sin x x = x / + O(x 4 ) x 0 x /6 + O(x 4 ) = 2. Een andere methode is de regel van de l Hôpital te gebruiken. Dan moet wel bij elke stap worden nagegaan dat teller en noemer naar 0 gaan als x 0. 9a. P (x) = + ( /2 ) x + ( /2 b. f( 4 ) P 2( 4 ) = f () (c) 6 2 ) x 2 + ( /2 waarbij 0 < c < /4. Dus 4 ) x = 2 x + 8 x2 5 6 x < 2 P 2 ( 5 4 ) = 5 < ( + c) 7/2 0. De homogene vergelijking (x 2 + )y xy = 0 heeft als oplossing y = C x 2 +. Variatie van constante (laat C = C(x)) levert C (x 2 + ) /2 = (x 2 + ) /2 dus C = arctan x + C 0 met C 0 constant. Dus de algemene oplossing is y(x) = (C 0 + arctan x) x 2 +. De beginvoorwaarde invullen geeft C 0 = dus de oplossing is y(x) = ( + arctan x) x

5 TENTAMEN ANALYSE. maandag 5 januari 2007, Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vier opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het tentamencijfer bestaat voor 40% uit het cijfer van het eerste gedeelte en voor 60% uit het cijfer van het tweede gedeelte waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door het cijfer van de toets van 2 oktober 2006 indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het tentamencijfer de bonuspunten van het huiswerk opgeteld. Bij het tentamen mogen alleen rekenmachines worden gebruikt van het type dat op het VWOexamen is toegestaan. Het gebruik van een formulekaart is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.. Bepaal alle oplossingen in het complexe vlak van de vergelijking (z + i) = 52. Geef tevens in een tekening de ligging van deze oplossingen aan. (0pt) 2. De functie artanh x (of tanh x) is de inverse van tanh x. a. Bepaal het domein D van artanh x. (2 pt) b. Laat zien dat voor x D artanh x = ln R(x) waarbij R(x) een rationale functie is en bepaal R(x). (8 pt). De kromme K met vergelijking xy 2 + e x y = 2 gaat door het punt (, ). Bepaal een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt (, ). (0pt) 4. De functies f c : R R zijn gegeven door f c (x) = { x c sin x voor x 0 0 voor x = 0. a. Ga na, voor welke c de functie f c continu op R is. (8pt) b. Ga na, voor welke c de functie f c differentieerbaar is in x = 0. Bepaal in de voorkomende gevallen f c(0). (0 pt) De opgaven 5-9 staan op de volgende bladzijde. 5

6 5. Beschouw de functie h(x) = x2 x + 2. x 2 a. Bepaal de snijpunten van de grafiek van h met de coördinaatassen. (4pt) b. Bepaal de extremen van h en geef aan of het maxima dan wel minima zijn. (8pt) c. Bepaal een vergelijking van de asymptoten van de grafiek van h. (6pt) d. Schets op grond van de antwoorden van (a), (b) en (c) de grafiek van h. Geef duidelijk je werkwijze aan. (4pt) 6. Bereken x cos x 2. (8pt) x 0 e x2 x 2 7. Bereken 2x x2 dx. (8pt) 8a. Bepaal het eerste-en tweede-orde Taylorpolynoom P (x) en P 2 (x) van f(x) = x rond x = 8. (5pt) Voor x > 0 geldt dat waarbij c tussen 8 en x ligt. b. Toon aan dat f(x) P (x) = f (c) (x 8) 2 2 P 2 (9) < 9 < P (9). (5pt) 9. Los het volgende beginwaardenprobleem op: { y + y x = ex y() =. (0pt) 6

7 Antwoorden.. z + i = 8 exp(πi/ + k 2πi/) met k geheel dus z = 8 i, z = 4 i + 4i, z = 4 i 4i. 2. Als y = tanh x, dan is x = tanh y = ey e y e y. Het domein is (, ) en oplossen van y geeft + e y y = 2 ln + x x.. Differentiëren naar x geeft ( ) y 2 + 2xyy + 2 x y 2 e x y = 0. y Invullen van x = y = geeft y =. De vergelijking van de raaklijn is dus y = (x ) ofwel y = x Omdat de machtsfunctie y = x c en y = sin x overal voor x 0 continu zijn, is de productfunctie sin x f c continu voor x 0. Verder geldt: = dus x 0 x x 0 xc sin x = 0 als c >. Voor c > is f c dus continu. f c (x) f c (0) b. f c is differentieerbaar in x = 0 als = x c sin x bestaat (de iet is dan x 0 x x 0 gelijk aan f c(0)). Als in (a) zien we dat de iet bestaat als c 0 en f c(0) = als c = 0 en f c(0) = 0 als c > 0. 5a. De vergelijking x 2 x + 2 = 0 heeft geen oplossingen dus er zijn geen snijpunten met de x-as, het snijpunt met de y-as is (0, ). b. h(x) = x x 2 dus 4 h (x) = (x 2) 2, en h (x) = 0 als x = 0 of x = 4. Door naar het tekenschema te kijken zien we dat in x = 0 er een maximum is ter waarde -, en in x = 4 een minimum ter waarde 7. c. Er is een verticale asymptoot x = 2 en een scheve asymptoot y = x +. Immers is d. De grafiek is een hyperbool. 6. Gebruik de Taylorreeksen: h(x) = ± en h(x) (x + ) = x 2 x ± 7 x ± 4 x 2 = 0.

