wiskunde B havo 2017-II

Transcriptie

1 wiskunde B havo 07-II Afstand tussen twee raaklijnen maximumscore Uit x x= 0 volgt ( x = 0 ) x = 0 Hieruit volgt x = 8 dus (de x-coördinaten van M en N zijn) x = 8 ( = ) en x = 8 ( = ) De afstand tussen M en N is 8 ( = ) maximumscore 7 f' ( x) = x De richtingscoëfficiënt van k is f' ( ) = Voor lijn k (met vergelijking y = x+ b) geldt ( + b =, dus) y = x+ 8 (Zij m de lijn loodrecht op k door O, dan is een vergelijking voor m) y = x (Voor het snijpunt van k en m geldt) x= x+ 8 Hieruit volgt 6 y ( = 6 ) = 8 De afstand tussen k en l is 6 8 ( ) + ( ) dus de gevraagde afstand is 7,6

2 wiskunde B havo 07-II Over een cirkel gespannen maximumscore 8 De richtingscoëfficiënt van MD is ( ) 0 = (Omdat voor lijn l moet gelden rcl =, geldt) rc l = (dus l heeft een vergelijking van de vorm y = x+ b) Invullen van de coördinaten van D (,8) in y = x+ b 0 geeft b = (dus een vergelijking van l is 0 y = x+ ) Uit 0 x + = volgt x = 0 (dus de coördinaten van B zijn (0, 0) ) 0 De richtingscoëfficiënt van MD is ( 8 ) 0 (Omdat voor lijn l moet gelden rcl rc l = Vanuit D (, 8) naar de x-as is 8 omlaag, dus met richtingscoëfficiënt ( = 8) is dat 6 naar rechts 6 Dan volgt x = ( + 6 = )0 (dus de coördinaten van B zijn (0, 0) ) De richtingscoëfficiënt van MD is 8 ( ) 0 De richtingscoëfficiënt van de lijn door D en (0, 0) is 8 ( 0= ) 0 =, dus de lijn door D en (0, 0) staat loodrecht op MD Hieruit volgt dat de lijn door D en (0, 0) samenvalt met l, dus l snijdt de x-as in B (0, 0) De driehoeken MED, MDS en BOS (met S het snijpunt van k en l en E de projectie van D op de y-as) zijn gelijkvormig SM = = (en SD = = 0 ) 0 OS = + = 0 OB = = 0 ( 0 OB = = ) (dus de coördinaten van B 0 0 zijn (0, 0) )

3 wiskunde B havo 07-II maximumscore De lengte van de lijnstukken AC en BD is ( 0) + (8 0) = 0 Er geldt tan( CMD) = Hieruit volgt ( CMD,, dus) CMD 06 De lengte van boog CD is 06 π 9, 60 Dus de lengte van het touwtje is (9, + 0 = ) 9, De lengte van de lijnstukken AC en BD is ( 0) + (8 0) = 0 De tangens van de hellingshoek van MD is, dus de hellingshoek van MD is 6,9 Hieruit volgt CMD ( = (90 6,9 )) 06 De lengte van boog CD is 06 π 9, 60 Dus de lengte van het touwtje is (9, + 0 = ) 9, Zonnepanelen maximumscore De groeifactoren,0;,0;,07;,;,6;,0;,0;,0;,08 en,06 De groeifactor in 0 jaar is, 0, 0, 07,, 6, 0, 0, 0, 08, 06(,0) Dit is (ongeveer) (en dus is de prijs (ongeveer) verdubbeld) 6 maximumscore 0 Voor de gezochte groeifactor geldt g = De groeifactor per jaar is 0 Dit is,07 Dus een groeipercentage van 7,% per jaar Opmerking Als een kandidaat verder rekent met het (niet afgeronde) resultaat van het vorige onderdeel en hiermee op een groeipercentage van 7,% per jaar komt, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

4 wiskunde B havo 07-II 7 maximumscore 9,9 0 Invullen van de gegevens geeft 000 (( 7 t = + ) ) 00 7 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden ( t 6, dus na) 7 (jaar) Beschrijven hoe met behulp van de GR een tabel kan worden gemaakt 9,9 0 bij de formule (( 7 00 ) t B = + ) 7 t = 6 geeft B = 87 ( nauwkeuriger) en t = 7 geeft B = 809 ( nauwkeuriger), dus (na) 7 (jaar) 8 maximumscore De waarden 7, 80, 7,, 80, 97 De waarden berekenen voor de elektriciteitsproductie in de maanden januari tot en met juni 0: 79, 6, 0, 7, 69 en 60 Dit geeft in totaal 60 (kwh), dus de gevraagde hoeveelheid is ( = 6 80 en dat geeft) 6 00 (kwh) Opmerkingen Voor elk van de uit het toenamediagram af te lezen waarden is een maximale afwijking van 0 (kwh) toegestaan. Als alleen de waarden juist uit het toenamediagram zijn afgelezen (en de verdere berekening niet in orde is), voor deze vraag maximaal scorepunt toekennen. De toppen van de grafiek van een gebroken functie 9 maximumscore x + 8 f( x) = = x+ 6x x f' ( x) = 6x x 6 = 0 geeft x = 8 Dit geeft x = x = De coördinaten van A en B zijn (, ) en (, )

