Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij"

Transcriptie

1 Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i

2 ii

3 Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten is daardoor de aansluiting tussen vwo en universiteit verbeterd. Echter, niet voor alle studies is dit het geval. Bij de technische studies is gebleken dat een deel van de instromende studenten deficiënties heeft. Dit geldt zowel voor studenten met het profiel "atuur en Techniek" als voor studenten met het profiel "atuur en Gezondheid". Eén van de deficiënties betreft de algebraïsche vaardigheden oftewel het manipuleren met formules. Het efficiënt omgaan met én het inzicht krijgen in formules wordt op het vwo nauwelijks meer geoefend. Dit hangt samen met het aantal beschikbare uren en met het invoeren van de formulekaart en de grafische rekenmachine. Doordat veel aankomende studenten deze vaardigheden ontberen, besteden zij in het eerste jaar op de universiteit vaak veel te veel tijd aan het maken van vraagstukken of blijven daar zelfs in steken. Het is veel beter om je op de essentie van een vraagstuk te concentreren dan om teveel tijd aan rekenwerk te besteden. Voor de eerstejaars met genoemde deficiënties is deze syllabus Rekenvaardigheden gemaakt. Deze syllabus is bedoeld voor het aanleren van de algebraïsche vaardigheden die benodigd zijn voor een technische studie op universitair niveau. Aan de opgaven uit de eerste 0 paragrafen kan men zien wat men aan rekenvaardigheden van eerstejaars verwacht. De paragrafen t/m 4 bevatten opgaven over onderwerpen die niet tot de standaard VWO-stof behoren, maar bijzonder nuttig zijn voor een technische studie. De wiskundestof wordt steeds kort herhaald, waarna er een groot aantal opgaven volgt. Door het (met de hand!) maken hiervan maakt de student zich de stof eigen en verkrijgt hij/zij inzicht in formules en rekenregels. Gebrek aan rekenvaardigheden en formulekennis los je niet binnen een paar maanden op. Extra training in het eerste tri- of semester zal waarschijnlijk niet genoeg zijn. In dat geval moet je zelf aandacht blijven besteden aan rekenvaardigheden en formulekennis. Deze syllabus is geschikt voor zelfwerkzaamheid: de antwoorden op de opgaven staan achterin. iii

4 Voorwoord iv

5 Inhoudsopgave Voorwoord Inhoudsopgave iii v Factoren en veeltermen Machten. Opgaven Herleiden 5. Opgaven Opgaven Opgaven Rationale breuken 9 4. Opgaven Goniometrie 5. Opgaven Goniometrische formules 5 6. Opgaven Opgaven Opgaven Differentiëren 9 7. Differentiëren van goniometrische functies: Kettingregel Opgaven v

6 Inhoudsopgave 8 Primitiveren 8. Opgaven Oefening grafieken tekenen 5 0 vergelijkingen en ongelijkheden 7 0. Polynoomvergelijkingen Polynoomongelijkheden Breukvergelijkingen Breukongelijkheden Exponentiële vergelijkingen Exponentiële ongelijkheden Logaritmische vergelijkingen Logaritmische ongelijkheden Goniometrische vergelijkingen Wortelvergelijkingen Wortelongelijkheden oemer wortelvrij maken (extra stof) 9. Opgaven. Maak telkens de noemer wortelvrij Breuksplitsen A (extra stof) 4. Opgaven. Splits onderstaande uitdrukking in breuken Breuksplisen B (extra stof) 4. Opgaven Cyclometrische functies (extra stof) Opgaven Opgaven Antwoorden 47 vi

7 Hoofdstuk Factoren en veeltermen We onderscheiden factoren en termen. Een factor is een onderdeel van een vermenigvuldiging; een term is een onderdeel van een som (of verschil). Bijvoorbeeld, a is een eenterm die bestaat uit de factoren en a; a is een tweeterm die bestaat uit de termen en a. Voorbeelden: a b c bestaat uit twee termen, namelijk a b en c. a b bestaat uit drie factoren:, a en b. c bestaat uit twee factoren: en 4c. a(b cd) bestaat uit drie factoren:, a en (b cd). b cd is een tweeterm waarvan de eerste term bestaat uit de factoren en b; de tweede term uit, c en d. Waarschuwing Bij de vraag: "Ontbind a 6ab in factoren"zou je kunnen antwoorden: a 6ab (a ab). Echter, met ontbind in factoren wordt altijd bedoeld Ontbind in zoveel mogelijk factoren.". Daarom: a 6ab a( b).

8 . Factoren en veeltermen

9 Hoofdstuk Machten De volgende regels gelden onder de voorwaarden a > 0 en b > 0: a p a q a p+q, a p a a p q, (a p ) q a pq q (ab) p a p b p, a n a n p, a q a q p Een voorbeeld waarbij van het bovenstaande gebruik wordt gemaakt: (a b) a 4 b a b a 4 b a 0 5 b 6 De uitdrukking is teruggebracht tot een product van getallen en machten van de vorm C a n b m c o.... Opgaven Herleid onderstaande uitdrukkingen tot een vorm C a n b m c o.... Serie A. (p 4 q ) (p q 5 ). ( a 5 b ) 4 (a b) 7. (a b ) a 7 b 8. (a b) 4 (6a b ). ( cd 4 ) (c d) 4. ( a b) 9. a b a b ab a p q 4p q 0. (a) 4 a

10 . Machten 6. p q 4 p q. (p q 4 ) (p q ) 4.. ( a b ) 4 ( a 4 b) ( c d 4 ) 4 (c d) 4. ( ab b) 5 5. ab a b 7. (a b ) a b 8. (a b) (6a b ) a 5 b a b (a) a 4

11 Hoofdstuk Herleiden Er geldt: (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd Speciale gevallen van deze regel zijn de zogenaamde merkwaardige producten : (a + b) a + ab + b, (a b) a ab + b en (a b)(a + b) a + b Voorbeeld: (a b) 9a a b + 4b Verder moeten we ook wortels kunnen herleiden: Voorbeelden: ; Opgaven Herleid onderstaande uitdrukkingen met behulp van bovenstaande regels. Zorg ervoor dat er geen wortels in de noemer blijven staan. Herleid wortels zoveel mogelijk. Serie A 0. (a )(a + )(9a + ). (a b). ( a + a). ( 6 6 ) 4. (m n)(m + n) 5. (6 )( + ) 6. ( a b + a4 b) 7. ( a + )(a + ) 8. (a b + )(a + b 5) 9. ( ) 5

12 . Herleiden. ( a + b). (a a). ( 5 ) 4. (m n)(m + n) 5. ( 5)( 5 + ) 6. ( a 4 b + 4 a b) 7. ( a + 0)(a + 0) 8. (a b + )(a + b 4) 9. ( ) 0. (a )(a + )(4a + ). Opgaven Ontbind in zoveel mogelijk factoren. Voorbeeld : x x 8x x(x x 8) x(x + 4)(x 7). Voorbeeld : x 4 6 (x + 4)(x 4) (x + 4)(x + )(x ). In deze voorbeelden treden steeds gehele getallen op. Echter, wees erop bedacht dat dit lang niet altijd het geval is. Bijvoorbeeld: (x ) ( x )( x + ). Serie A.. 6x 4 8. x 5 x 4 6x. x 6 4. x 4 + x 6 5. x 9x x 5x 4 7. x(x ) (x ) 8. x(x ) + (x ) 9. (x ) (x + ) 0. x 6 6x x 4 6. x 4 5x + x. x 6 4. x 4 x 0 5. x x x 7x 8 7. x(x + ) + (x + ) 8. x(x ) (x ) 9. (5x ) (x + 5) 0. x 0 + 8x Opgaven De sommen die nu volgen hebben ook betrekking op ontbinden in factoren. Voorbeeld : 6x 8x x + 6x (x ) (x ) (6x6 0(x ) Voorbeeld : x + x 0 x 4x + 5x 0 x(x ) + 5(x ) (x 5)(x ) 6

13 . Opgaven Serie A.. x 0x +. x + 7x + 6. x 4 x x + 7x x 4 x 6. x 4x x x 6x + x 8. x + 5x 4x 0 9. x + 6x + x 4 0. x 7 x 4 5x. x 4x + 5. x + 9x + 9. x 4 x + 4. x + x + 5. x 4 + x 4 6. x 8x x x x + x 8 8. x + 5x 4x 0 9. x + 4x + x 6 0. x 8 4x 5 x 7

14 . Herleiden 8

15 Hoofdstuk 4 Rationale breuken 4. Opgaven Bij de volgende serie opgaven dien je de uitkomst te schrijven als één breuk. We noemen deze bewerking onder één noemer brengen. Voorbeeld: x x x (x )(x ) (x ) (x )(x ) x (x ) (x )(x ) (x )(x ) Serie A... x + x x+. x x x+. x + x+. x + x x + x+ x 6x x+ x+ 5 x+ x x x 4 7. x x + x x+ x (x+) x + + (x ) x+ 0. x + x x + x x+ x + 6x x+ 7 x+ 5 x + x x+ x+6 7. x x x x+ x + x (x ) x + + (x ) x+ 0. x + x 9

16 4. Rationale breuken 0

17 O Hoofdstuk 5 Goniometrie In eerste instantie voert men gewoonlijk de sinus, cosinus als verhoudingen van zijden in een rechthoekige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen de 0 en 90 ligt. Vervolgens voert men de tangens in als tangens(x) sinus(x) / cosinus(x). Een natuurlijke uitbreiding voor willekeurige hoeken krijgen we met behulp van de eenheidscirkel. We definiëren: Een punt P op de eenheidscirkel heeft x-coördinaat cos(α) en y-coördinaat sin(α), dus P (cos(α), sin(α)), of in iets andere notatie P (cos α, sin α).? I I E Er blijft dan gelden: tan α sin α cos α en sin α + cos α. De hoek α wordt meestal uitgedrukt in radialen. Bij een hoek van één radiaal hoort een cirkelboog met een lengte die gelijk is aan de straal van de cirkel. Dat is elegant, omdat daarmee de lengte van een cirkelboog gelijk is aan het product van straal en hoek (in radialen). Daaruit volgt bijvoorbeeld dat π rad overeenkomt met 60. In deze cursus worden hoeken altijd in radialen uitgedrukt. Het verdient aanbeveling onderstaande tabel van buiten te kennen.

18 O 5. Goniometrie x 0 sin x 0 cos x tan x 0 6 π 4 π π π 0 n.g. Voor x π is tan x niet gedefinieerd (n.g.). Bij hoeken groter dan π rad horen goniometrische verhoudingen die rechtstreeks af te leiden zijn uit de definities. Voorbeeld: De coördinaten van Q welke horen bij een hoek van 7 π rad kun je afleiden uit de 6 coördinaten van P die horen bij een hoek van 6 π rad. % $ F $ F Daarom sin 7 6 π sin 6 π cos 7 6 π cos 6 π tan 7 6 π sin 7 6 π cos 7 6 π We noemen dit herleiden naar een hoek in het eerste kwadrant. 5. Opgaven Herleid tot hoeken in het eerste kwadrant. Je kunt daarbij bovenstaande tabel gebruiken.

19 O 5. Opgaven Serie A. sin( 4 π). tan( 4 ). cos( 5 6 π) 4. sin( π) 5. tan( 85 4 π) 6. sin( π) 7. cos( 7 4 π) 8. tan( 5 6 π) 9. cos( π) 0. sin( 7 4 π). cos( 4 π). sin( 4 ). tan( 5 6 π) 4. cos( π) 5. sin( 85 4 π) 6. tan( π) 7. sin( 7 4 π) 8. cos( 5 6 π) 9. tan( π) 0. sin( 4 π) Een ander type vraag gaat als volgt: Gegeven: sin x. Hoe groot is x, indien we de afspraak maken dat 0 x < π?! Gebruik de eenheidscirkel: Per definitie is sin x de y-coördinaat van een punt op de eenheidscirkel. Omdat negatief is, weten we dat de y-coördinaat negatief is, De y-coördinaat is negatief in het derde of vierde kwadrant, daar moeten we de hoek x dus zoeken.

