Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken"

Marleen Wauters
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y = ax + b Handig als je de rc weet () Assenvergelijking x p + y q = 1 (p, 0) en (0, q) zijn de snijpunten met de assen. Wordt vaak geschreven in de vorm qx + py = c (met c = pq) rc = q p (Waarom?) x = t + 1 (3) Parametervoorstelling : { y = t + 3 De 3 e variabele t bepaalt de coördinaten (denk aan de eenheidscirkel) Door t te elimineren kun je deze ook schrijven in vorm (1) of () Dit heet ook wel een kromme x = t + 1 Gegeven is de parametervoorstelling { y = t + 3 Schrijf deze in de andere twee vormen y = t + 3 t = y 3. Invullen in de andere geeft : x = t + 1 x = (y 3) + 1 = y = y 5 (1) x = y 5 y = x + 5 y = 1 x + 1 () x = y 5 x y = 5 x 5 + y 5 = 1 Opmerking Je kunt aan de laatste vergelijking zien dat de snijpunten met de assen (-5,0) en (0, /5) zijn.

2 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina van 11 Voorbeeld Gegeven zijn de lijnen x + py = 10 en (p + 5)x + 3y = q Voor welke waarde van p en q zijn de lijnen : a. Evenwijdig b. Gelijk / Samenvallen Neem q = 19. c. Neem p= en los het stelsel op. Oplossing a. Evenwijdig rc1 = rc p = p+5 3 p + 5p = 6 p + 5p 6 = 0 (p 1)(p + 6) = 0 p = 1 v p = 6 (en q maakt niks uit) b. (1) Neem p = 1 x + y = 10 en 6x + 3y = q Deze zijn gelijk als q = 30 (Waarom?) () Neem p = -6 x 6y = 10 en x + 3y = q Deze zijn gelijk als q = -5 (Waarom?) c. x + y = 10 y = 10 x y = 5 x Invullen in de andere vergelijking geeft 7x + 3(5 x) = 19 7x x = 19 x = 4 x = y = 5 x = 5 = 3 Snijpunt (,3)

3 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 3 van 11 Les Hoek tussen twee lijnen Definitie Voor een hoek α tussen een lijn k en de x-as geldt : rck = tan (α) Voor een hoek β tussen een lijn m en de x-as geldt : rcm = tan (β) Voor α en β geldt -90 α,β 90 Een hoek φ tussen een lijn k en m geldt φ= α β. Er geldt 0 φ 90 Bepaal de hoek tussen de lijnen x + y = 10 en 4x + 3y = 5 (1) Voor α geldt : tan(α) = = α = 63,4 1 () Voor β geldt : tan(β) = 4 β = 53,1 3 (3) φ = α β = 63,4 53,1 = 10,3

4 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 4 van 11 Paragraaf 8. : Afstand van punt tot lijn Les 1 : Afstand punten en loodrechte lijnen Definitie d(a, B) = { De afstand van punt A tot punt B } De afstand tussen de punten A= (xa, ya, za) en B=(xb, yb, zb) kun je berekenen met de formule : d(a, B) = (x a x b ) + (y a y b ) + (z a z b ) (Pythagoras) Het midden van de punten A en B is M = ( x a+x b, y a+y b, z a+z b ) Twee lijnen k en m staan loodrecht op elkaar als rck rcm = -1. Gegeven zijn de punten A = (3, 5) en B = (-1, 7). a. Bereken de afstand AB. b. Bereken het midden M van AB. Lijn k staat loodrecht op de lijn AB en gaat door het punt M c. Bepaal de vergelijking van lijn k. a. De afstand d(a, B) = (3 1) + (5 7) = = b. M = (, 5+7 ) = (1,6) c. (1) rc AB = = 4 = 1 () rc AB rc M = 1 1 rc M = 1 rc M = (3) M = (1,6) ligt op de lijn y = x + b 6 = 1 + b b = 4 (4) y = x + 4

5 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 5 van 11 Voorbeeld Gegeven zijn de punten A = (0, p) en B = (p+1, 7). Druk AB uit in p en bereken wanneer deze afstand minimaal is. Oplossing (1) d(a, B) = (p + 1 0) + (7 p) = p + p p + p d(a, B) = p 1p + 50 () Noem deze f(p) = p 1p Bepaal het minimum door f (p)=0 : f (p) = 1 (p 1p + 50) 1 (4p 1) = p 6 = 0 p = 6 p = 3 Minimale afstand = f(3) = 3 = 4 p 6 p 1p+50 = 0

Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 6 van 11 Les : Afstand punt - lijn Definitie d(a, k) = { De afstand van punt A tot lijn k } Als lijn k : ax + by = c dan is rc k = a b (Waarom?

