sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )
|
|
|
- Thijs Mark Pauwels
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g( x = cos( x g( x = cos( x heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. translatie (, 0 y = sin( x h( x = sin( x + h( x = sin( x + heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. translatie (, 0 y = cos( x j ( x cos( x j ( x cos( x = + = + heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. translatie (, 0 y = sin( x k( x = sin( x + k( x = sin( x + heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. translatie (, 0 y = cos( x l ( x = cos( x + l ( x = cos( x + heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. a c sin( α O α α cos( α = sin( α α + O cos( α + α cos( α cos( α + = cos( α cos( α b d sin( α α + O α sin( α + = sin( α O α cos( α sin( α sin( α + De stelling van Pythagoras geeft: sin ( α + cos ( α = a sin( x + = cos( x + = cos( x. b cos( x + = sin( x + + = sin( x +. c sin( x = sin( x + = sin( x + = cos( x + = cos( x. d cos(x + = cos(x + + = cos(x + = sin(x + + = sin(x + = sin( x +. a (sin( x cos( x = sin ( x sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x sin( x cos( x = sin( x cos( x sin cos sin cos sin = + = + = tan ( x +. cos ( x cos ( x cos ( x x + x x x x b ( cos( x sin ( x + tan ( x cos ( x = + cos ( x cos ( x sin ( x. = + = cos ( x c a sin ( x + cos( x = cos ( x + cos( x. cos ( x + sin( x = sin ( x + sin( x = sin ( x + sin( x = sin ( x + sin( x. b c sin ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos( x. sin( x = cos( x + cos( x = cos( x + + cos( x = cos( x + hiernaast gaat het verder x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] geeft x = x = x = x =.
2 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / 7a sin( x + = cos( x 7d cos( x = cos(x + cos( x + = cos( x cos( x = cos(x + + x = x k x = x + k x = x + k x = x + k x = + + k x = + k x = k x = k x = k x = k x = + k x = + k x op [0, ] x = 0 x = x = x op [0, ] x = + x = x = x =. x =. 7b sin( x = cos( x 7e sin( x + = sin( x cos( x = cos( x + sin( x = sin( x sin( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k 8 x op [0, ] x = x =. x op [0, ] x = x = x = x = 7 x = x = c sin ( x + cos( x = 7f sin ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos( x = ( cos ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos( x ( cos( x = 0 cos ( x + cos( x + = 0 cos( x = 0 cos( x = cos ( x cos( x = 0 x = + k x = + k x = ( cos( x ( cos( x + = 0 + k cos( x = (kan niet cos( x = x op [0, ] x = x = x = x =. x = + k x op [0, ] x =. 8a cos( t = sin( t 8b cos( t = cos( t t = t + k t = t + + k t = + k t = + k t = + k t = + k t op [0, ] t = t = t = t = t =. sin( t = cos( t cos( t = cos( t + t = t + + k t = t + k t = + k 7t = + k t = 9 + k t = + k 7 7 t op [0, ] t = t = t =. 7 9a sin( x = sin( x 9d --- sin( x = 0 9e sin( x = sin( x + x = k x = x + + k x = ( x + + k 9b sin( x = sin( x x = x + k x = x + k x = + k x = x + k x = k x = + k x = + k x = + k x = k x = + k x = + k x = + k 9 9c --- 9f --- 0a verm. in de y -as, verm. in de x -as, y = cos( x y = cos( x g( x = cos( x. 0b Zie de schets hiernaast. f g 0c f ( x = sin( x = x = + k x = + k x op [0, ] x = 7 = x = =. 0e f ( x = g( x sin( x = cos( x 0d g( x = cos( x = cos( x = cos( x + cos( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x = x =. x op [0, ] x = x = x =. f ( x g( x (zie de schets x = x
![k x op [0, ] x = 0 x = x = x op [0, ] x = + x = x = x =. x =. 7b sin( x = cos( x 7e sin( x + = sin( x cos( x = cos( x + sin( x = sin( x sin( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k 8 x op [0, ] x = x =.](/docs-images/42/425900/images/page_2.jpg "x op [0, ] x = x = x = x = 7 x = x = 7.")
3 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / a f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand 0; amplitude ; periode = en beginpunt (, 0. g( x = cos( x + heeft evenwichtsstand 0; amplitude ; periode en laagste punt (,. b Gebruik de plot hiernaast voor een schets van de grafieken. c f ( x = sin( x = 0 g( x = cos( x + = 0 x = k g cos( x + = 0 x = + k x + = + k f x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x =. x op [0, ] x = x =. De nulpunten van f zijn, en. De nulpunten van g zijn en x =. d f ( x = sin( x = e f ( x = g( x sin( x = cos( x + x = + k x = + k cos( x = cos( x + + x = + k x = + k cos( x = cos( x + x = + k x = 7 + k x = x + + k x = x + k x op [0, ] x = x = x = 7. x = + k x = + k f ( x > (zie plot < x < 7 < x. x = + k x = + k 9 x op [0, ] x = 0 x = x =. 9 9 f ( x < g( x (zie plot < x <. 9 9 a AB = ya yb = ya = sin( α. b AB = OA + OB OA OB cos AOB b cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u ( sin( α = + cos( α u vervangen door u geeft sin ( α = cos( α cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u cos( α = sin ( α sin( t + u = cos( t sin( u sin( t cos( u cos( α = sin ( α. sin( t + u = cos( t sin( u + sin( t cos( u sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u. a cos( t u = cos( t cos( u + sin( t sin( u u vervangen door u geeft cos( t ( u = cos( t cos( u + sin( t sin( u cos( t + u = cos( t cos( u + sin( t sin( u cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u. c sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u u vervangen door u geeft sin( t + ( u = sin( t cos( u + cos( t sin( u sin( t u = sin( t cos( u + cos( t sin( u sin( t u = sin( t cos( u cos( t sin( u. a sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u t en u beide vervangen door A geeft sin( A + A = sin( A cos( A + cos( A sin( A sin( A = sin( A cos( A. cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u t en u beide vervangen door A geeft cos( A + A = cos( A cos( A sin( A sin( A cos( A = cos ( A sin ( A. a cos( A = cos ( A cos ( A = cos( A cos ( A = + cos( A. b b cos( A = cos ( A sin ( A (zie a cos( A = cos ( A cos ( A cos( A = cos ( A + cos ( A cos( A = cos ( A. cos( A = cos ( A sin ( A cos( A = sin ( A sin ( A cos( A = sin ( A (zie ook b. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. a sin( x cos( x = sin( x c sin( x cos( x = sin( x sin( x = sin( x sin( x = sin( x x = x + k x = x + + k x = + k x = + + k x = + k x = + + k. sin ( x = cos( x + Gebruik: cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A cos( x = cos( x + cos( x = cos( x = x = + k x = + k.
![c f ( x = sin( x = 0 g( x = cos( x + = 0 x = k g cos( x + = 0 x = + k x + = + k f x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x =. x op [0, ] x = x =. De nulpunten van f zijn, en.](/docs-images/42/425900/images/page_3.jpg "De nulpunten van g zijn en x =.")
4 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / b cos ( x = cos( x + cos ( x = cos ( x + cos ( x = cos ( x = cos( x = ± = ± = ± x = + k x = + k. 8 d sin( x + cos( x = sin ( x + sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x + sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. 7a Evenwichtsstand ; amplitude ; periode en beginpunt (hoogste punt bij cosinus (0,. Dus y = + cos( x. 7b cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A y = sin ( x + cos( x = cos( x + cos( x = + cos( x. 8 sin( x = sin( x + x = sin( x cos( x + cos( x sin( x = sin( x cos( x cos( x + sin ( x sin( x = sin( x cos ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x. 9b cos( x = cos( x + x = cos( x cos( x sin( x sin( x = cos ( x cos( x sin( x cos( x sin( x = cos ( x cos( x sin ( x cos( x = cos ( x cos( x cos ( x cos( x = cos ( x cos( x cos( x + cos ( x = cos ( x cos( x. 9a cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A. y = cos( x sin ( x = cos( x ( cos( x = cos( x. 9b staat hierboven uitgewerkt. 0a cos( A = cos( A +. 0c cos( A = sin ( A of sin ( A = cos( A. 0b sin( A = cos( A. 0d cos( A = cos ( A of cos ( A = + cos( A. 0e cos( A = sin( A +. Voor B geldt: xb = xa en yb = ya. Voor C geldt: xc = xa en yc = ya. a Voor elke p geldt: f ( p = p cos( p = p cos( p = f ( p. f ( p = f ( p f ( p + f ( p = 0 f is (puntsymmetrisch in O. b Voor elke p geldt: g( p = p sin( p = p sin( p = p sin( p = g( p g is (lijnsymmetrisch in de y -as. a b a Voor elke p geldt: f ( p = cos ( psin( p = cos ( p sin( p = cos ( psin( p = f ( p. f ( p = f ( p f ( p + f ( p = 0 f is symmetrisch in O. + p f ( p = cos ( psin( p = cos ( + psin( + p = f ( + p. Dus f is symmetrisch in de lijn x =. Gebruik: cos( p = cos( + p (kwadr. cos ( p = cos ( + p cos ( p = cos ( + p. O f ( p = sin( p cos( p = sin( cos cos( sin cos( cos + sin( sin ( p p ( p p ( p p ( p p = cos sin cos + sin = cos( p sin( p cos( p + sin( p = cos( p. p
5 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / b f ( + p = sin( + p cos( + p = sin( cos + cos( sin cos( cos sin( sin ( p p ( p p ( p p ( p p = cos + sin cos sin = cos( p + sin( p cos( p sin( p = cos( p. Voor elke p geldt: f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x =. a f ( p = cos( p + sin( p + = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = cos( p +. f ( + p = cos( + p + sin( + p + = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin( p + = cos( p +. Er geldt: f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x =. Alternatieve uitwerking f ( + p = cos( + p + sin( + p + (gebruik de eenheidscirkel hiernaast = sin( p + cos( p + = cos( p + sin( p + = f ( p. O f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x = b f ( p = cos( p + sin( p + = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = sin( p +. f ( + p = cos( + p + sin( + p + = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin( p + = sin( p +. f ( p + f ( + p = sin( p + sin( p + = f is symmetrisch in het punt (,. + p p a b f ( x = sin( x waarschijnlijk is f '( x = cos( x. c f ( x = cos( x waarschijnlijk is f '( x = sin( x. 7a Zie de plot van y hiernaast. 7b f ( x = sin( x f '( x = cos( x. 7c f ( x = cos( x f '( x = sin( x. 8 f ( x = cosx = sin( x + f '( x = cos( x + = sin( x. 9 f ( x = sin( ax + b f '( x = cos( ax + b a = a cos( ax + b. g( x = cos( ax + b g '( x = sin( ax + b a = a sin( ax + b. 0a f ( x = + sin( x f '( x = cos( x = 8cos( x. 0b g( x = 0 + cos( ( x g '( x = sin( ( x = 8sin( ( x. 0c h( x = x cos( x h'( x = cos( x + x sin( x = cos( x x sin( x. 0d j ( x = x cos( x j '( x = cos( x + x sin( x = cos( x x sin( x.
6 0e G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / k( x = x sin( x k '( x = x sin( x + x cos( x = x sin( x + x cos( x. 0f l ( x = x sin( x l '( x = sin(x + x cos(x = sin(x + x cos(x. a f ( x = tan( x f '( x = =. cos ( x cos ( x tan tan ' tan sin( x sin( x g x = x = x g x = x = = cos cos( x. x cos ( x cos ( x b sin( x c h( x = cos( x tan( x = cos( x = sin( x h'( x = cos( x. cos( x I f ( x = sin ( x = sin( x sin( x f '( x = cos( x sin( x + sin( x cos( x = sin( x cos( x. II f ( x = sin ( x = sin( x f '( x = sin( x cos( x. III f ( x = sin ( x = cos( x f '( x = sin( x = sin( x. Mijn persoonlijke voorkeur gaat uit naar II omdat in dit geval f ( x niet hoeft te worden herschreven. a f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. b g( x = sin ( x = sin( x g '( x = sin( x cos( x. c h( x = + cos ( x = + cos( x h'( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. d j ( x = x + sin ( x = x + sin( x j '( x = + sin( x cos( x. f ( x = sin ( x = sin( x f '( x = sin ( x cos( x. a g( x = x sin ( x = x sin( x g '( x = sin ( x + x sin( x cos( x = sin ( x + x sin( x cos( x. b c h( x = cos ( x = cos( x h'( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. d j ( x = cos ( x = cos( x j '( x = cos( x sin( x x = x sin( x cos( x. f ( x = sin ( x + sin( x = sin( x + sin( x f '( x = sin ( x cos( x + cos( x a g( x = sin ( x cos( x = sin( x cos( x b = cos( x cos ( x + cos( x = cos( x cos ( x. g '( x = sin( x cos( x cos( x + sin ( x sin( x = sin( x cos ( x sin ( x = sin( x sin ( x sin ( x = sin( x sin ( x sin ( x = sin( x sin ( x. tan( x sin( x sin sin cos sin cos cos ' cos sin x x x x x. cos ( x c h x = = = = ( x h x = ( x x = a f ( x = + sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode en beginpunt (,. b Horizontale raaklijnen in de toppen bij x = + = en x = + =. f 7a f ( x = + sin( x = + sin(( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (,. Hoogste punten zijn ( + + k, + = ( + k, 0. Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. De toppen zijn ( + k, 0 en ( k,.