20 5. Goniometrie Bekend is: sin π. Met behulp van de tekening en bovenstaande tabel is vlot in te zien dat bij sin x hoeken horen van π + π en π π. Het antwoord luidt dus: x 4 π x 5 π. 4

21 Hoofdstuk 6 Goniometrische formules Met behulp van de definitie via de eenheidscirkel zijn de volgende uitdrukkingen eenvoudig in te zien: sin( x) sin x, cos( x) cos x, tan( x) tan x sin x cos( π x), cos x sin( π x) De volgende formules worden niet afgeleid of bewezen. ze hangen sterk met elkaar samen. Bijvoorbeeld, indien je er één als uitgangspunt neemt, kun je met behulp van bovenstaande formules de andere uitdrukkingen afleiden: sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y sin(x y) sin x cos y cos x sin y cos(x + y) cos x cos y sin x sin y cos(x y) cos x cos y + sin x sin y tan x+tan y tan(x + y) tan(x y) tan x tan y tan x tan y +tan x tan y 6. Opgaven. Leid uit de formule voor sin(x + y) de formules voor sin(x y), cos(x + y) en cos(x y) af.. Leid zelf af: tan(x + y) tan x+tan y tan x tan y en tan(x y) tan x tan y +tan x tan y. Leid uit bovenstaande uitdrukkingen af: sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x sin x tan x tan x tan x 4. Voor een hoek x [0, π] geldt: cos x. Bereken cos(x 6 π). 5. Voor een hoek x [ π, π] geldt: cos x. Bereken sin x. 6. Voor een hoek x [0, π] geldt: cos x. Bereken tan x. 4 5

22 6. Goniometrische formules 6. Opgaven Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische formules: Serie A. Ontbind in factoren: sin(x) + sin(x). Ontbind in factoren: sin(x + y) + sin(x y). Ontbind in factoren: cos x + sin x 4. Ontbind in factoren: +sin x cos x 5. Ontbind in factoren: cos x 6. Ontbind in factoren: sin x 5 sin x Ontbind in factoren: sin x +5 cos x Bereken exact een uitkomst voor cos 8 π 9. Vereenvoudig cos x sin x cos x +sin x 0. f (x) cos x sin x is te schrijven als f (x) a + b cos(cx). Bepaal a, b en c.. Ontbind in factoren: sin x sin x. Ontbind in factoren: cos x cos x. Ontbind in factoren: sin x sin x 4. Ontbind in factoren: cos x Ontbind in factoren: sin x sin x 6 6. Ontbind in factoren: cos x + sin x +9 cos x 7. Schrijf zonder wortel: +cos x 8. Bereken exact een uitkomst voor sin 8 π 9. Vereenvoudig cos 4 x cos x sin x + sin 4 x 0. f (x) cos x sin x is te schrijven als f (x) a + b cos(cx). Bepaal a, b en c. 6. Opgaven Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische formules: Serie A 8. Toon aan dat tan x tan x+ sin x cos x. Toon aan dat cos x + cos x. Toon aan dat cos 4 x sin 4 x cos x. Toon aan dat cos 4 x+ sin x+sin 4 x 9. Toon aan dat tan( +tan x π + x) 4 tan x 4. Toon aan dat cos x( + tan x) 5. Toon aan dat tan x 6. Toon aan dat sin x +cos x tan x+tan y tan x tan y sin(x+y) sin(x y) 0. toon aan dat cos x cos x 7. Toon aan dat tan x sin x tan x. sin x 6

23 6. Opgaven. Toon aan dat sin x cos x. Toon aan dat cos 4 x( tan 4 x) cos x. Toon aan dat 4 sin x 4 sin 4 x sin x 4. Toon aan dat cos 4 x( + tan 4 x) sin x cos x 5. Toon aan dat tan x cos x sin x 6. Toon aan dat +tan x tan y tan x tan y cos(x y) cos(x+y) 7. Toon aan dat sin x tan x tan x cos x 8. Toon aan dat sin x +cos x cos x sin x 9. Toon aan dat tan( 4 π + x)+tan( 4 π x) cos x sin x 0. toon aan dat cos x sin x cos x+sin x + cos x+sin x cos x sin x cos x 7

24 6. Goniometrische formules 8

25 Hoofdstuk 7 Differentiëren Bij het differentiëren maken we gebruik van een aantal basisregels: y ax n y nax n y(x) u(x)v(x) y u v + v u (productregel) y(x) t(x) n(x) y nt tn n (quotientregel) 7. Differentiëren van goniometrische functies: d d sin x cos x, dx 7. Kettingregel d cos x sin x, dx dx tan x + tan x Als de functies y(x) en u(x) gegeven zijn dan geldt voor de samengestelde functie y(u(x)): dy dx dy du du dx Voorbeeld: Bereken de afgeleide van de functie y 6(x ). Definieer: u x. We moeten nu eerst y 6u differentiëren naar u en het resultaat vermenigvuldigen met de afgeleide van u x naar x. Er geldt: dy du dy u en 6x. Dus du dx dx dy du du dx u 6x (x ) 6x Kortom: y 7x(x ) Voorbeeld: y (x 5) 5 y 5(x x) 4 (x ). Handig om van buiten te kennen y u n y nu n u y u y u u 9

26 7. Differentiëren y u y u u Voorbeelden y 4(x ) y 8(x ) 6x 48x(x ) y 6x y 6x 6 6x y x y (x ) 6x 8x (x ) y ln( x) y x ( x) x y x 5 y x 5 ln x x ln x 5 y ( sin x ) y ( sin x ) 4 sin x cos x sin x cos x ( sin x ) 7. Opgaven Bereken de afgeleiden van: Serie A 5. y sin x cos x 0. y ( x) 5. y x x. y 5 x 4. y (x ) 5. y 6 x 6. y e x 7. y x ln(x + 4) 8. y ln( x x+ ) 9. y x x 0. y x x. y ln x ln x. y (x x) e x. y tan x 4. y sin x cos x sin x+cos x

27 7. Opgaven. y x ln x. y ln x x. y sin x 4. y (x +) 5. y x 7x 8 x 6. y sin (x 6 π) 7. y ln x sin x 8. y x x + 9. y ln( x ) 0. y e sin x. y ex + e x. y ln 4 x. y sin x cos x 4. y sin x cos x 5. y cos x cos x

28 7. Differentiëren

29 Hoofdstuk 8 Primitiveren In de integraalrekening neemt primitiveren een essentiële plaats in. Het is de inverse bewerking van differentiëren. Kennis van differentiëren is daarom vereist. Basisformules (met c een onbepaalde integratieconstante): ax n dx a n + x n+ + c; e ax dx a eax + c; (ax + b) n dx a ax + b dx ln ax + b + c a d dx tan x + c (want cos x dx tan x cos x ) cos(ax)dx a sin(ax) + c n + (ax + b)n+ + c Controleer altijd of je goed geprimitiveerd hebt door de uitkomst te differentiëren. 8. Opgaven Primitiveer de volgende functies. Serie A 7. x + x. (x ). (5 x) 8. sin x + e x. x 4 9. tan x 4. (x+) 4 5. sin (x 6 π) 0. x 6. x+

30 8. Primitiveren 6. x 5. (x + ). (8 x). x 4. (x ) 5 5. cos (x π) 7. x x 8. cos x + e x 9. tan x + 0. x 4