6 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 6 van 11 Les : Afstand punt - lijn Definitie d(a, k) = { De afstand van punt A tot lijn k } Als lijn k : ax + by = c dan is rc k = a b (Waarom?) (boek blz 157) Gegeven is de lijn k : 3x + y = 1. Lijn l staat loodrecht op lijn k en gaat door het punt P = ( 5, 5). a. Bepaal de vergelijking van lijn l. b. Bepaal de afstand van A tot lijn k. a. (1) rc k = a = 3 = 1 1 b () rc PB rc M = rc M = 1 rc M = 3 (3) P = ( 5, 5) ligt op de lijn y = 3 x + b 5 = b b = = 15 3 = 10 3 = 5 3 (4) y = 3 x ( Deze kun je schrijven als 3y = x = x 3y) b. Bereken eerst het snijpunt P van de lijnen k en l. (1) Vul y = x + 5 in in de vergelijking 3x + y = x + ( 3 x ) = 1 3x x = 1 ( 3) 9x + 4x + 10 = 36 13x = 6 x = y = + 5 = 3 S = (,3) 3 3 () De afstand d(a, k) = d(a, P ) = (5 ) + (5 3) = = 13 Opmerking Als lijn k : ax + by = c dan is (1) De richtingsvector van de loodrechte lijn l is ( b a ) () Lijn l : bx ay = c (3) Je kunt de c berekenen door punt P in te vullen

7 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 7 van 11 Paragraaf 8.3 Cirkelvergelijkingen Definitie Voor een cirkel met middelpunt (p,q) geldt de vergelijking : ( x p) ( y q) r De straal staat altijd loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. De lijn k : y = x + raakt de cirkel met middelpunt (4,5). Bepaal de vergelijking van de cirkel We hebben alleen nog de straal nodig om de vergelijking te kunnen opstellen : (1) Vergelijking lijn MR is y = -½x + b () Lijn gaat door M = (4,5) dus : 5 = -½ 4 + b b = 7 (3) Snijpunt MR en lijn k : -½x + 7 = x + - ½x = -5 x = y = + = 6 R = (,6) (4) r = (4 ) + (5 6) = = 5 (5) Voor cirkel geldt de vergelijking : ( x 4) ( y 5) ( 5) ( x 4) ( y 5) 5

8 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 8 van 11 Voorbeeld Gegeven x 1x y 0 0. a. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de bijbehorende straal. Gegeven het punt A = (1,) b. Ligt punt A binnen of buiten de cirkel c. Bereken de afstand van A = (1,) tot de cirkel. a. Omdat ( x 6) x 1x a (1) ( x 6) 36 y 0 0 () ( x 6) y 36 0 ( x 6) y 16 4 geldt (3) Middelpunt M = (-6,0) en r = 4 b. De afstand d(a, M) = (1 6) + ( 0) = = 53 Omdat 53 > 4 ligt A buiten de cirkel c. Afstand tot de cirkel = 53 4

9 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 9 van 11 Paragraaf 8.4 Raaklijn en snijpunten bij cirkel Les 1 : Raaklijn aan cirkel opstellen Punt R = (3, 6) ligt op de cirkel ( x 4) ( y 5) 5 Stel een vergelijking op van de raaklijn k in punt R. We moeten eerst de rc van lijn r weten en dan is het herhaling : (1) Middelpunt M = (4,5). () rc r = = 1 1 = 1. (3) rc r rc k = 1 1 rc k = 1 rc k = 1 (4) Vergelijking lijn k is y = 1 x + b = x + b (5) Lijn gaat door R = (3, 6) dus : 6 = 3 + b b = 3 (6) Lijn k : y = x + 3

Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 10 van 11 Les : Snijpunten van lijn en cirkel Definitie Als een lijn y = ax + b en de cirkel (1) Twee snijpunten zijn D > 0 () Eén snijpunt

10 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 10 van 11 Les : Snijpunten van lijn en cirkel Definitie Als een lijn y = ax + b en de cirkel (1) Twee snijpunten zijn D > 0 () Eén snijpunt zijn D = 0 (3) Geen snijpunt zijn D < 0 ( x p) ( y q) r elkaar snijden dan kunnen er: Gegeven is de cirkelvergelijking ( x 6) y 16en de lijn k met vergelijking y = ax + 1. a. Neem a = 1. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van lijn k en de cirkel. b. Voor exact welke a de lijn y = ax+1 de raaklijn is. a. Vul y = x + 1 in in ( x 6) y 16. Dit geeft : ( x 6) ( x 1) 16 x + 1x x + x + 1 = 16 x + 14x + 1 = 0 x = 14± x = 14± x = 14± x = v x =

11 Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 11 van 11 b. Vul y = ax + 1 in in ( x 6) y 16. Dit geeft : (1) Vul y = ax + 1 in : ( x 6) ( ax 1) 16 x + 1x a x + ax + 1 = 16 (a + 1)x + (1 + a)x + 1 = 0 () Deze raakt de cirkel als de D gelijk is aan nul : D = (1 + a) 4(a + 1) 1 D = 4a + 48a a 84 = 0 D = 80a + 48a + 60 = 0 (3) Oplossen met abc-formule D = = 1504 a = v a =

Vergelijkbare documenten

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken

Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =