Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 november 2018

Transcriptie

1 Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH, 12 november 2018

2 Inleiding van Mourik Broekmanweg 6, kamer 3.W.700 tel : (015 27) I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn brightspace : http: //brightspace.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak 12 november

3 Studiemateriaal Boeken Titel : Elementary Differential Equations and : Boundary Value Problems : International Student Edition (10-th Ed.) Auteurs : William E. Boyce en Richard C. DiPrima ISBN-13 : Titel : idem : Global Edition (11-th Ed.) Auteurs : William E. Boyce, Richard C. DiPrima Douglas B. Meade ISBN-13 : november

4 Waarom? Fysische en chemische processen (veranderingen) worden vaak beschreven door: Gewone (stelsels) differentiaalvergelijkingen de stroming van lading in elektrische circuits de toe-en afname van populaties massa-veersystemen Partiële differentiaalvergelijkingen vloeistofstromingen de verspreiding van warmte in een voorwerp de verspreiding en detectie van geluidsgolven Zo n (stelsel) differentiaalvergelijking(-en) heet een wiskundig model. 12 november

5 Wat is een differentiaalvergelijking? Een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking in een onafhankelijke variabele (meestal t of x) en een afhankelijke variabele (meestal u of y) en een aantal van diens afgeleiden. Een partiële differentiaalvergelijking is een vergelijking in meerdere onafhankelijke variabelen (meestal t en x) en een afhankelijke variabele (meestal u of y) en een aantal van diens partiële afgeleiden. 12 november

6 Hoe stel je een wiskundig model op? Bepaal wat de onafhankelijke en afhankelijke variabelen zijn en ken daar letters aan toe. Kies de eenheden waarin de voorkomende grootheden worden gemeten. Bepaal het basisprincipe wat ten grondslag ligt aan het probleem dat wordt onderzocht. Dit kan een fysische wet zijn of een aanname op basis van experimenten en waarnemingen. Stel een (stelsel) differentiaalvergelijking(-en) op. 12 november

7 Controleer of elke term wordt uitgedrukt in dezelfde eenheden. Na het opstellen van het model kan de differentiaalvergelijking of het stelsel exact of numeriek worden opgelost. Tenslotte kan de vraag worden gesteld wat de relatie is tussen de oplossing en de waarnemingen. Is deze relatie onvoldoende aanwezig dan kan dit aanleiding zijn om het model aan te passen. 12 november

8 Classificatie van differentiaalvergelijkingen Gewone differentiaalvergelijkingen en partiële differentiaalvergelijkingen Een enkele en een stelsel differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen 12 november

9 Gewone differentiaalvergelijkingen

10 Eerste orde differentiaalvergelijkingen Een eerste orde differentiaalvergelijking kan dus geschreven worden als: dy dt = f (t, y) (3) Zonder de oplossingen hiervan te kennen kan hierover toch informatie worden verkregen door een zogenaamd richtingsveld te tekenen. 12 november

11 Als φ een oplossing is van (3) op (a, b) dan heeft de grafiek van φ heeft in het punt (t, y) = (t, φ(t)) (a < t < b) een helling f (t, y) = f (t, φ(t)). Definitie Tekenen we in elk punt (t, y) waarvoor f (t, y) bestaat een lijnsegmentje met helling f (t, y) dan ontstaat zo een richtingsveld bij de differentiaalvergelijking (3). Opmerking Twee verschillende oplossingen van de differentiaalvergelijking (3) snijden niet. 12 november

12 We beschouwen voor a 0 de differentiaalvergelijking: dy dt = ay b (4) y = b/a + c e at (c R) is de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking. De meetkundige representatie van een oplossing heet een integraalkromme. 12 november

13 Voegen we aan (4) de beginvoorwaarde y(0) = y 0 (5) toe dan zijn (4) en (5) samen een beginwaardeprobleem. Door het opleggen van een beginvoorwaarde wordt de constante c in (4) vastgelegd, c = y 0 b a. 12 november