Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (

2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website maar helaas is die niet meer online. 2. Oefeningen uit vorige examens 2000 Vraag 6 Voor grote waarden van n, kan n! = n goed benaderd worden met de formule van Stirling: n! = 2πn (n/e) Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering. Welke van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor log(100!/50!) afgeleid worden? <A> ½ log log(50 e ) ½ log log (200/e) <C> ½ log 2π log(100e) <D> ½ log 2π + 50 log (100/e) 2011 Juli Vraag 6 Gegeven: log 4 = 0,602 Bereken de volgende uitdrukking: 16 log log log 8 <A> 28,9 31,3 <C> 33,7 <D> 53, Augustus Vraag 7 Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking e. ( ) <A> 7e 9e <C> e 9 <D> e 7 dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 2012 Juli Vraag 4 Gegeven is de volgende uitdrukking: 1 3 (. ) Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? <A> -7 <C> log 3 <D> Augustus Vraag 5 Gegeven is een logaritme met grondgetal 4: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? <A> 1/5 14/3 <C> 12/15 <D> 1/ Juli Vraag 9 versie 1 4 / Los de volgende vergelijking op naar x: 3 x-1 = 8 3x <A> x = x = <C> x = <D> x = Juli Vraag 9 versie 2 Los de volgende vergelijking op naar x: 3 x-1 = 8 x <A> x = x = <C> x = <D> x = /. dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 Augustus Vraag 2 Gegeven is de volgende vergelijking 5 2x-1 = 2 x Welke uitdrukking voor x is correct? <A> x = x = <C> <D> x = x = 2014 Juli Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x 4) Om aan deze ongelijkheid te voldoen, <A> voldoet alleen x =0 voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen <C> voldoen geen strikt positieve getallen <D> voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 Juli Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x + 4) Om aan deze ongelijkheid te voldoen, <A> voldoet alleen x =0 voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen <C> voldoen geen strikt positieve getallen <D> voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 Augustus Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: Om aan deze ongelijkheid te voldoen, log (2x + 1) 2 2 <A> Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen <C> Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 <D> Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen Augustus Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log (2x 1) 2 2 <A> Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen <C> Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen <D> Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen Juli Vraag 13 Gegeven is een logaritme met grondtal 2: Log 2 (a) = 1024 Hoeveel bedraagt dan de volgende logaritme? Log 2 (2.a)? <A> 1025 2048 <C> 1023 <D> 512, Juli Vraag 14 Bereken de afgeleide van de volgende functie y = Ln(x-1) 2 + Ln (x+1) 2 <A> y' = y' = <C> y' = <D> y' = 2015 Augustus Vraag 1 Als e gelijk is aan 4, dan is e 3/2 gelijk aan <A> e 6 e 8 <C> 6 <D> 8 dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 2016 Juli Geel Vraag 11 Een persoon wordt blootgesteld aan een schadelijk stof. Deze stof komt terecht in zijn bloed en wordt afgebroken door de lever. Stel dat de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed daalt volgens het functievoorschrift Ae -bt (met A en b positieve constanten, en t de tijd uitgedrukt in dagen). Op t = 0 bedraagt de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed 5 milligram (5 mg). Na twee dagen (t = 2) is de hoeveelheid gedaald tot 1 mg. Hoeveel van deze schadelijke stof blijft er in het bloed van deze persoon na zes dagen ( t = 6)? <A> <C> <D> 0,02 mg 0,04 mg 0,05 mg 0,20 mg dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 3. Oplossingen oefeningen 2000 Vraag 6 Gegeven: Voor grote waarden van n, kan n! = n goed benaderd worden met de formule van Stirling: n! = 2πn (n/e) Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering. Gevraagd: Welke van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor log(100!/50!) afgeleid worden? n! = 2πn (n/e) log n! = log( 2πn. (n/e) ) log n! = 1/2 log (2 πn) + n log (n/e) log n! = 1/2 log (2 πn) + n log n n log e Bereken met deze formule: log(100!/50!) of log 100! log 50! = (½log (2 π100) log log e) - (½log (2 π50) + 50 log log e) = ½ log (2 π100) log log e - ½log (2 π50) - 50 log log e = ½ log (2 π100) log log e - ½log (2 π50) - 50 log 50 = ½ log (2 π100) log log e-½ log (2 π100/2)- 50 log (100/2) = ½ log (2 π100) log log e- ½ log (2 π100) + ½ log2-50 log log2 = 50 log 100+ ½ log2 50log e + 50 log2 = ½ log (log 100 log e + log2) = ½ log (log 100.2/e) Antwoord B 2011 Juli Vraag 6 Gegeven: log 4 = 0,602 Gevraagd: Bereken de volgende uitdrukking: 16 log log log 8 16 log log log 8 = 16(log4 + log 2 + log 8) dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 = 16 (log (4.2.8)) = 16 (log 4.4.4) =16 (log 4 +log 4 + log 4 = 16(0, ) = 16 (1,806) = 28,896 Antwoord A 2011 Augustus Vraag 7 Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking e. ( ) Door gebruik te maken van eigenschappen van machten: e. ( ) = e. ( ). e = e ( ). e = e ( ). e ( ) e = 3.3. e = 9e Of ook door gebruik te maken van eigenschappen van logaritmen Antwoord B 2012 Juli Vraag 4 Gegeven is de volgende uitdrukking: e. ( ) = e = e. e = 9. e 1 3 (. ) Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? Het gaat over logaritme met grondgetal 1/3, dus de uitkomst is de macht die je aan 1/3 moet geven om te bekomen (. ) 1 3. dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 = -3 Antwoord D 2012 Augustus Vraag 5 Gegeven is een logaritme met grondgetal 4: 4 / Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? 4 / /. /. 4 / /. 4 / /. 4 /. 4 / 4 / = 14/3 Antwoord B Juli Vraag 9 versie 1 Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3 x-1 = 8 3x ln(3 x-1 ) =ln(8 3x ) (x-1) ln3= 3x ln8 (eigenschap) x.ln 3 - ln3 = 3x. ln8 dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 x.ln 3 - ln3 = 3x. ln2 3 x.ln 3 - ln3 = 3x.3 ln 2 (eigenschap) x.ln 3-9x.ln 2= ln3 x(ln3-9 ln2 )= ln3 x = Antwoord A Juli Vraag 9 versie 2 Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3 x-1 = 8 x Neem ln van elk lid: ln(3 x-1 ) = ln(8 x ) (x-1)ln3 = x.ln8 (eigenschap) xln3 - ln3 = x.ln8 xln3 - xln2 3 = ln3 xln3-3xln2 = ln3 x(ln3-3ln2) = ln3 x = Antwoord A Augustus Vraag 2 Gegeven: vergelijking 5 2x-1 = 2 x Gevraagd: uitdrukking voor x? ln(5 2x-1 ) = ln(2 x ) (2x-1) ln5 = x ln2 2x ln5 - ln5 = x ln2 2xln5 - x ln2 = ln5 dr. Brenda Casteleyn Page 10

11 x = Antwoord A 2014 Juli Vraag 4 versie 1 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x 4) Gevraagd: waaraan moet x voldoen? We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5 Opdat de absolute waarde 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log 2 (5x 4) 3 1 log 2 (5x 4) log 2 (5x 4) 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) 2 4 ; dus (5x 4) 16 x 4 Negatief: -( log 2 (5x 4) 3) 1 log 2 (5x 4) 3-1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1 verandert het ongelijkheidsteken) log 2 (5x 4) log 2 (5x 4) 2 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) 2 2 x 8/5 X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 Juli Vraag 4 versie 2 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x + 4) Gevraagd: waaraan moet x voldoen? We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x >-4/5 Opdat de absolute waarde 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log 2 (5x + 4) 3 1 log 2 (5x + 4) 1 +3 log 2 (5x + 4) 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) 2 4 ; dus (5x + 4) 16 x 12/5 Negatief: - (log 2 (5x + 4) 3 ) 1 - log 2 (5x + 4) (haakjes weggewerkt) - log 2 (5x + 4) -2 dr. Brenda Casteleyn Page 11

12 log 2 (5x + 4) 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het ongelijkheidsteken) Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) 2 2 x 0 X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 Augustus Vraag 4 versie 1 Gegeven: de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log (2x + 1) 2 2 Gevraagd: voor welke getallen voldoet deze ongelijkheid? We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x+1>0; dus x >-1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log 2 (2x+1) -2 2 log 2 (2x+1) 4 2x x 7,5 Berekening negatieve: -(log 2 (2x+1) -2) 2 -log 2 (2x+1) log 2 (2x+1) 0 log 2 (2x+1) 2 0 2x x 0 x Dus: 0 x 7,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 0,1,2,3,4,5,6,7 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A dr. Brenda Casteleyn Page 12

13 2014 Augustus Vraag 4 versie 2 Gegeven: volgende ongelijkheid met absolute waarden: log (2x 1) 2 2 We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x-1 >0; dus x >1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log 2 (2x-1) -2 2 log 2 (2x-1) 4 2x x 8,5 Berekening negatieve: -(log 2 (2x-1) -2) 2 -log 2 (2x-1) log 2 (2x-1) 0 log 2 (2x-1) 2 0 2x x 1 x Dus: 1 x 8,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 1,2,3,4,5,6,7,8 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A Juli Vraag 13 Gegeven is een logaritme met grondtal 2: Log 2 (a) = 1024 Hoeveel bedraagt dan de volgende logaritme? Log 2 (2.a)? Log 2 (2.a) = Log 2 (2) + Log 2 (a) (eigenschap van Logaritmen) = = 1025 dr. Brenda Casteleyn Page 13

14 Antwoord A Juli Vraag 14 Bereken de afgeleid van de volgende functie y = Ln(x-1) 2 + Ln (x+1) 2 y = Ln(x-1) 2 + Ln (x+1) 2 y = 2. Ln(x-1) + 2 Ln(x+1) (eigenschap logaritme) y = 2 (Ln(x-1) + Ln (x+1) (2 buiten haakjes) y = 2 (Ln (x-1)(x+1) (eigenschap logaritme) y = 2 Ln (x 2-1) y' =. = Antwoord D 2015 Augustus Vraag 1 Als e gelijk is aan 4, dan is e 3/2 gelijk aan Gegeven: e = 4 (e ) 3/2 = (4) 3/2 (e ) 3/2 = 4 = 8 Antwoord D 2016 Juli Geel Vraag 11 Gegeven: Een persoon wordt blootgesteld aan een schadelijk stof. Deze stof komt terecht in zijn bloed en wordt afgebroken door de lever. Stel dat de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed daalt volgens het functievoorschrift Ae -bt (met A en b positieve constanten, en t de tijd uitgedrukt in dagen). Op t = 0 bedraagt de hoeveelheid schadelijke stof in het bloed 5 milligram (5 mg). Na twee dagen (t = 2) is de hoeveelheid gedaald tot 1 mg. Gevraagd: Hoeveel van deze schadelijke stof blijft er in het bloed van deze persoon na zes dagen ( t = 6)? Gegeven zijn twee punten: (0,5) en (2,1) Vul ze in in de vergelijking: dr. Brenda Casteleyn Page 14

15 5 = A.e 0 = A 1 = 5.e -b.2 dus e -b.2 = 1/5 of -2.b = ln(1/5) of b = ( / ) -ln(1/5) = ln(1/5) -1 = ln (5), dus b = ln(5)/2 Voor t = 6 wordt de vergelijking dan: Y = 5 e ( ).6 Y = 5 e -ln(5).3 Y = 5 e ( ) Y = 5 e -ln(125) Y = 5 e ln(1/125) Y = 5. 1/125 = 1/25 = 0,04 Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 15