8 x cos x 2 x 2 + 2( x 2 /2 + x 4 /24 + O(x 6 )) 2 = x 0 e x2 x 2 x 0 + x 2 + x 4 /2 + O(x 6 ) x 2 = 6. (Herhaald) de regel van de l Hôpital toepassen mag ook zolang als de teller en de noemer beide naar 0 gaan; na 4 stappen zijn de teller en noemer niet meer nul. 7. De integraal is oneigenlijk (in x = ): 2x dx = x2 a a 2x dx = x2 a 2 (x2 ) 2/ = a a 2 (82/ a 2/ ) = en Verder is P (x) = f(8) + f (8)(x 8) = 2 + (x 8) 2 P 2 (x) = f(8) + f (8)(x 8) + 2 f (8)(x 8) 2 = 2 + (x 8) (x 8)2. f(9) = P (9) + f (c) (9 8) 2, met 8 < c < 9. 2 Aangezien f (x) = 2 9 x 5/ is f (8) < f (c) < 0 en dus is P 2 (9) < f(9) < P (9). 9. De homogene vergelijking y +y/x = 0 is van separabel type en heeft een oplossing y = C/x voor C een constante. Een integrerende factor voor de inhomogene vergelijking is dus x: vermenigvuldigen met x geeft dan xy + y = xe x dus(xy) = xe x. Primitiveren geeft dan xy(x) = x te t dt = (x )e x + c met c een constante. Invullen van y() = geeft dat c = en de oplossing is dus y(x) = ( ) e x + x x. 8

9 ANALYSE, DEELTENTAMEN A. maandag 2 oktober 2006, Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.. Bepaal alle complexe oplossingen van de vergelijking (z + 2) 6 = 64 (schrijf de oplossingen in de vorm a + bi met a, b reële getallen) en teken ze in het complexe vlak. 2. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = x + x + x.. Los het volgende beginwaardenprobleem op: y + 8y + 6y = 0, y() = 0, y () =. 4a. Bewijs dat de functie f(x) = x 5 + x + inverteerbaar is. b. Bereken (f ) (). 5. De krommen x 2 + y 2 = x en x 2 + y 2 = 2y snijden elkaar in twee punten. Toon aan dat in elk van de twee snijpunten de krommen elkaar loodrecht snijden. 6. Voor welke waarde(n) van c R is de functie continu op R? f c (x) = { x 2 x 6 x c 5 voor x c voor x = c 7. Beschouw de functie g(x) = { x 2 sin x voor x 0 0 voor x = 0. a. Toon aan dat g in x = 0 differentieerbaar is en bepaal g (0). b. Ga na of de afgeleide functie g continu in x = 0 is. 9

10 Antwoorden.. De vergelijking w 6 = 64 heeft als oplossingen De oplossingen zijn dus w = 2(cos πk πk + i sin ), (k = 0,, 2,, 4, 5). z = 0, z = 4, z = i, z = + i, z = + i, z = i. 2. f (x) = ( 2 x + x + + x 2 x + x ( + ) ) 2. x. De algemene oplossing is gelijk aan y(x) = (A + Bx)e 4x met A, B constanten. Invullen van de beginvoorwaarden geeft B = A = e 4 en de oplossing is dus y(x) = ( e 4 + e 4 x)e 4x. 4a. f (x) = 5x 4 + is positief voor alle x. f is een stijgende en dus een inverteerbare functie op R. b. f(0) = dus f () = 0. Dan is (f ) () = f (y) y=f () = f (0) = =. 5. De snijpunten zijn (0, 0) en (4/5, 2/5). Impliciet differentiëren geeft 2x+2yy = resp. 2x+2yy = 2y. In hetin het punt (4/5, 2/5) vinden we voor de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de twee krommen y = /4, resp. y 2 = 4/. Het product y y 2 = en de krommen snijden elkaar dus loodrecht. In het punt (0, 0) vinden we voor de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen 6. aan de tweede kromme y 2 = 0. Voor de eerste kromme is y = dy dx = 2x ( ) 2y x = y = 0 is = 0 en de beide krommen snijden elkaar dus loodrecht. dx dy f (x )(x + 2) c(x) = = 5. x c x c x c ofwel dx dy = 2y 2x. Voor De iet bestaat alleen als c = of c = 2. Alleen c = 2 geeft als iet -5. Merk verder nog op dat f c continu is in x c voor alle c (een rationale functie is continu buiten de nulpunten van de noemer). 7a. Omdat x x sin x x 0

11 is volgens de insluitstelling en dus is Dan is dus g is differentieerbaar in x = 0 met g (0) = 0. x x sin x 0 x 0 x x x 0 x sin x 0 x = 0. g(x) g(0) = x sin x 0 x x 0 x = 0, b. Voor x 0 is g (x) = 2x sin x cos x. Verder is g is dus niet continu in x = 0. x sin = 0, maar x 0 x cos x 0 x bestaat niet.