7 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 7/ 7b g( x = + cos( x + = + cos( ( x + heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (hoogste punt (, + = (,. Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. 7c h( x = sin( x + heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt ( +, = (,. Hoogste punten zijn ( + + k, + = ( + k,. beginpunt bij een sinus-grafiekis een punt waar de Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. grafiek STIJGEND door de evenwichtsstand gaat 7d j ( x = cos( x heeft evenwichtsstand ; ampl. ; periode = en beginpunt (0 +, + = (,. Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( k,. beginpunt van een cosinusgrafiek is een hoogste punt 8a 8b f ( x = cos( x sin( x + f '( x = sin( x cos( x. f '( x = 0 sin( x cos( x = 0 sin( x = cos( x cos( x = cos( x + x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k. Dus x A = ; x B = ; x C = ; en x D =. y A = f = cos sin + = + = A(, ; y ( cos( sin( (, B = f = + = + = + + = B ; y ( cos sin( C = f = + = + = + + = C (, en y ( cos( sin( (, D = f = + = + = + + = D. f (0 = f = cos(0 sin(0 + = 0 + = Dus f ( x = p heeft vier oplossingen (zie ook figuur. voor p <. 9a f ( x = x + cos( x f '( x = sin( x. f '( x = 0 sin( x = 0 sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. x op [0, 7] x = x = x =. 9b f '( x = sin( x = sin( x = sin( x = x = + k x = + k x op [0, 7] x = x =. f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos ( x sin( x = sin( x cos ( x. 0 f '( x = 0 sin( x cos ( x = 0 sin( x = 0 cos( x = 0 x = k x = + k x op [0, ] x = 0 x = x = x = x =. De punten zijn (0, ; (, 0; (, ; (, 0 en (,. a cos( x ( sin( x sin( x cos( x cos( x sin( x + sin ( x + cos ( x sin( x + f ( x = f '( x = = =. sin( x ( sin( x ( sin( x ( sin( x cos( x f ( x = 0 = 0 (teller = 0 cos( x = 0 x = + k. Nu x op [0, ] x = x =. sin( x x = (en y = 0 S (, 0 y = x + b sin + 0 b b, dus k: y x. rc f ' + door S (, 0 = + = = + = = = = ( sin
8 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 8/ b x = (en y = 0 S (, 0 y = x + b sin b b, dus l : y x. rc f ' + door S (, 0 = + = = = = = = ( 9 sin( sin( x + f '( x = = 0 (teller = 0 sin( x + = 0 sin( x = sin( x = x = x = (op [0, ]. sin( x cos( randmaximum (zie plot is f = = = sin( 0 cos( maximum (zie plot is f = = = = > B sin f = [, ]. cos minimum (zie plot is f = = = =. sin( a F ( x = cos( x F '( x = sin( x = sin( x = f ( x. b G ( x = sin( x G '( x = cos( x = cos( x = g( x. a f ( x = sin( x F ( x = cos( x + c = cos( x + c. b g( x = x cos( x G ( x = x sin( x + c = x sin( x + c. c h( x = sin( x + H ( x = cos( x + + c = cos( x + + c. d j ( x = cos( x J ( x = sin( x + c = sin( x + c. + cos d = + sin = + sin = + = a ( x x x x x b ( x sin( x dx = x + cos( x = + cos ( + cos(0 7 = + + = f ( x = + cos( x = 0 cos( x = cos( x = x = + k x = + k x = 9 + k x = + k x = + k x = + k. Er geldt: x op [0, ] x = x =. O ( V = ( + cos( x dx = x + sin( x = + sin( + sin( V = + + = +. g( x = sin ( x = sin( x g '( x = sin ( x cos( x f ( x. Dus g( x = sin ( x is geen primitieve van f. a bc cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. f ( x = sin ( x = cos( x F ( x = x sin( x + c = x sin( x + c. 7a 7b 7c cos( A = cos ( A cos( A + = cos ( A cos( A + = cos ( A. f ( x = cos ( x = cos( x + F ( x = sin( x + x + c = sin( x + x + c. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. g( x = sin ( x = cos( x G( x = x sin( x + c = x sin( x + c. sin( A = sin( Acos( A sin( A = sin( Acos( A. h( x = sin( x cos( x = sin( x H ( x = cos( x + c = cos( x + c.
![sin( x cos( randmaximum (zie plot is f = = = sin( 0 cos( maximum (zie plot is f = = = = > B sin f = [, ]. cos minimum (zie plot is f = = = =. sin( a F ( x = cos( x F '( x = sin( x = sin( x = f ( x.](/docs-images/42/425900/images/page_8.jpg "b G ( x = sin( x G '( x = cos( x = cos( x = g( x. a f ( x = sin( x F ( x = cos( x + c = cos( x + c. b g( x = x cos( x G ( x = x sin( x + c = x sin( x + c.")
9 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 9/ 8a 8b f ( x = tan ( x = + tan ( x F ( x = tan( x x + c. g( x = x + tan ( x = x + + tan ( x G ( x = x + tan( x x + c. 9a 9b 0 sin( A = sin( Acos( A sin( A = sin( Acos( A. sin( x cos( x dx sin( x dx cos( x cos( cos(0 = = = = + = + = cos( A = sin ( A cos( A = sin ( A cos( A = sin ( A. ( sin ( x dx ( cos( x dx sin( x x = + = + = sin ( sin + 8 cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. I ( L = f ( x dx = sin ( x dx = cos( x dx = = =. ( x x = sin = sin 0 sin(0 = = V f ( x = sin( x + sin( x f '( x = sin( x cos( x + cos( x. a f '( x = 0 sin( x cos( x + cos( x = 0 cos( x sin( x + = 0 cos( x = 0 sin( x = x = + k sin( x = x = x = sin( x =. x f sin ( sin( = = + = + = + 0 =. x = f = sin + sin = ( + = = 0. sin( x = f ( x = ( + = = = = Randextreem: f (0 = f = =. Dus B [ f =, ]. 8 b f ( x = 0 sin ( x + sin( x = 0 (stel sin( x = t t + t = 0 D = b a c = = + 8 = 9 D =. t = sin( x = ± t = sin( x = t = sin( x = (met x op [0, ] x = (zoeken we niet x = x =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A. ( sin ( x sin( x dx ( cos( x sin( x dx sin( x cos( x + = + = = sin( cos( sin( cos( = = =. f ( x = 0 sin ( x + sin( x + = 0 sin( x + = 0 sin( x = x = x =. f (0 = = > 0 het ingesloten gebied loopt van x = tot x =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. ( sin ( x sin( x dx ( cos( x sin( x dx x sin( x cos( x + + = + + = ( = sin( cos( sin( cos( = = + + = + =
10 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ a b f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (,. Zie de grafiek van f ( x = sin( x hiernaast. f ( x = 0 sin( x = 0 sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. x[0, ] x = x =. (het gevraagde gebied ligt ONDER de x -as O ( V f ( x dx = = ( + sin( x dx x cos( x x cos( x = + = = cos( cos( = cos( cos( = = =. c = = ( = ( + I ( L f ( x dx sin( x dx 9sin( x 9sin ( x dx Nu is: cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. ( ( = 9sin( x + 9 cos( x dx = x cos( x x sin( x ( x 8cos( x sin( x + = + 7 ( 8cos( 9 sin( 7 9 ( 8cos sin ( ( 8 = + + = + + = = 9. a y P = sin( ct en de periode is = c =. c Of voor t = is y sin( P = = sin (de sinus heeft dan precies één periode doorlopen b Formule II: x cos( P = t. rcy = x + = AMB = ( AMB is een -- driehoek AB = MB. AM = AB = MB = = = =. xa = xm AB = en ya = ym + AB = +. t = y = x + A B a t = 0 P (,. P draait linksom. t op [0, ] driekwartcirkel. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt M(, en straal. t = M t = 0 b x = 0 + cos( t = 0 cos( t = cos( t = ( t op [0, ] t =. t = y sin( (0,. A = + = + = + A + c rc y = x + = bij B hoort t = en bij C hoort t =. t = x cos( en sin(. B = + = + y B = + = + t = x cos( en sin(. C = + = y C = + = C t = d x = + cos( t = (intersect of cos( t = cos( t = t = + k t = + k. t op [0, ] t =, 09 t =,9. x < (zie driekwartcirkel of plot, 09 < t <,9.
11 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / 7a xp = + cos( t en yp = + sin( t. (met t in seconden 7b De eerste rondgang van t = 0 tot t =. y = 0 ( x -as + sin( t = 0 (intersect t,9 t,78. y < 0 (zie plot,9 < t <,78. Dus 0,8 seconden per rondgang. 8a t = 0 P (,. P draait linksom. t op [0, ] t op [0, ]. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt M(, en straal. 8b y = 0 ( x -as + sin( t = 0 sin( t = sin( t = t = + k t = + k t = + k t = (deze zoeken we + k. x cos( ( A = + = + = A, 0. 8c x = + cos( t = cos( t = cos( t = t = + k t = + k t = + k t = + k. t op [0, ] t = t =. Dus x < (zie de baan bij 8a < t <. 8d y = + sin( t = (intersect t,. Dus y < (zie 8a of de plot, < t. x = A t = M t = t = y = t =0 9a y = x + sin( t = cos( t + (met 0 t < intersect geeft dan t, en y,8 x = y = 0,8 snijpunt (0,8;,8 of t,7 en y 0,8 x = y =,8 snijpunt (,8; 0,8. 9b 9c 9d x = cos( t = cos( t = t = + k t = + k. Er geldt nu: x > voor < t <. De baan van P is een cirkel met middelpunt (0, 0 en straal. Dus ligt = deel van de cirkel rechts van de lijn x =. (omtrek van een cirkel = r De lengte van het deel rechts van de lijn x = is =. P (cos( t, sin( t en Q(cos( t, sin( t. Nu de stelling van Pythagoras: PQ = ( cos( t cos( t + ( sin( t sin( t = cos ( t cos( t cos( t + cos( t + sin ( t sin( t sin( t + sin ( t = cos ( t + sin ( t + cos( t + sin ( t cos( t cos( t sin( t sin( t = cos ( t + sin ( t + cos( t + sin ( t cos( t cos( t + sin( t sin( t = + cos( t t = cos( t. Dus PQ = cos( t. PQ = cos( t = (intersect t 0,8 t, 7. PQ = cos( t > (zie plot 0,8 < t <, 7. Dus gedurende, seconde per rondgang. 0a De translatie (, 0. 0b x Q = cos( ( t en y sin(. (met t in seconden Q = t a De omlooptijd T = = = seconden. Na = seconde (voor t = bevindt P zich in (7,. Dus x cos( ( en sin( ( P = + t y. (met t in seconden P = + t b t = x cos( (, en sin( ( P = + y,8. P = + c Na = (voor seconde t = bevindt P zich voor het eerst in (,. t = 0 t =
12 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / d y = x + ( t = P ( P ( 0 ( -as sin 0 (intersect t 0, 9 x = + cos ( t, snijpunt met x -as (,; 0. t,9 x = + cos ( t, 7 snijpunt met x -as (, 7; 0. a b c xp = + cos ( yp = + sin ( ( t 0 ω = = ( t in seconden. = ( t 0 ( ( 0 0 ( t in seconden. ( 0 ( 0 ( ( ( 0 0 ( ( ( xq = + cos ( t + = + cos ( t + yq = + sin ( t + = + sin ( t + xr = + cos t = + cos ( t = + cos ( t yr = + sin t = + sin ( t = + sin ( t 0 0 Dus R loopt seconde achter op P of (omdat de omlooptijd seconde is ( t in seconden. (, seconde voor op P. t = 0 (, a b c Omlooptijd is = seconde. x cos cos cos P = + t xq = + t = + t y en P sin( t = + y Q = + sin ( t = + sin t ( ( ( ( ( t in seconden. Op t = 0 heeft P een fasevoorsprong van op (,. Q heeft een fasevoorsprong van op P fasevoorsprong van Q op (, is + =. xq = + cos( ( t + = + cos( ( t + ( t in seconden. y sin Q = + ( ( t + = + sin ( ( t + Op t = 0 heeft P een fasevoorsprong van op (,. Q heeft een faseachterstand van op P fasevoorsprong van Q op (, is =. xq = + cos( ( t + = + cos( ( t + 8 ( t in seconden. y sin Q = + ( ( t + = + sin ( ( t + 8 (, (, (, O (, a De fasevoorsprong van Q op P is. De faseachterstand van R op P is. c De fasevoorsprong van 7 Q op R is + = ( > 7 Q en R is = a b Omlooptijd in stand I is seconde ω = = = 0 rad/sec. Q heeft een faseachterstand van op P x 0cos ( 0 0cos ( 0 P = 0 cos(0 t xq = t = t en yp = 0 sin(0 t y 0 sin Q = ( 0 ( t = 0sin ( 0 ( t 0cos xr = ( 0 ( t + R P t y 0sin R = ( 0 ( t + ( t in seconden. heeft een fasevoorsprong van op, dus ( in seconden. v = 08 km/uur = 0 m/s = 000 cm/s. Omlooptijd bij II is 0 = sec Dus ω = : = 00 = 0 rad/sec. 00 xp = 0cos(0 t ( t in seconden. yp = 0sin(0 t
13 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / a De diameter van rol II is de helft van rol I, dus de omlooptijd van rol II is de helft van de omlooptijd van rol I. x 0cos( P = t = 0 cos( t cos xq = + t + en y 0sin( ( t in seconden. 0sin yq sin( P = t = t = t + b Omlooptijd rol II is sec. elke seconde loopt = 0 cm papier tussen de rollen door. Dat is per uur = 000 cm 097 cm m. 7a xp = + cos( t ( t in seconden. yp = + sin( t 7b t =, xp = + cos(,, en yp = + sin(,,. 7c De baan wordt in negatieve richting (met de wijzers van de klok doorlopen. (, periode is = seconde t =, t = en t =. M 7d x = 0 ( y -as + cos( t = 0 cos( t = cos( t = A B t = + k t = + k t = + k t = + k. t = y = + sin( = + = + P (0, +. (, t = y = + sin( = = Q(0,. Alternatieve uit werking: NP = = NP = = P (0, + en Q(0,. 7e cos AMB = AMB,8 (rad De lengte van de boog onder de x -as is Ans 0,. Alternatieve uitwerking: y = 0 ( x -as + sin( t = 0 (intersect t 0, 08 t 0, 9. y < 0 (zie plot 0,08 < t < 0,9. Dus ongeveer 0,8 seconden van de seconden per omwenteling onder de x -as. De lengte van de boog onder de x -as is Ans 0,. P (, N O Q 8a T = 0 ω = = rad/min. Op t = 0 zit Frits in het hoogste punt. 0 x Frits = 7 cos ( ( t + 0 = 7 cos( t + Voor Frits geldt: ( in m y Frits 7 7 sin ( ( t sin( t t inuten. = + + = + + 8b Saskia heeft = faseachterstand op Frits. 8 x Saskia = 7 cos ( ( t = 7 cos ( ( t ( t in minuten. y Saskia = sin ( ( t = sin ( ( t c De omtrek van het reuzenrad wordt afgelegd in 0 minuten Dus 7 meter in 0 minuten 88 m/uur de snelheid is ongeveer 0,8 km/uur. 8d y = sin( t = 00 (intersect t, 0 t, 0 y > 00 (zie plot, 0 < t <, 0. Dus gedurende ongeveer 0, minuten seconden boven 00 meter. Alternatieve uitwerking :, cos( α = α, 08 (rad. 7, Dus gedurende α 0 0, min. sec. boven 00 meter., α 7, 7, O
14 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / Diagnostische toets Da cos( x = cos( x + = cos( x + = sin( x + + = sin( x +. Db sin( x + cos( x = sin ( x + sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x + sin( x cos( x = + sin( x. + cos( x sin ( x = + cos( x cos ( x = + cos( x + cos ( x = cos ( x + cos( x. Dc Da sin( x = cos( x Dc cos( t = sin( t cos( x = cos( x sin( t + = sin( t + x = x + k x = x + k t + = t + + k t + = t + k x = + k x = + k 7 t = + k 7 t = + k 0 0 x = + k x = + k 0 t = + k 0 t = + k x op [0, ] x = x = x = x = t op [0, 0] t = t = t = 0 t = Db sin ( x = sin( x + sin( x = sin ( x sin( x + = cos( x cos( x + = cos( x x + = x + k x + = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x = 7 x = x = 9 x =. Da D sin( x + = sin( x cos( x Db sin ( x + = cos( x sin( x + = sin( x sin ( x + = sin ( x x + = x + k x + = x + k sin ( x = x = + k x = + k sin ( x = x = + k x = + k. 9 sinx = ± x = + k x = + k x = + k x = + k. sin( x cos( x sin( x sin( x sin( x cos( x sin( x cos( x cos ( x cos ( x cos( x tan( x tan( x = = = = = = cos( x. cos ( x sin ( x cos ( x sin ( x cos ( x sin ( x sin( x tan ( x cos ( x cos ( x cos ( x cos( x D f ( p + f ( + p = sin( p + cos( p + sin( + p + cos( + p = sin( p + sin( p sin( p sin( p = 0 f is symmetrisch in het punt (, 0. Da f ( x = cos( x + sin( x f '( x = sin( x + cos( x. f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos( x sin( x = sin( x cos ( x. Db Dc Dd cos( x ' sin( x sin( x cos( x cos( x sin ( x cos ( x f x = f x = = =. sin( x sin ( x sin ( x sin ( x f ( x = x sin( x f '( x = x sin( x + x cos( x = x sin( x + x cos( x. De sin tan( ' cos tan sin sin cos cos tan x f x = x x f x = x x + x = x x + cos. x x Df sin( x sin( x sin( x tan( x cos( x cos( x tan( x cos ( x cos ( x cos( x cos ( x f ( x = f '( x = = sin( x sin ( x sin ( x cos ( x sin( x sin( x cos( x cos( x =. sin ( x cos ( x tan( x sin( x + tan ( x tan( x cos( x sin( x + sin( x tan ( x tan( x cos( x OF... f ( x = f '( x = =. sin( x sin ( x sin ( x
15 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / D7a f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt ( +, = (,. Hoogste punten zijn ( k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( 8 + k, = ( + k,. D7b f ( x = + cos( x = + cos(( x heeft 8 evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (, + = (,. 8 8 Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. 8 8 Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. 8 8 D8a f ( x = sin( x sin( x f '( x = cos( x cos( x. f = sin sin = 0 0 = 0 A(, 0 en rc = f ' = cos cos = = + =. y = x + b 0 = + b = b. Dus de raaklijn in A(, 0 is y = x. door A(, 0 D8b f '( x = cos( x cos( x = 0 cos( x = cos( x cos( x = cos( x x = x + k x = x + k x = k x = k x = k x = k. Dus (zie ook figuur. x en. B = x C = y ( sin( sin( B = f = = = = B(,. y 8 C = f = sin sin = = + = C (,. D8c f '( x = cos( x cos( x = cos( x cos( x = cos ( x cos( x + = 0 cos ( x cos( x = 0 cos( x ( cos( x = 0 cos( x = 0 cos( x = x = + k x = + k x = + k. x op [0, ] x = x = x = x =. f ( = sin( sin( = = = raakpunt (,. f ( = sin sin( = 0 = raakpunt (,. f ( = sin sin( = 0 = raakpunt (,. f ( = sin( sin( = = + = raakpunt (,. D9a f ( x = sin( x + F ( x = cos( x + + c = cos( x + + c. D9b g( x = x + cos( x G( x = x + sin( x + c = x + sin( x + c. h( x = x sin ( x = x + sin ( x = x + cos( x H ( x = x + sin( x x + c. D9c D9d k( x = + tan ( x = + + tan ( x K ( x = x + tan( x + c. D0a ( sin( x + cos( x dx = cos( x + sin( x = cos + sin ( cos + sin D0b sin ( x dx cos( x dx x sin( x = = = + + = + + =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A = sin( ( sin = + =. D ( f ( x dx = cos ( x dx = ( + cos( x dx = ( x + sin( x cos( A = cos ( A + cos( A = cos ( A + cos( A = cos ( A = ( + sin ( + sin = =.