31 Hoofdstuk 9 Oefening grafieken tekenen De bedoeling van deze oefening is dat je bij een aantal functies de grafiek schetst zonder gebruik te maken van elektronische hulpmiddelen. Afstanden tussen eenheden op de x-as hoeven niet noodzakelijk gelijk te zijn aan die tussen de eenheden op de y-as. Kies het domein telkens zó dat de eigenschappen van de grafiek duidelijk te zien zijn, zoals snijpunten met de assen, asymptoten, perioden, enz. zet bij snijpunten en asymptoten ook getallen indien deze vlot uit het hoofd te berekenen zijn. Voorbeeld: f (x) (x ) : We gebruiken hier de notatie f (x) voor een functie van x. Serie A. f (x) (x + ) 4. f (x) (x ) + 4. f (x) x + 6x f (x) 6(x + ) 5. f (x) x + 8 5

32 9. Oefening grafieken tekenen. f (x) x. f (x) 4 x Serie C. f (x) x. f (x) ( )x +. f (x) x + 4. f (x) x 5. f (x) e x Serie E. f (x) x +. f (x) 4 x. f (x) + x f (x) x 5. f (x) 6 x. f (x) + x 4. f (x) x 5. f (x) 4 ( x) Serie D. f (x) log x. f (x) log(x + ). f (x) log x 4. f (x) log x 5. f (x) ln(x e) Serie F. f (x) sin x. f (x) cos π x. f (x) + 8 sin π (x ) 6 4. f (x) cos (x π) 5. f (x) sin π(x + 5) 0 6

33 Hoofdstuk 0 vergelijkingen en ongelijkheden 0. Polynoomvergelijkingen Polynoomvergelijkingen kunnen algemeen worden geschreven als: a n x n + a n x n + a n x n , met n een geheel getal. Oplossingen kunnen soms gevonden worden door in factoren te ontbinden. Voorbeeld : Los op: x 5 4x 7x x (x 4) 7(x 4) 0 (x 7)(x 4) 0 (x 7)(x )(x + ) 0 x x x Voorbeeld : Los op: (x 4)(x + 4) 5x(x + 4) (x 4)(x + 4) 5x(x + 4) 0 (x 4 5x)(x + 4) 0 (x + )(x 7)(x 4) 0 x x 7 x 4 Los de volgende vergelijkingen op: Serie A 8. x x x x + 7x 4 0. x x. x 4 + 6x 7x 9. (x 4)(x + ) (x )(4 x ) 4. x 4 4 x 5. x 4 9x 0x 6. x x (x )(x + 0) 0. x 6 4x 4 4x 6 7. (x ) x 7

34 0. vergelijkingen en ongelijkheden. x + 7x 6 0. x 4 x + 4. x 4 4x 0x 4. x 4 x 5. x 4 x 8x 6. x + x (x + )(x + ) 7. x + 4x x x (x )(x + ) 9. (x 4)(x ) (x + )(x ) 0. (x ) (x + ) (x + ) ) 0. Polynoomongelijkheden Een handig hulpmiddel bij ongelijkheden is een tekenschema. Tekenschema s geven op een getallenrechte met plussen en minnen aan waar een uitdrukking positief of negatief is. daar waar de uitdrukking nul is zetten we één of meerdere nullen op de getallenrechte. Bij elke nul op de getallenrechte is er sprake van tekenverandering. Twee voorbeelden van tekenschema s: f (x) (x + )(x )(x ) heeft als tekenschema: Kijk bij één bepaalde gemakkelijke waarde van x (anders dan een nulpunt)naar de uitkomst f (x). Als de uitkomst positief of negatief is geldt dat overal tussen de naburige nulpunten. Bij een 0 op de getallenrechte verandert het teken. g(x) (x + ) (x )(x ) heeft als tekenschema: Bij op de getallenrechte staat keer een 0 omdat je daar een oplossing krijgt van (x + ) 0 oftewel (x + )(x + )(x + ) 0. Zo n nulpunt noemen we drievoudig. Dat betekent ook dat er drie keer tekenwisseling plaats vindt, want bij elke 0 verandert het teken.als g(x) dus positief is voor x < zal g(x) negatief zijn als x >. Bij op de getallenrechte moet keer een 0 komen, want (x ) is te schrijven als (x )(x ). Er vindt daarom keer tekenwisseling plaats wat in feite betekent dat er geen tekenwisseling is bij de. Kortom, een n-voudig nulpunt geeft geen tekenwisseling als n even is en wel een tekenwisseling als n oneven is. Voorbeeld : Los op: x + 8x 6x. Herleid eerst op: x 6x + 8x 0. Ontbind vervolgens in factoren: x(x 6x 8) 0 x(x )(x 4) 0 Tekenschema:

35 0. Breukvergelijkingen De oplossing is dus: x 0 x 4 of in intervalnotatie: (, 0] [, 4] Voorbeeld : Los op: x(x + ) (x ) (x + ) (x ) x(x + ) (x ) (x + ) (x ) 0 (x )(x + ) (x ) 0 Tekenschema: De oplossing is: x x of in intervalnotatie: (, ] [, ) Los de volgende ongelijkheden op: Serie A. x 5. (x ). (x ) < x + x 5. (x + ) (x + ) > (x ) 6. 5 < x + x 7. (x 4)(x 4) 0 8. (x + ) (x + ) > 5(x ) 9. (x 7x + )(x + x 4) 0 0. x 6 9x x 6. 9x 6. (x ) < x + x 5. (x ) (x + ) > 5(x ) 6. x 9 x 7. (x 9)(x ) 0 8. x (x 5) (x + )(x 5) > 0 9. (x )(x ) (x ) 0 0. x x x 4 4x 0. Breukvergelijkingen Bij breukvergelijkingen zijn kruiselings vermenigvuldigen en onder één noemer brengen belangrijke technieken. Voorbeeld : x+8 x 6 x+5 5 Kruiselings vermenigvuldigen geeft: (x 6)(x + 5) 5(x + 8) x + 9x 0 0x + 40 x(x 5) + 4(x 5) 0 (x + 4)(x 5) 0 x 4 x 5 6 Voorbeeld : x + 5 x+ 6(x+)+5(x ) (x )(x+) 9

36 0. vergelijkingen en ongelijkheden x+ x x + x x x 4 0 x x + x 4 0 x(x 4) + (x 4) 0 (x 4)(x + ) 0 x x 4 Los de volgende vergelijkingen op. Serie A. x+ x+. x +x x x x x x+ x x x x x 4x x 4 x x x + x 4 x+ x x+ x 7 x 5 + x x 9 x+8 (x+) x + x 4 + x x x +5x x +x+ x +6x+ x + x +6x x + 4 x + 4 x x x 5 x x x 4 x x+ 7 x 4 x +4 x x x + x x+ x + x x 0.4 Breukongelijkheden Bij breuken niet alleen bij een nulpunt van de teller, maar ook bij een nulpunt van de noemer kan het teken omwisselen. Bij tekenschema s worden daarom zowel de nulpunten van de teller als de nulpunten van de noemer aangegeven; deze laatste met een *. Overigens, in zo n nulpunt van de noemer bestaat de functie dus niet. Voorbeeld: x 5 x + (x + ) (x )(x + ) 5(x ) (x )(x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) 0 x 5x + 4 (x )(x + ) 0 0

37 0.4 Breukongelijkheden (x + 7)(x ) (x )(x + ) 0 Tekenschema: ++0-*++*-0++, dus x 7 < x < x Los de volgende ongelijkheden met breuken op. Serie A x x 5 x + 4x + 0 x x x + x x x + x x + > x x x 5 x x x x 8 < 0 0x x + x > x x + x + x x x x x + 5. x x x x x x x + (x ) (x ) < x x 5 x 4x + > 0 x + x > x 8 x x + 4 5x + x + x x + 4 x x 4x + x x > 5 6

38 0. vergelijkingen en ongelijkheden x x + x + x x x 0. 4 x + x 4 < Exponentiële vergelijkingen Bij onderstaande opgaven is het de bedoeling dat je herleidt tot een vergelijking met machten oftewel een uitdrukking van de vorm a uitdrukkingmetx a getal. Je mag dan de machten gelijk stellen, waarna je de resulterende vergelijking nog dient op te lossen. Gebruik de regels bij machten, bijvoorbeeld 4 x ( ) x ( x ) x. Voorbeeld : x+ x 80 x x 80 8 x x 80 5 x 80 x 6 4 x 4 Voorbeeld : x + x 6 x + 8 x 6. Stel x a, dan a + 8 a 6 a 6a (a )(a 4) 0 a a 4 x x 4 x x Los de volgende exponentiële vergelijkingen op. Serie A 9. x + x 6. x+ + x+ 0. x+ ( )x. x x 4. 4 x x x x 0. e x e x x+ 8 x x + 64 x+4 8. x x+ x+

39 0.6 Exponentiële ongelijkheden. x+ 6 + x+. 9 x. x+ + x x+ x 7 5. x 5 4 x 6. 4 x+ x x+ 7. log x 4 8. ( ) x ( 4 )x ( )x (0.4) x 50 (0.8) x 0.6 Exponentiële ongelijkheden Bij exponentiële ongelijkheden moet je met grondtallen kleiner dan oppassen. Bijvoorbeeld, x > 4 x > 4 maar ( )x > ( )4 x < 4. Je had deze laatste conclusie ook als volgt kunnen trekken: ( ) x > ( ) 4 x > 4 x > 4 x < 4. Voorbeeld : 5 x + 5 x > x x 5 > 6 5 Vermenigvuldig beide zijden met 5 : 5 5 x + 5 x > x > x > 5 Voorbeeld : x + ( )x x + ( ) x x + x x + x x + (7/ x ). Stel x a en bedenk dat dan a > 0! a + (7/a) a + 7 a. Dat mag omdat a > 0. a a (a )(a 9) 0 a 9 Dus x x Los de volgende exponentiële ongelijkheden op. Serie A.. ( )x < 8. + x x+. ( x 4)( x 8) > x ( 4 )x 5. x + x 6. (6 5 x )/5 x < 7. 4 x > 4 x 8. x + 8 x x 4 x+ > 0 0. x 4 x + > 0. ( )x 0. 9 x + x+ > 8. ( x 8)/( x 4) x x + 8 x 9 6. x + x < 7. 5 x 5 x < ( )x ( )x x 5 x < 5 0. ( )x 4 ( )x 5 < 0

40 0. vergelijkingen en ongelijkheden 0.7 Logaritmische vergelijkingen De definitie van logaritme is: a c b a log b c. Bekende regels zijn: a log x bestaat alleen als x > 0, a log 0 log a + log b log ab log a log b log(a/b) log a r r log a Voorbeeld : log(x + ) + log(x ) log(x + ) log 4 + log(x ) log 4(x ) x + 8x 4 6 7x x 6 7 Voorbeeld : log x log x log x log x 0. Stel log x a a a 0 (a + )(a ) 0 a a log x log x x 0 x 000 Los de volgende vergelijkingen op. Serie A. x log 6 8. log(x ) 9. ln(x 7x + 7) 0 4. log x 5 log(x + 4) 5. log(x ) + log(x + ) 5 6. log(x 0x) 7. log(7 x) log(x ) 8. log(x + ) log 5 9. log x + 6 log x 5 0. ln x + ln x 0. x log log(8 x). ln(x + e) ln x 4. log(5 x) + log x 5. + log(x ) 6. log x + log(x + ) 7. log(x + ) + log(/(x )) 5 8. log(x + ) log(x + ) 9. log x log x log(x 8) log(/( x)) 0.8 Logaritmische ongelijkheden Een belangrijke stap bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden is het bepalen van het domein. Oplossingen dienen uiteraard binnen het domein te liggen. Ook hier opletten met bijvoorbeeld: log x < log 4 x > 4! et zoals bij machten is er sprake van het omdraaien van het ongelijkheidsteken als het grondtal kleiner dan is. 4

41 0.9 Goniometrische vergelijkingen Voorbeeld : log x + log(x + ). Hier geldt: x > 0 x >, dus D (0, ). log x log 8 + log(x + ) log x log (x + ) 8 x 8 (x + ) 8x x + 7x x 7 Rekening houdend met het domein D is de oplossing: (0, 7 ] Voorbeeld : log(x ) < log x. Hier moet gelden: x > x > 0 D (, ) log(x ) + log x < log 7 log x(x ) < log 7 x x 7 < 0 (x 9)(x + ) < 0 < x < 9 Rekening houdend met het domein D is de oplossing: (, 9 ) Los de volgende logaritmische ongelijkheden op. Serie A. 5 log(x + ). 4 log(x x) >. log(x 4x 5) 4 4. ( ln x)/( + ln x) 0 5. log x log(x 6) 6. log x > 7. ln(x e) > 8. x ln x ln x > 0 9. log(x ) log(x + 7) 0. ln x ln( x). log(x x). 4 log(x + 6x). log(x 8x + 7) 4 4. ( ln x)/( + ln x) > 0 5. log(x ) < log x 6. (ln(x ) )/ ln x 0 7. log( x + ) 8. x log(x + 4) + 4 log(x + 4) 0 9. log( x 8) < 0. log(x + )/ log x < 0.9 Goniometrische vergelijkingen Enkele regels: sin x sin a x a + k π x π a + k π cos x cos a x ±a + k π tan x tan a x a + k π Hierbij geldt steeds dat kɛ Z, dus k 0, ±, ±,... Voorbeeld : cos(x 4 π) sin x cos(x 4 π) cos( π x) x 4 π π x + k π x 4 π π + x + k π x 5 4 π + k π x 4 π + k π x 5 π + k π x 4 π + k π Voorbeeld : sin x cos x ( cos x) cos x cos x + cos x 0 Stel cos x a dan a + a 0 (a + )(a ) 0 a a Merk op dat cos x niet is toegestaan, dus cos x x ± π + k π 5

42 0. vergelijkingen en ongelijkheden Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. Kies R als domein. Serie A.. sin x sin x. tan x + tan x 0. sin(x + π 4 ) + sin(x π 4 ) 0 4. cos x + cos x 0 5. cos x + sin x 6. sin x cos x sin x 0 7. tan x tan x 8. sin x tan x 9. cos x sin x 0 0. sin x + sin x. sin x cos x. cos x + tan x 0. cos x sin x 4. (tan x sin x)(tan x + sin x) cos x 5. sin x sin x cos x. cos x cos x. tan x sin x. cos(x π) + sin(x 6 π) 0 4. sin x sin x 0 5. cos x + sin x cos x sin x 6. sin x cos x 7. tan x tan x 8. sin x tan x 9. cos x + cos x sin x 0. sin x + 6 sin x. 6 cos x + sin x 0. sin x cos x. sin x + cos x + sin x cos x 4. sin x tan x sin x 5. sin x + cos x Wortelvergelijkingen Bij vergelijkingen met wortels moeten we steeds bedenken dat de uitdrukking onder het wortelteken niet negatief mag zijn en dat de wortel een niet-negatief getal als uitkomst heeft. Controleer een gevonden oplossing altijd door deze in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: Voorbeeld : x + x 5 x + (x 5) x + 4x 0x + 5 4x x x x + 0 (x 4)(x ) 0 x 4 x Aangezien x een negatieve uitkomst voor een wortel geeft, blijft x 4 als enige oplossing over. Voorbeeld : x + x + 5 x + x + x + x + 5 x + x 4 x 8x + 4x x + 9x x 48x (x 4)(x 44) 0 x 4 x 44. Alleen x 4 is een oplossing. 6

43 0. Wortelongelijkheden Los de volgende vergelijkingen met wortels op. Serie A. 4x + x. x + x 7. x x 8. x x +. x + x. x x x 4 x 8 5. (x + )/( x + ) 6. x x + x + /x 7. x + x x x x p ( 4 p) p 4 p 8 0. Voor welke p raken de grafieken van f (x) x x + en g(x) x + p elkaar? 4. (x + x)/(x x) 5. (x + x)/(x ) 6. 4x + x/(x ) x 7. x / x + x + /x 8. x 8 x x ( + x) + x + x 7 0. Voor welke p raken de grafieken van f (x) 5 x en g(x) p x + elkaar? 0. Wortelongelijkheden Ook hier moet rekening worden gehouden met het domein. Bijvoorbeeld, als x <, dan luidt de oplossing[, 5) omdat x. Voorbeeld : x + x < 0 x + x 0 < 0 met x 0 Los op: x 0 x 9x x + 4x 4x 89x x 64x 5x x(x 6) 5(x 6) 0 (4x 5)(x 6) 0 x 5 4 x 6. Alleen x 5 is mogelijk. 4 De oplossing is: [0, 5 4 ). Voorbeeld : ( + x)/ x 5. Het domein is D (5, ). Dan is de breuk altijd positief. Voorbeeld : Los op: ( + x)/ x 5 + x x x + x 9(x 5) 6 x 8x 54 x 4x 7 9x 6x 6x x 5x x 44x 8x x(x 9) 8(x 9) 0 (6x 8)(x 9) 0 x 8 6 x 9 Alleen x 9 voldoet. Vullen we namelijk in de ongelijkheid bijvoorbeeld x 6 (6 < 9) in, dan krijgen we een uitkomst die groter is dan. Maar als we bijvoorbeeld x 4 invullen, krijgen we een oplossing die groter is dan. 7

44 0. vergelijkingen en ongelijkheden Dat betekent dat we getallen moeten hebben groter dan 9. Oplossing: (9, ). Los de volgende ongelijkheden met wortels op. Serie A. x + 7 x 4. x 5 x + 6 < 0. 5 x/ 5 + x > 4. x x + 5. (x ) > x 6 > x 7. x + x + 5 x + 8. (x ) + x 6x + 9. (x + x)/(x x) < 0. x + < x 5. x < x. x x < 5. x + 4/ x 4 4. x x (x ) > 6. x + < x 7. (x ) x / x + 4 > 8. x x / x > 0. x < x 9 8

45 Hoofdstuk oemer wortelvrij maken (extra stof) Bij onderstaande opgaven dien je de noemer van de breuk wortelvrij te maken. Gebruik hiervoor bijvoorbeeld de regel: (a b)(a + b) a b. Voorbeeld: + ( )( + ) + ( ) Opgaven. Maak telkens de noemer wortelvrij Serie A ( + )

46 . oemer wortelvrij maken (extra stof) ( )

47 Hoofdstuk Breuksplitsen A (extra stof) Bij de volgende serie breuken is de noemer een product van factoren of kan er een product van factoren van worden gemaakt. Het is de bedoeling dat er twee breuken van worden gemaakt met als noemers de afzonderlijke factoren. Dit heet breuksplitsing. Voorbeeld : x + 0 (x )(x + ) x x + u is dit eenvoudig te controleren maar hoe kom je aan de tellers? x+0 A vervangen we door (x )(x+) x + B waarbij we A en B moeten berekenen. x+ Maak van de uitdrukking weer één breuk: A(x + ) + B(x ) (x )(x + ) (A + B)x + (A B) (x )(x + ) u moet A + B en A B 0. Als je dit stelsel van twee vergelijkingen oplost, krijg je A en B. We stellen: Voorbeeld : (x + )(x + 4)? (x + )(x + 4) A x + + B A(x + 4) + B(x + ) (A + B)x + (4A + B) x + 4 (x + )(x + 4) (x + )(x + 4) u moet A + B 0 en 4A + B. Dit stelsel oplossen geeft A 6 5 en B 5. We kunnen daarom (x+)(x+4) vervangen door 6 5(x+) 5(x+4). Voorbeeld : (vanwege het bijzondere karakter) : De teller veranderen we in een vorm waarin x voorkomt: x+ (x )+7 (x ) (x ) x + 7 (x ) x + (x )?. Opgaven. Splits onderstaande uitdrukking in breuken 4

48 . Breuksplitsen A (extra stof) Serie A.. 5 (x )(x ) 5 (x + )(x + ).. x 4x 9.. x (x )(x ) 4x (x + )(x ) x x x x x x x x x 6 x x + x x (x ) x + 4 9x 6x + x (x ) x (x ) x 4 4 (x + ) x (x ) x + 4 4x 4x + x 4 (x ) 6x (x ) x 4 9 (x + ) 4

49 Hoofdstuk Breuksplisen B (extra stof) Hieronder staat nog een aantal voorbeelden met opgaven waarbij een breuk wordt opgesplitst in meerdere delen. Voorbeeld : zo is We kunnen op manieren aan die uitkomst komen: / \ dus Dit kan altijd als de teller groter is dan de noemer. Voorbeeld : Ditzelfde kunnen we ook doen met gebroken functies: x + x + x x + x + Of: x + / x + \ dus (x + )/(x + ) 8/(x + ) x Voorbeeld : x / x x + \ 4 x dus ( 8 x x + )/(x ) 4 x x 4 x 4 x + 4 x /(x ) De methode uit de voorbeelden en kan worden toegepast als de graad van de teller groter dan of gelijk is aan de graad van de noemer. 4

50 . Breuksplisen B (extra stof). Opgaven Pas op onderstaande opgaven breuksplitsen toe zoals hierboven. Serie A.. 6x x + 5 x 4x + x 5 x.. x + 8x x x + 4x x.. x x + x x + 5x 4 x x x 5. x 4 x + x 4 x x 4 6 x x + x x x 4x + 5 x x x + x x x x + x x 4 x 4 + x x x + x x + x + x x 4x + 5 x x 6x + 5x + 6 x x x + x x x 4 + x + x x + x + 44

51 Hoofdstuk 4 Cyclometrische functies (extra stof) In het voortgezet onderwijs hebben we al met inverse functies te maken gekregen. Zo zijn log x en 0 x inverse functies van elkaar evenals bijvoorbeeld x en x voor x 0. Op de rekenmachine staan deze functies op een toets en daarboven. Je ziet dan dat ln x en e x ook elkaars inversen zijn. Een eigenschap van inverse functies is dat de grafieken elkaars spiegelbeeld zijn indien gespiegeld wordt in de lijn y x. Domein en bereik hoeven voor een functie en zijn inverse niet hetzelfde te zijn, controleer maar voor bovenstaande functies. De functies sin x, cos x en tan x hebben inverse functies op een beperkt domein. sin x, cos x en tan x staat er vaak op rekenmachines; wij zullen het hebben over arcsin x, arccos x en arctan x. We gaan na wat voor de laatste functies het domein en bereik is door te spiegelen. De tekening links hieronder toont de grafiek van y sin x gespiegeld in de lijn y x. OF FO F F F F We zien in de linkerfiguur duidelijk dat de gespiegelde grafiek geen functie meer voorstelt indien het domein gelijk is aan [0, π]. Indien het domein voor sin x gelijk is aan D [ π, π], is de inverse wél een functie. Bij deze keuze van het domein zitten we zo dicht mogelijk in de buurt van de oorsprong en zijn alle uitkomsten van sin x mogelijk mogelijk (van tot en met ). Zie de figuur daarnaast. 45

52 4. Cyclometrische functies (extra stof) Het bereik van y sin x is B [, ]. De inverse functie van y sin(x) noemen we y arcsin x. Hiervoor geldt het domein D [, ], terwijl B [ π, π]. Zo kunnen we ook de grafieken van y cos x en y tan x spiegelen in de grafiek van y x. 4. Opgaven. Ga op dezelfde manier na dat voor y arccos x geldt dat D [, ] en gekozen bereik B [0, π].. Ga verder na dat voor y arctan x geldt dat D (, ) en gekozen bereik B ( π, π). Zoals we hiervoor bepaald hebben welke mogelijke uitkomsten er waren bij sin x, zo kunnen we nu een uitkomst geven van arcsin( ). Het grote verschil is dat we nu maar één uitkomst hebben, logisch omdat dit eigen is aan het functiebegrip. Daarom: arcsin( ) π. 4. Opgaven Geef telkens de uitkomst uitgedrukt in π (radialen). Serie A. arcsin( ). arccos( ). arctan( ) 4. arccos( ) 5. arctan() 6. arcsin( ) 7. arccos( ) 8. arctan( ) 9. arcsin(0) 0. arccos( ). arccos( ). arcsin( ). arctan( ) 4. arcsin( ) 5. arccos() 6. arctan( ) 7. arcsin( ) 8. arccos( ) 9. arctan(0) 0. arcsin( ) 46

53 Hoofdstuk 5 Antwoorden. Machten Serie A. p 6 q 6. a b c d a b 5. ab 6. p 4 q 5 7. a b ab 4. p 8 q 6. b c d 4. a 5 b 5 5. ab 6. p q a b 4 8. ( 8 ) a b 6 9. a 8 b a 5 b a a 6. Herleiden Serie A. 9a 6ab + b. 9a a + 4a m 5mn n a 4 b 6 a 6 b a8 b 7. a 8. 7b 7a + ab + 6a b a 4. (x )(x + )(4x + 9) 47

54 5. Antwoorden. x (x + )(x 7). 9x )(x + )(x + )(x 4 + )(x 8 + ) 4. (x )(x + ) 5. (x )(x 7) 6. (x + )(x 7) 7. (x ) 8. (x )(x + x + ) 9. (5x + )(x 5) 0. (x ). 9a ab + 4b. 9a a 4 + 4a m 5mn 6n a4 b a 6 b 4 + 4a 8 b a 8. 4b 5a 5ab + 6a 6b a 4. Herleiden Serie A. (x )(x + )(4x + 9). x (x + )(x 7). (x )(x + )(x + )(x 4 + )(x 8 + ) 4. (x )(x + ) 5. (x )(x 7) 6. (x + )(x 7) 7. (x ) 8. (x )(x + x + ) 9. (5x + )(x 5) 0. (x ). (x )(x + )(9x + 4). x (x )(x 4). (x )(x + )(x 6 + 4) 4. (x + 4)(x 5) 5. (x )(x 9) 6. (x + )(x 9) 7. (x + ) 8. (x )(x + x ) 9. 4(4x + )(x 4) 0. (x 5 + 4). Herleiden Serie A. (x )(x 6). (x + )(x + ). (x )(x ) 4. (x + )(5 x) 5. (x )(x + ) 48

