Over de functies arcsin, arccos en arctan

Transcriptie

1 Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken, indien deze lijnstukken althans 'voldoende klein' zijn (zie figuur ) Voor zo'n lijnstuk P'Q' (zie figuur ) hebben we dan PQ ( Δ ) + ( Δ y) Geven we de lengte van de boog PQ op het interval [a ; b] aan met s, dan kunnen we s schrijven als Riemann-som: s lim PQ k k Δ 0 k waarbij de lijnstukken P kq k overeenkomen met lijnstukken P'Q' met alle dezelfde Δ (klein genoeg gekozen) De waarde van s wordt de booglengte van de boog PQ genoemd Nu is: Δy Δy ( Δ) ( Δ) PQ k k ( Δ ) + ( Δ y ) + ( Δ ) + Δ Zodat dan (via de limietovergang van de Riemann-som): Niet zo maar een voorbeeld figuur 3 a ( ) spq s[ a; b] + f ( ) d b We bekijken als voorbeeld de functie f ( ) De grafiek van de functie f is een halve cirkel met middelpunt O en straal (zie figuur 3) Over de functies arcsin, arccos en arctan [] Copyright 006, PandD Software, Rotterdam

2 Voor de lengte van deze halve cirkel vinden we met de formule Omtrek( cirkel ) R eenvoudig: s s [-;] De waarde van de integraal + ( ) Hierbij is f ( ) - - en dus: figuur 4 ( ) d is dus reeds bij voorbaat bekend! - I f met ( ) ( ), zodat f ( ) + ( ) + f I d - Ga met behulp van je grafische rekenmachine na, dat I Echter: een primitieve van de functie (en die bestaat, zoals we later zullen zien!) kunnen we (nog) niet vinden Ga dat na! 3 De grafiek van f, maar dan anders We kunnen de halve cirkel ook beschrijven met behulp van een parametervoorstelling: { cost y sint waarbij t loopt van t 0 naar t Merk op dat hierdoor de -as van rechts naar links wordt doorlopen! We kunnen nu differentiëren naar t: waaruit dan volgt dat d dy -sin t, dt dt dy d y/dt cost d d /d t sin t cost f ( ) - Let wel, hierbij is de functie f (zelf afhankelijk van ) uitgedrukt in de variabele t + f '( ) vinden we dan: Voor ( ) ( ) ( d ) d y cos t sin t cos t sin t sin t sin t + f '( ) Nb Willen we de integraal berekenen met de variabele t, dan moeten we ons realiseren, dat daarin ' d ' afkomstig was van ' Δ ' (uit de Riemann-som) De relatie d -sin d t t is dan afkomstig van Δ Δ t -sint, zodat: Δ -sint Δ t En dan is dus ook: d -sin t d t Zoals opgemerkt wordt de cirkelboog (bij gebruik van t) doorlopen van rechts naar links Hiermee rekening houdend (zie het minteken in derde lid) vinden we: Over de functies arcsin, arccos en arctan [] Copyright 006, PandD Software, Rotterdam

3 ( ) [] - 0 sin t 0 I + f ( ) d - (-sin t)dt d t t ( ) (0) 't Klopt dus in dit geval ook via de integraalrekening! Maar we blijven zitten met het feit dat we toch ook I d graag direct, en we - bedoelen daarmee via een primitieve, zouden willen integreren Daartoe introduceren we een nieuwe functie! We bekijken allereerst de functie h ( ) sin, waarbij we kiezen in het interval [- ; ] We beperken dus het domein van de functie sin De functie h heeft dan een inverse functie h inv (waarom?), waarvan de grafiek de gespiegelde is van de grafiek van h in de lijn met vergelijking y (zie de figuren 5a en 5b) 0 figuur 5a figuur 5b sin (sin ) inv 4 De nieuwe functie: arcsin We geven de functie h inv de naam arcsin (in het Nederlands taalgebied ook wel bgsin), wat we uitspreken als 'arcsinus' (van het Latijnse arcus sinus; arcus betekent boog) of 'boogsinus' Merk op dat de uitdrukkingen sin y en arcsin y nu 'hetzelfde' betekenen Daarom spreken we ' arcsin y' soms ook wel uit als ' is de hoek waarvan de sinus gelijk is aan y' En vervolgens We kunnen nu, zoals we zullen zien, de afgeleide van de functie y arcsin eenvoudig vinden figuur 6 Ga echter eerst na, dat voor een functie f en diens inverse f inv in het algemeen geldt (zie figuur 6): inv ( f ) f met rolwisseling van de en de y! Aanwijzing Kijk naar de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen l en l' in de punten P en P' aan opvolgend de grafieken van de functies f en f inv Voor y arcsin is dan (let op de rolwisseling van en y): Over de functies arcsin, arccos en arctan [3] Copyright 006, PandD Software, Rotterdam

4 y (arcsin ) (sin ) y Maar y arcsin betekent hetzelfde als sin y, waarmee we via sin y + cos y vinden dat: cos y sin y zodat: cos y ± Ga na dat het minteken hier niet van toepassing is de functie arcsin is een stijgende functie (waarom?), dus En dan is: y Anders gezegd: Voor de functie f ( ) arcsin geldt: f ( ) Of ook: De functie F( ) arcsin is een primitieve van de functie f ( ) inv (sin y) cos En dan kunnen we met deze primitieve de waarde van s, de lengte van een halve cirkel met straal, berekenen: - - s I d [arcsin ] (arcsin) (arcsin(-)) ( ) (- ) 5 De functies arccos en arctan Ook de functie g ( ) cos met in [0; ] heeft een inverse (zie figuur 7a en 7b): g inv () y arccos figuur 7a figuur 7b cos arccos Voor de afgeleide van g vinden we op dezelfde manier als hierboven bij arcsin en rekening houdend met cos y : inv - - (cos y) -sin cos y (arccos ) (cos ) y Natuurlijk kunnen we ook voor de functie tan een inverse vinden figuur 8a figuur 8b tan arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan [4] Copyright 006, PandD Software, Rotterdam

5 We kiezen hiervoor het domein - ; ; zie de figuren 8a en 8b: tan inv arctan Voor de afgeleide krijgen we dan (in de wetenschap dat uit y arctan volgt dat tan y): inv (arctan ) (tan ) cos y (tan y) We moeten nu cos y uitdrukken in Dat gaat op de volgende manier: En hieruit volgt dan sin y cos y y cos y cos y cos y cos y +, zodat cos y + (arctan ) + tan We hebben dan: 6 Samenvattend functie domein bereik afgeleide arcsin [- ; ] [- ; ] arccos [- ; ] [0 ; ] - arctan - ; - ; + Opmerking De functies arcsin, arccos en arctan behoren tot de zogenoemde cyclometrische functies 'Cyclometrisch' komt van het Griekse kukloς (kuklos) cirkel en metrein (metrein) meten Over de functies arcsin, arccos en arctan [5] Copyright 006, PandD Software, Rotterdam