16 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / t = A Da De baan is een driekwartcirkel met middelpunt (, 0 en straal. t op [0, ] t op [0, ] driekwartcirkel. Db x = + cos( t = cos( t = cos( t = t = + k t = + k t = + k t = + k. Dus t = en y sin( sin( (,. A = = = A Dc In MDC geldt: sin M = CD = = M =. MC CME = =. Dus de lengte boog CE is omtrek cirkel = = = 8. t = E M O t = x = C y = t = 0 D Da Db Dc De omlooptijd is seconden ω = =. cos( xp = + ( t De parametervoorstelling voor de baan van punt P is: (met t in seconden. y sin( P = + ( t Punt Q met seconde achterstand op P geeft als parametervoorstelling voor de baan van Q : xq = + cos( ( t cos( xq = + t (met t in s y sin( econden. ( sin( Q = + t y Q = + t Punt R met een fasevoorsprong van op P geeft een voorsprong van = seconde. De parametervoorstelling voor de baan van R is: xr = + cos( ( t + x cos( ( R = + t y sin( ( (met t in seconden. R = + t + y sin( ( R = + t
17 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 7/ Gemengde opgaven 0. Goniometrie en beweging sin( x cos( x sin( x Ga = = tan( x. sin ( x cos( x Gb cos ( x sin ( x = cos ( x + sin ( x cos ( x sin ( x = cos( x = cos( x. sin( x sin( x cos( x sin( x Gc = = = tan( x. + cos( x cos ( x cos( x Gd cos( x y cos( y sin( x y sin( y = cos( x y + y = cos( x. Ga sin( x cos( x = Gc cos( x + = sin( x sin( x cos( x = sin( x + + = sin( x + sin( x = x + = x + + k x + = x + k x = + k x = + k geen oplossing x = + k x = + k x = + k. x = + k. Gb cos( x = sin( x Gd cos( x sin ( x = cos( x = cos( x cos( x + cos( x = x = x + k x = x + + k cos( x = cos( x = x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k. x = + k x = + k. 8 G7a f ( x = f ( x = g( x g( x = sin( x = sin( x = cos( x cos( x = x =. x =. x =. O V = ( sin( x dx ( cos( x dx cos( x x sin( x x + = + = cos( cos( + sin( sin( = = G7b I ( L = sin d cos d ( x x + x x = ( cos( x dx + ( + cos( x dx ( x sin( x ( x sin( x sin( ( sin( + ( + sin ( + sin = + + = = = omtrek f '( x dx g '( x dx G7c = = + cos ( x dx sin ( x dx (fnint, f ( x = cos( x + sin( x f '( x = cos( x sin( x + cos( x = sin( x + cos( x. G8a f '( x = 0 sin( x + cos( x = 0 cos( x = sin( x cos( x = sin( x cos( x = cos( x x = x + k (geen oplossing x = x + + k x = + k x = + k. 8 f ( x = cos ( x + sin( x = cos ( x + + sin( x = cos( x + + sin( x. absoluut maximum (zie fig G. : f ( = cos( + + sin( = + + = + 8 absoluut minimum (zie fig G. : f ( B f = [, + ]. = cos + + sin = + = 8
18 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 8/ G8b f ( x = g( x cos ( x + sin( x = sin( x O ( V = ( sin( x ( cos ( x + sin( x dx cos ( x = sin( x cos ( x = sin( x cos( x = cos ( x sin( x cos( x = 0 ( sin( x cos ( x dx cos( x ( cos( x sin( x = 0 cos( x = 0 cos( x = sin( x = ( sin( x cos( x dx x = + k cos( x = cos( x x = + k x = x + k x = x + + k = cos( x sin( x x x = + k geen oplossing x = + + k x = + k x = = cos sin + cos( + sin( + + k. x op [0, ] x = x = = =.. G8c C het midden van AB als g( p = f ( p sin( p = cos ( p + sin( p sin( p = cos ( p sin( pcos( p = cos( pcos( p sin( p cos( p = 0(voldoet niet sin( p = cos( p = tan( p = tan( p =. cos( p G9a De grafiek van f (dezelfde als in G8 is vermoedelijk lijnsymmetrisch in de verticale lijn door de eerste top rechts van de y -as. Vermoedelijk lijnsymmetrisch in de lijn x =. (zie de berekening in G8a 8 f ( + p = cos ( + p + sin( + p = cos ( + p + + sin( + p = cos( + p + sin( + p = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin(p + = cos( p +. f ( p = cos ( p + sin( p = cos ( p + + sin( p = cos( p + sin( p = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = cos( p +. f ( + p = f ( p (voor elke p de grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = G9b Vermoedelijk puntsymmetrisch in A(,. ( A precies midden tussen de toppen bij x = en x = zie G8a f ( + p = cos ( + p + sin( + p = cos( + p + sin( + p = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p + sin( p cos( p + sin( p + = sin( p +. f ( p = cos ( p + sin( p = cos( p + sin( p = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p sin( p cos( p sin( p + = sin( p +. f ( + p + f ( p = sin( p + + sin( p + = f is symmetrisch in A(, f ( x = 0 sin ( x + sin( x = 0 sin( x sin( x + = 0 sin( x = 0 sin( x = x = k x = + k x = + k. x op [0, ] nulp.: x = 0 x = x = x = x =. O ( V = sin ( x sin( x dx cos( x sin( x dx x sin( x cos( x = = sin cos ( 0 sin(0 cos(0 = 0 + ( 0 0 = +. G0a G0b G0c f ( x = sin ( x + sin( x = sin( x + sin( x f '( x = sin( x cos( x + cos( x f '( x = 0 sin( x cos( x + cos( x = 0 cos( x = 0 sin( x + = 0 x = + k sin( x =. x = f ( x = f = sin + sin = ( + = =. sin( x = f ( x = ( + = = =. 8 f ( x = p heeft precies vier oplossingen (zie figuur G. en de berekening hierboven voor < p < 0 0 < p <. 8