55 5.0 Opgaven 6. (x )(x 4)(x + ). (x 5)(x ) 7. (x )(x + ). (x + )(x + ). (x 4)(x ) 8. (x + 5)(x )(x + ) 9. ( x)(x ) 0. x(x )(x + 5) 4. (x + )(7 x) 5. (x + )(x )(x + ) 6. (x )(x 8)(x + ) 7. (x 4)(x + ) 8. (x + 5)(x 4) 9. ( x)(x ) 0. x (x + )(x 6) 4. Rationale breuken Serie A 7.. x + x + (x )(x + ) x + 6 ( x )(x + ).. 4. x x 4x (x )(x + ) x + (x + ) (x x ) (x )(x + ) x x + (x ) (x + ) x (x + )(x + ) x (x ) 0. x + x x(x + ) 49

56 5. Antwoorden 6.. (x x ) (x )(x + ) 7. x (x + ).. x x 9 4x + x 6 (x )(x + ) 8. 7x (x )(x + ) x + (x ) (x x + ) (x )(x + ) x + (x )(x + ) (x )(7x + 4) (x + )(x + ) x x + 6 x(x ) Goniometrie Serie A niet gedefinieerd Goniometrische formules 50

57 5.0 Opgaven. sin(x y) sin(x + ( y)) sin x cos( y) + cos x sin( y) sin x cos y cos x sin y cos(x + y) sin( π x y) sin(( π x) y) sin( π x) cos y cos( π x) sin y cos x cos y sin x sin y cos(x y) cos(x + ( y)) cos x cos( y) sin x sin( y) cos x cos y + sin x sin y. tan(x + y) sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) cos x cos y sin x sin y (deel boven en onder door cos x cos y) tan x + tan y tan x tan y tan(x y) tan(x + ( y)) tan x + tan( y) tan x tan y tan x tan( y) + tan x tan y. sin x sin(x + x) sin x cos x + cos x sin x sin x cos x cos x cos(x + x) cos x cos x sin x sin x cos x sin x ( sin x) sin x sin x cos x ( cos x) cos x tan x tan(x + x) (tan x + tan x)/( tan x tan x) tan x/( tan x) 4. cos(x 6 π) cos x cos 6 π + sin x sin 6 π Omdat x in het eerste kwadrant ligt is ook sin x. cos x cos 6 π sin x sin 6 π cos x sin x sin x sin x sin x ± Omdat x ɛ [ π, π] geldt: sin x 6. tan x + /(cos x) 6 9 tan x 7 9 tan x ± 7 Omdat x ɛ [0, π] geldt: tan x 7 tan x tan x/( tan x) 7/( 7 9 ) Goniometrische formules Serie A. ( cos x + ) sin x. sin x cos y. ( sin x)( + sin x) cos x 4. sin x(sin x + cos x) 5. (cos x )(cos x + ) sin x 6. (sin x )(sin x 4) 7. (cos x + )(6 cos x) sin x 0., en 5

58 5. Antwoorden. sin x(sin x cos x). (cos x )(cos x + ) sin x. (cos x sin x) cos x 4. (sin x )(sin x + ) 5. (sin x + )(sin x ) 6. (sin x + )(5 sin x) 7. ( cos x)/ sin x cos x 0.,, π of,, π 9. Oefening grafieken tekenen 5

59 " %!! " "! & "! ' A $ 5.0 Opgaven B B B B B $ A A A A4 A5 B B B B B! B B B B4 B5 B B B B B # " A C C C C4 C5 B B B B B A D D D D4 D5 B B B B B " B E E E E4 E5 B B B B F F F F4 F5 5

Voorwoord Rekenvaardigheden

Voorwoord Rekenvaardigheden Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 7 mei 007 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de

Nadere informatie

ONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright.

ONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. ONLY FOR PERSONAL USE This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. c Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 0 mei

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

Inhoud college 6 Basiswiskunde

Inhoud college 6 Basiswiskunde Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële

Nadere informatie

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16

De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16 Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

Voorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.

Voorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan. Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Colleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs

Colleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014, Semester 2 Avondonderwijs Versie vrijdag 21 februari 2014 Na ieder avondcollege wordt een klein verslag van het college in dit document opgenomen.

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit

Nadere informatie

Cijfer = totaal punten/10 met minimum 1

Cijfer = totaal punten/10 met minimum 1 VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP Me MeWIS1-T1 MeP1 TOETSDATUM 7 november 011 TIJD 13.00 14.30 uur AANTAL PAGINA S (incl. dit voorblad) 6 DEZE TOETS BESTAAT UIT (aantal) GEBRUIK

Nadere informatie

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden). Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost. SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de

Nadere informatie

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan

Nadere informatie

UITBREIDING INTEGRALEN VAN HET TYPE. ««««««««««x ««2« ««9««««««««««1««6««x««««« ««1««««««««««u«««««2. f (x) 1 ««««««««

UITBREIDING INTEGRALEN VAN HET TYPE. ««««««««««x ««2« ««9««««««««««1««6««x««««« ««1««««««««««u«««««2. f (x) 1 «««««««« INTEGRALEN VAN HET TYPE k. f (x). dx ««a««««««««b«.«««f«(«x«)««a. Een nieuwe fundamentele integraal Met behulp van de rekenregels van afgeleiden vinden we ook. du = arcsin u + c ««««««««««««u«««««arcsin

Nadere informatie

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

Willem van Ravenstein

Willem van Ravenstein Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel

Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

Copyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina

Copyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina G E R T J A N L A A N A N A LY S E B O E K U I T G E V E R I J C Z A R I N A Copright 07 Gertjan Laan Versie. uitgeverij czarina www.uitgeverijczarina.nl www.gertjanlaan.nl tufte-late.github.io/tufte-late

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 8 Goniometrische functies (H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Inleiding Voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen heb je een aantal dingen nodig:. Kennis over

Nadere informatie

Inverse functies en limieten

Inverse functies en limieten Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Oefentoets uitwerkingen

Oefentoets uitwerkingen Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei

Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Les 1 Exponentiële functies Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b =

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. f(x) = 9x(x 1) en g(x) = 9x 5. Figuur 1: De grafieken van de functies f en g.

Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. f(x) = 9x(x 1) en g(x) = 9x 5. Figuur 1: De grafieken van de functies f en g. UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM FNWI Voorbeeld Toets Wiskunde A Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. 1. De twee functies f en g worden gegeven door f(x) = 9x(x 1) en g(x)

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen.

13.0 Voorkennis. Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen. 13.0 Voorkennis Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen. Op het interval [-2; -0,94) is de grafiek dalend; Bij x =

Nadere informatie