Calculus TI1 106M. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 1 september 2014

Transcriptie

1 Calculus TI1 106M, 1 september 2014

2 Inleiding Studiemateriaal Onderwerpen Calculus 1 september

3 Inleiding Mekelweg 4, kamer tel : (015 27) I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak 1 september

4 Studiemateriaal Boek James Stewart : Calculus (Early Transcedentals) International Edition (7th edition) ISBN-13 : september

5 Onderwerpen Functies (Stewart, hoofdstuk 1) Limieten en continuïteit (Stewart, hoofdstuk 2) Differentiëren (Stewart, hoofdstuk 3) Toepassingen van het differentiëren (Stewart, hoofdstuk 4) Integreren (Stewart, hoofdstukken 5 en 7) Reeksen (Stewart, hoofdstuk 11) Functies van meerdere variabelen (Stewart, hoofdstuk 14) Meervoudige integralen (Stewart, hoofdstuk 15) 1 september

6 Functies

7 Wat is een functie? (Definitie) A, B zijn verzamelingen. Een functie van A naar B voegt aan elk element van A precies één element van B toe. Zo n functie wordt meestal gegeven door een voorschrift f. 1 september

8 Manieren om een functie te representeren Verbaal (d.m.v. woorden) Numeriek (d.m.v. een tabel) Visueel (d.m.v. een diagram of een tekening van de grafiek) Algebraïsch (d.m.v. een functievoorschrift) 1 september

9 Vertikale lijntest Een kromme in het platte vlak is de grafiek van een functie als elke vertikale lijn deze grafiek ten hoogste één keer snijdt. Een functie f heet stuksgewijs gedefinieerd als een voorschrift op disjuncte delen van het domein van f verschillend is. 1 september

10 Even en oneven functies Laat het domein van een functie f een symmetrisch interval I rond 0 zijn. even als f ( x) = f (x) Dan heet f oneven als f ( x) = f (x) voor alle x I. 1 september

11 Stijgende en dalende functies Laat I het domein van een functie f zijn. stijgend als f (x 1 ) f (x 2 ) strikt stijgend als f (x 1 ) < f (x 2 ) f heet dalend als f (x 1 ) f (x 2 ) strikt dalend als f (x 1 ) > f (x 2 ) voor alle x 1, x 2 I met x 1 < x 2. 1 september

12 Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x 2 A Een functie f : A B heet op of surjectief als B het bereik van f is. Dat wil zeggen: als y B dan is er minstens één x A zodat f (x) = y. Een functie die zowel injectief als surjectief is heet bijectief. 1 september

13 Horizontale lijntest Een functie is injectief als als elke horizontale lijn haar grafiek ten hoogste één keer snijdt. Als f : A B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B A met de eigenschap dat f (x) = y g(y) = x. Notatie De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f 1. Dus f (x) = y f 1 (y) = x. 1 september

14 f y = x De grafiek van f 1 De grafiek van f 1 wordt verkregen uit de grafiek van f door deze te spiegelen in de lijn y = x. O f 1 1 september

15 f : R (0, ) wordt gegeven door f (x) = a x. Hierbij is a > 0. f (x) = a x Notatie f 1 wordt genoteerd als log a. y = x Is a = e dan wordt log a meestal genoteerd als ln. O f 1 En in het bijzonder: Er geldt: y = a x x = log a y en dus ln e x = x voor x R en e ln x = x voor x > 0. log a a x = x voor x R en a log a x = x voor x > 0. 1 september

16 Eigenschappen van logaritmische functies Laat a R + en laat r R. log a (x y) = log a (x) + log a (y) voor alle x, y R +. ( ) x log a = log y a (x) log a (y) voor alle x, y R +, log a (x r ) = r log a (x) voor alle x R +, 1 september

17 En dus ook: ln(x y) = ln(x) + ln(y) voor alle x, y R +, ( ) x ln = ln(x) ln(y) voor alle x, y R +, y ln(x r ) = r ln(x) voor alle x R +, log a (x) = ln x ln a voor alle x R+. 1 september

18 y = x f f 1 De inverse van de sinus f (x) = sin(x) voor π 2 x π 2 f 1 wordt genoteerd als arcsin dus f 1 (x) = arcsin x voor 1 x 1. 1 september

19 f 1 y = x De inverse van de cosinus f (x) = cos(x) voor 0 x π f 1 wordt genoteerd als arccos dus f 1 (x) = arccos x voor 1 x 1. f 1 september

20 y = x De inverse van de tangens f 1 f (x) = tan(x) voor π 2 < x < π 2 f 1 wordt genoteerd als arctan dus f 1 (x) = arctan x voor x R. f 1 september