19 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 9/ L(grafiek van f = + f '( x dx = + sin( x cos( x + cos( x dx (fnint,07. G0d 0 0 Ga g( x = sin( x + cos( x g '( x = cos( x sin( x. g '( x = 0 cos( x = sin( x cos( x = cos( x x = x + k x = x + + k A x = + k x = + k x = + k x = + k. x op [0, ] x = x = x = x =. Dit geeft toppen: A(,, B(,, C (, en D(,. f = cos sin = = = = A en C liggen op de grafiek van f. f cos sin = = = = Gb = ( + ( = ( + + O ( V sin( x cos( x cos ( x sin( x dx sin( x cos( x cos ( x sin( x dx ( sin( x cos( x ( cos( x dx ( sin( x cos( x dx cos( x sin( x x = + + = = = cos( sin( cos( sin( = ( = =. omtrek( V f '( x dx g '( x dx Gc = = + 8cos( x sin( x cos( x dx + + cos( x sin( x dx (fnint, 7. f ( x = sin ( x + p cos( x = sin ( x + p sin ( x = p (de andere termen vallen weg voor p =. Ga p Gb fp ( x = sin ( x + p cos( x = ( sin( x + p cos( x fp '( x = sin( x cos( x p sin( x = sin( x p sin( x = p sin( x. fp '( x = ( p sin( x < p < < p < 0 > p > 0 0 < p <. a a a a f ( x dx sin ( x p cos( x dx cos( x p cos( x d x ( p cos( x dx a = x + ( p sin( x = a + ( p sin( a ( 0 + ( p sin(0 = a + ( p sin( a. 0 Onafhankelijk van p als sin( a = 0 a = k a = k. Gegeven: a op [0, ] a = 0 a = a =. Gc p = ( + = ( + = ( + cos( x ( + sin( x sin( x cos( x cos( x sin( x sin ( x cos ( x sin( x Ga f ( x = f '( x = = =. + sin( x ( + sin( x ( + sin( x ( + sin( x f '( x = 0 (teller = 0 sin( x = 0 sin( x = x = + k x = + k. Gegeven: x op [, ] x = x =. cos( minimum (zie plot : f ( = = = = + sin( cos( B f = [, ]. maximum (zie plot : f ( = = = = + sin( 9 cos( x cos( x 9 cos( x cos( x 9 cos ( x Gb f ( x f ( x = = = = 7 + sin( x + sin( x 7 + sin( x sin( x 7 sin ( x 7 7 cos ( x = ( cos ( x cos ( x = cos ( x = cos( x = ± = ± = ± x = + k. Gegeven: x op [, ] x = x = x = x =. B C V f g D
![G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ Ga t op [0, ] t op [0, ]. De baan is driekwartcirkel met middelpunt (, en straal.](/docs-images/20/425900/images/20-0.png "t = Gb y = x + + sin( t = cos( t + B sin( t = cos( t cos( t = cos( t + y = x + t = t + + k t = t + k t = t = (, geen oplossing t = + k t = + k. 8 t op [0, ] t = t = A. 8 8 t = 0 t = x cos( en sin( (,.")
20 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ Ga t op [0, ] t op [0, ]. De baan is driekwartcirkel met middelpunt (, en straal. t = Gb y = x + + sin( t = cos( t + B sin( t = cos( t cos( t = cos( t + y = x + t = t + + k t = t + k t = t = (, geen oplossing t = + k t = + k. 8 t op [0, ] t = t = A. 8 8 t = 0 t = x cos( en sin( (,. 8 P = + = + = + y P = + = + = A + t = x cos( en sin( (,. 8 P = + = + = y P = + = + = + B + Gc x = 0 ( y -as y = 0 ( x -as + cos( t = 0 + sin( t = 0 cos( t = sin( t = cos( t = sin( t = t = + k t = + k t = + k t = + k t = 7 + k t = + k t = + k t = + k t = 7 + k t = + k t = + k t = + k x > 0 (zie de baan van P 0 t < 7 y > 0 (zie de baan van P < t Uit bovenstaande regel volgt dan: x > 0 en tevens y > 0 (zie de baan van P < t < 7. 0, 0, Ga v = 0, m/s per seconde gedeelte van de cirkel rad/s = rad/s.,, Gb x =,cos( t + t = 0 ( t in seconden en x en y in meters. y =,sin( t + (,;0 Gc De volgende koker loopt cirkel = = radialen achter. x =,cos( t + ( t in seconden en x en y in meters. y =,sin( t + Gd y = 0, 8,sin( t = 0, 8 (intersect t 8, 70 t, 0. y < 0, 8 (zie plot 8, 70 < t <, 0. Dus gedurende, seconde. O wateroppervlak y = 0,8 Ga f( x = + sin ( x + cos( x = + cos( x + cos( x = + cos( x = + sin( x + = + sin(( x +. Dit geeft a =, b =, c = en d =. Gb f n = + sin + cos( n = + ( + cos( n = cos( n = n = + k n = + k. 0 < n < 0 n = n = 8 n = 0 n =. Gc f( x = + sin ( x + cos( x = + cos( x + cos( x = cos( x + cos( x. Gd O ( V = ( f( x dx 0 = ( ( cos( x + cos( x dx 0 = ( + cos( x cos( x dx 0 V = x + sin( x sin( x 0 = + sin sin(8 0 + sin(0 sin(0 = ( =. O (rechthoek ABCD = = 0. Dus de grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee gebieden met dezelfde oppervlakte.
21 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / G 7a x = sin( t en y = cos( t geeft de ciirkel met middelpunt (0, 0 en straal. x = sin( t en y = cos( t geeft de ciirkel met middelpunt (0, 0 en straal. t =, de grote wijzer heeft rondgang gemaakt het is 8 minuten over. 0 G7b Wijzers (niet de eindpunten vallen over elkaar sin( t = sin( t en cos( t = cos( t. ( t = t + k t = t + k en tevens ( t = t + k t = t + k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k t = k het eerste tijdstip na t = 0 is dus t =. G7c afstand = ( sin( t sin( t + ( cos( t cos( t = 9 sin ( t sin( t sin( t + sin ( t + 9cos ( t cos( t cos( t + cos ( t = 9( sin ( t + cos ( t + ( sin ( t + cos ( t cos( cos( ( t t + sin( t sin( t = 9 + cos( t t = cos( t. G7d Een gelijkbenige driehoek als afstand = afstand = cos( t = cos( t = cos( t = 9 cos( t = cos( t = cos( t = 9 cos( t = cos( t = Het eerste moment na t = 0 (cos(0 = volgt uit cos( t = t 0, 7 t 0,. G8a f ( x = sin( x T = (, en A(, 0. g(0 = 0 (0 = 0 de grafiek van g gaat door O. g = ( = = = de grafiek van g gaat door T. g = ( = 0 = 0 de grafiek van g gaat door A. G8b f ( x = sin( x f '( x = cos( x. g( x = x ( x = x + x g '( x = 8 x +. f '(0 = cos(0 = en g '(0 = = > g '(0 > f '(0. G8c ( g( x f ( x d x ( ax ( x sin( x dx ( ax ax sin( x dx ax ax cos( x = = = a a + cos ( a 0 a 0 + cos(0 = a a ( = a. ( g( x f ( x dx = 0 a = a = a =. 0
= cos245 en y P = sin245.