5 wiskunde B havo 07-II Sinus en wortel 0 maximumscore Uit sin( π x) = 0 volgt sin( π x) = Dit geeft π x= π ( + k π ) en π x= π ( + k π ) 6 6 (Op het gegeven domein geeft dit de nulpunten) x = en x = 6 maximumscore De periode van f is (en er is geen horizontale verschuiving), dus de x-coördinaten van de toppen zijn x = en x = P heeft y-coördinaat ( = ) en g ( ) = ( = ) (dus P ligt op de grafiek van g) Q heeft y-coördinaat (+ = ) en g ( ) = ( = ) (dus Q ligt op de grafiek van g) De toppen van de (standaard)grafiek van y = sin( x) hebben x-coördinaten π en π Dus de x-coördinaten van de toppen van de grafiek van y = sin( π x) zijn x = en x = P heeft y-coördinaat ( = ) en g ( ) = ( = ) (dus P ligt op de grafiek van g) Q heeft y-coördinaat (+ = ) en g ( ) = ( = ) (dus Q ligt op de grafiek van g) maximumscore Uit + 6x 8 = 0 volgt 6x 8 = (Dus de x-coördinaat van het snijpunt met de x-as is) 9 x = 6 8 g' ( x) = ( een gelijkwaardige uitdrukking) 6x 8 De gevraagde helling is 9 8 g' ( ) = ( = ) Opmerking Als de kandidaat de kettingregel niet niet juist heeft gebruikt, voor deze vraag maximaal scorepunten toekennen. 6 6

6 wiskunde B havo 07-II Tegels stapelen maximumscore Bij tegels is de maximale overhang + + = ( 0,9) Bij tegels is de maximale overhang = (,0) (dus bij tegels) Opmerking Als de kandidaat bij het eerste respectievelijk tweede bolletje over respectievelijk tegels spreekt, maar verder wel de juiste berekeningen laat zien, hiervoor scorepunt in mindering brengen. maximumscore De vergelijking, log( n ) 8,68 ( n ) + ( n ) = 00 moet worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost (De oplossing van de vergelijking is ongeveer,6 dus minstens) tegels De hoogte van de stapel is minstens ( = )6 (cm) Beschrijven hoe met behulp van de GR bijvoorbeeld een tabel gemaakt kan worden bij formule () M () 99,98 en M () 00,0 (Dus minstens) tegels De hoogte van de stapel is minstens ( = )6 (cm) maximumscore Het verschil tussen formule () en () is + ( n ) ( n ) De vergelijking + ( n ) ( n ) = 0, moet worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost (De oplossing van de vergelijking is ongeveer 76, dus) n = 77 Beschrijven hoe (met de GR) het verschil tussen formule () en () berekend kan worden Voor n = 76 is het verschil 0,00 Voor n = 77 is het verschil 0,099 (, dus de gevraagde waarde van n is n = 77 ) 6

7 wiskunde B havo 07-II Pluto 6 maximumscore De vergelijking 6 0 = 00 ( x 0) moet worden opgelost 6 Hieruit volgt 00 = ( x 0) Hieruit volgt ( x 0) = 600 ( x 0x 00 = 0 ) Dan volgt x 0 = 0 x 0 = 0 ( ( x 0)( x+ 0) = 0 ) Dus x = 0 x = 0 (en dus is in het perihelium de afstand 0 AE en in het aphelium 0 AE) Opmerking Als alleen is gecontroleerd dat ( 0, 0) en (0, 0) aan de formule voldoen, voor deze vraag geen scorepunten toekennen. 7 maximumscore (r is maximaal als geldt) cos(α) = 7, 7, Dan geldt r = = = 0 0, 0,7 (r is minimaal als geldt) cos(α) = 7, 7, Dan geldt r = = = 0 + 0,, (r is maximaal als geldt) α=π ( 80 ) 7, 7, Dan geldt r = = = 0 + 0, cos( π) 0,7 (r is minimaal als geldt) α= 0 7, 7, Dan geldt r = = = 0 + 0, cos(0), 7, Uit de vergelijking 0 = volgt cos( α ) = + 0, cos( α) cos( α ) is hier maximaal, dus r is dan minimaal 7, Uit de vergelijking 0 = volgt cos( α ) = + 0, cos( α) cos( α ) is hier minimaal, dus r is dan maximaal 7

8 wiskunde B havo 07-II Rakende cirkels 8 maximumscore De coördinaten van R zijn (, ) en die van T zijn ( p, 0) De afstand tussen R en T is Dit herleiden tot p ( p ) + (0 ) + 8 p+ 9 maximumscore De straal van c is 7 en die van d is De afstand tussen c en T is is p p + 8p+ 7 en de afstand tussen d en T 8 p+ 60 (Deze afstanden zijn beide gelijk aan de straal van e en dus gelijk aan elkaar, dus) p p p p Beschrijven hoe de vergelijking = p p p p = (met de GR) opgelost kan worden Dit geeft p = 8 (en dus T (8, 0) ) en de straal van e is 6 8