G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =
Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3
Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook
C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.
G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c
12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft
Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)
Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ
OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3
Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(
x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b
G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of
P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
9.1 Recursieve en directe formules [1]
![9.1 Recursieve en directe formules [1]](/thumbs/61/45664687.jpg "9.1 Recursieve en directe formules [1]")
9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is
n: x y = 0 x 0 2 x 0 1 x 0 1 x 0 4 y -6 0 y 1 0 y 0 1 y 2 0 p =. C. von Schwartzenberg 1/10
1a 1b G&R havo B deel C. von Schwartzenberg 1/10 Tien broden kosten 16 euro blijft over voor bolletjes 60 16 = euro. Hij kan nog = 110 bolletjes kopen. 0,0 90 bolletjes kosten 6 euro blijft over voor broden
Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc
Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t
x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS
G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e
6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]
![6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]](/thumbs/35/17209848.jpg "6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]")
6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde
7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden
7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2
Hoofdstuk 4 - Periodieke functies
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is
2012 I Onafhankelijk van a
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as
m: y = 0, 5x + 21 snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 0, 5x , 5x = 21 x = 42. Snijpunt met x -as: (42, 0).
C. von Schwartzenberg 1/1 1a In 1 minuut zakt het watereil 1 0 = cm (in 10 minuten zakt het water 0 cm). 10 Na 1 minuut is de waterhoogte 0 = 6 cm en na minuen is de waterhoogte 0 = cm. 1b II h = 0 t,
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25
C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)
x 0 2 y -1 0 x 0 1 y 2-1 y 3 4 y 0 2 G&R vwo A/C deel 1 2 Functies en grafieken C. von Schwartzenberg 1/15 1a 1b
G&R vwo A/C deel 1 Functies en grafieken C. von Schwartzenberg 1/15 1a 1b t =, 5 d 10, 5 + 46 = 1 (m). 1 minuut en 45 seconden geeft t = 1,75 d 10 1,75 + 46 = 8,5 (m). 1c 1d Per minuut wordt de diepte
Samenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Hoofdstuk 8 - Periodieke functies
Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude
Noordhoff Uitgevers bv
8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]
![15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]](/thumbs/53/30970991.jpg "15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]")
15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte
Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b
15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2
Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden door een scholier 7212 woorden 16 maart 2005 4,6 58 keer beoordeeld Vak Wiskunde B uitwerking Havo NG/NT 2 Hoofdstuk 1 De afgeleide functie 1.1 Differentiaalquotient
Noordhoff Uitgevers bv
5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b
5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen
0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken
Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1
Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Gelijke oervlakte maximumscore f' ( x) = x x = geeft x = Dit geeft x = ( ) ( ) f = = (dus de coördinaten van T zijn ( ) maximumscore 6 De oervlakte van V is ( )
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel
Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2006-I
4 Beoordelingsmodel Verkeersdichtheid De snelheid is 80000, m/s 3600 meter wordt afgelegd in seconden dus de auto s voldoen hieraan, De afstand meter wordt afgelegd in 80000 uur Dit is 3600 =,05 seconden
14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.
14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km)
C. von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1d t = 10 A = 0, 8 10 + 3 = 8 + 3 = 26 (miljoen ha). Bij halverwege 1985 hoort t = 15, 5 A = 0, 8 15, 5 + 3 = 21, 6 (miljoen ha). Het snijpunt met de verticale as is
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
11.1 De parabool [1]
![11.1 De parabool [1]](/thumbs/51/28339750.jpg "11.1 De parabool [1]")
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
wiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat
Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ
Noordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a
Bij een tonnage van ton (over mijl) kost het 0,75 $/ton totale kosten ,75 = ($).
C von Schwartzenberg 1/14 1a 0,5 $/ton (zie de verticale as bij punt A) 0 000 0,5 = 10 000 ($) 1b,1 $/ton (ga vanuit A verticaal omhoog naar de rood gestippelde grafiek) 0 000,1 = 4000 ($) us 4, keer zoveel
wiskunde B havo 2019-I
Formule van Wilson maximumscore Uitgaande van gelijke temperatuur en diepte wordt het verschil in snelheid dus bepaald door het verschil in zoutgehalte Er geldt: v =,9( 7 5),9( 5) Het gevraagde verschil
H24 GONIOMETRIE VWO. Dus PQ = 24.0 INTRO. 1 a 6 km : = 12 cm b. 5 a 24.1 HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN. 2 a factor = 3
H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO a 6 km : 0.000 = cm a Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt 7 ze 0 meter in minuten. Dat is 0 0 = 800 meter in een uur. Dat is,8 km/u.. HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN a factor = 0,6 Diepte put
stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).
Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen
Exacte waarden bij sinus en cosinus
acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Extra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Noordhoff Uitgevers bv
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Hoofdstuk 7 - Periodieke functies
Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5
Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave
De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren
De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,
2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.
200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
wiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
wiskunde B bezem vwo 2018-II
wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met
Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel
Hoofdstuk 8 Goniometrische functies (H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
![10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:](/thumbs/55/36210674.jpg "10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:")
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Vraag Antwoord Scores
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Eindexamen wiskunde B havo II
Eindexamen wiskunde B havo 009 - II Beoordelingsmodel Kaas maximumscore De oppervlakte van de rechthoek is 0 0 = 00 (cm ) De oppervlakte van de twee halve cirkels is samen π 5 ( 79)(cm ) De oppervlakte
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton
10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
![10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/91/105289633.jpg "10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden")
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Opmerking In de berekening mogen v = 0 en/of v = 187,5 zonder toelichting zijn weggelaten.
HAVO wb 00-I Weerstand De formules voor P rol en P lucht invoeren in de grafische rekenmachine (GR) en bepalen voor welke waarde van v deze gelijk zijn v,7 P lucht > P rol voor v > =,7 (km/uur) (v >,7
Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
wiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
IJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.
Blok 6B - Vaardigheden
B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld
wiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
IJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van